Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Я.Л. Кобелев, Л.Я. Кобелев, Ю.Л. Климонтович
от 26.12.05
  
Мысли


Аномальная диффузия с памятью, зависящей от времени и координат

В последние года интенсивно исследуется аномальная диффузия, т.е. диффузия, для которой среднее от квадрата смещения частицы пропорционально времени в дробной степени. Она наблюдается в аэрозолях, гелях, электронно-ионной плазме, в системах, описываемых статистической физикой открытых систем (см.[1]) и т.д. Теоретическому описанию аномальной диффузии (или явления фрактальной релаксации), использующему представления фрактальной геометрии [2] посвящено большое количество работ. При этом используется уравнение с дробными производными как по времени, так и по координатам, или одновременно и по времени и по координатам, а коэффициент диффузии принимается постоянным. В некоторых физических системах, однако, память (как временная память, так и память о проходимых системой траекториях) может изменяться как с течением времени, так и при изменении координат. Уравнение для аномальной диффузии в случае постоянной памяти (dt и dx не зависят от координат и времени) и его точное решение исследовались в работe [3].
Уравнение для аномальной диффузии в среде с изменяющимися фрактальными размерностями dx(x,t)=1+еx(x,t) и dt(x,t)=1+еt(x,t) имеет вид (отсутствие внешних сил)
Дdt(x;t)/Дtdt(x;t)n(x;t)=Дdx(x;t)/Дxdx(x;t)[D(x;t)Дdx(x;t)/Дxdx(x;t)n(x;t)] (1)
В (1) используются обобщенные дробные производные Римана-Лиувилля [4]
Дdt/Дtdtf(t)=(d/dt)^n(Z(от 0 до t)f(Ѕ)dЅ/Г(n-dt(Ѕ))(t-Ѕ)^(dt(Ѕ)-n+1)); n={dt}+1 (2)
Для е<<1 и D(x,t)=D0, получена приближенная форма уравнения (1)
Д/Дtn=Дn/Дx[D(x;t)Д/Дtn - Fn] + An (3)
D(x;t)=D0(1+2еx-еt); F(x)=D0(Деx/Дx+Деt/Дx); A= -(D0Д^2еt/Дx2 + Деt/Дt) (4)
Обратим внимание на три новых обстоятельства, отличающих (3) от уравнения (1): а) появление зависимости коэффициента диффузии от времени и координат, обусловленное влиянием фрактальной среды с зависящей от времени и координат памятью; б) появление силы F(x) (4), обусловленной зависимостью фрактальных размерностей от; в) появление слагаемого без производных зависящего только от фрактальной размерности времени, пропорционального n и характеризующего, в зависимости от знака коэффициента, затухание или усиление диффузии. Такая сила появляется лишь в том случае, если диффундирующая частица имеет память, зависящую от координат, т.е. помнит о траекториях, которые она проходила...
[1] Климонтович Ю.Л., Статистическая физика открытых систем т.1 М.:Янус, 1995, 624с.;
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1995; т.2 М.:Янус 1999,528с.; т.3 М.:Янус 2001, 508с.
[2] Mandelbrot B., Fractal Geometry of Nature, W.H.Freeman, San Francisco, 1982
[3] Кобелев В.Л., Романов Е.П., Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л., ДАН, 1998, т.361, N6, с. 755-758
[4] Kobelev L.Ya. Jornal of Applied Matemathics, 2002 (in print)
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_414.htm

  


СТАТИСТИКА