Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Квазикристаллы и их симметрии
от 22.01.06
  
Доклады


имеются основания считать, что физически реализуются только квадратичные квазирешетки

Квазикристаллы и их симметрииФ. Клейн трактует икосаэдр как геометрический объект, из которого расходятся ветви пяти математических теорий: теория Галуа, теория групп, теория инвариантов, геометрия, диф.уры
Замечания о квазикристаллической симметрии (В. И. Арнольд. журн. Physica D. Nonlinear Phenomena. 1988): Кроме экспериментальной кристаллографии, квазикристаллическая симметрия встречается в нескольких математических теориях, связанных с совсем другими физическими задачами, - в теории особенностей систем лучей геометрической оптики, в конструкции Синая марковских разбиений в эргодической теории динамических систем, в численных экспериментах по итерациям отображений плоскости и в статистическом исследовании топологии линий уровней квазипериодических функций Гамильтона
Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. Пер. с нем. Под ред. А.Н. Тюрина. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1989. 336с. Дополнение В.И. Арнольда с.291-300
http://www.twirpx.com/file/528616/ 5.345Мб
найдено Кеплером 1619г.
Примеры покрытий плоскости, найденные Кеплером (1619г.). Кеплер хорошо понимал важность проблемы покрытия неограниченной плоскости, используя лишь конечное число элементов
в кристаллах реализуется такая упаковка одной или нескольких структурных ячеек, которая обладает трансляционной симметрией относительно сдвига на некоторый вектор. В таких случаях говорят о существовании дальнего порядка в кристаллах.
Симметричные свойства объектов обладают универсальностью. Это означает, что если какой-либо способ правильной упаковки ячеек некоторой формы найден в кристаллах, то такой же способ упаковки жидких ячеек может быть обнаружен и в гидродинамических течениях, и в структуре фазовой плоскости динамической системы. Поэтому проблема мозаик (покрытий) пространства или плоскости, обладающая какой-либо симметрией, оказывается связанной не только с геометрическими свойствами пространства, но и с реальными физическими процессами.
...В длинном перечне исследований по покрытиям, упаковкам, мозаикам и орнаментам число 5 всегда было выделенным. Попытки понять, в какой мере правильный пятиугольник может быть включен в покрытия, мы находим уже у Кеплера (см. рис. 7.1, элемент Аа) и Дюрера. Одновременно с многочисленными мусульманскими орнаментами, содержащими правильные пяти- и десятиугольники (см. далее 10.2), существовало также типичное утверждение в специальной литературе о том, что кристаллов с осью симметрии 5-го порядка не может быть.
С некоторого времени в кристаллографии появились попытки отхода от ортодоксальных взглядов на то, каким должен быть кристалл. Первое хорошо аргументированное изложение подобной необходимости принадлежит Шредингеру [10]. Для объяснения существования регулярной структуры большой молекулы, составляющей один ген, он ввел понятие апериодического кристалла. Генетический код служит тем алгоритмом, который задает последовательность в расположении атомов и атомных групп апериодического кристалла. Многие попытки расширить старые схемы кристаллического порядка были сосредоточены вокруг поиска структур с симметрией 5-го порядка. Хотя подобные структуры уже встречались в росписях дворца Альгамбры в Гренаде (см. далее в гл. 10), однако наибольшую популярность приобрел паркет Пенроуза. Несколько вариантов его приведено на рис.7.2.
На первый взгляд трудно указать связь между покрытиями Пенроуза и динамическими системами.
рис.7.3
Однако рис. 7.3 демонстрирует подобную связь [20]. На нем показано, как паркет Пенроуза возникает на скелете стохастической паутины, которая ранее была приведена на рис. 6.4. Система особенностей (эллиптические и гиперболические точки, сепаратрисы) динамической системы образует в фазовом пространстве некоторые структуры. Эти структуры оказываются в определенных случаях связанными со структурами квазикристаллического типа. Благодаря подобной связи некоторые геометрические свойства структур могут быть изучены методами динамики, а некоторые свойства динамических систем можно определить структурными методами.
Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. Физматлит. 1983. с.136-137
http://www.plib.ru/library/book/15386.html
имеются основания считать, что физически реализуются только квадратичные квазирешетки...
4.2. Классификация допустимых углов поворотов в случае квадратичной квазирешетки.
Теорема 4.2.1. Комплексное число z, лежащее на единичной окружности \z\ = 1, является целым алгебраическим числом степени 4 в том и только в том случае, если z + z* является целым алгебраическим числом степени 2, или, что то же самое
z + z* = (m + sqr(m^2 - 4k)/2, где m,k - целые числа;  abs(m + sqr(m^2 - 4k)/2) < 2, abs(m - sqr(m^2 - 4k)/2) < 2,
...
Достаточность. Пусть  z - комплексное число, по модулю 1. z + z* = (m +- sqr(m^2 - 4k)/2 = А
Тогда z^2 - Az + 1 = 0, что влечет P(z) = z^4 - mz^3 + (2 + k)z^2 - mz + 1 = (z^2 - Az + 1)(z^2 - Bz + 1) = 0,
откуда следует, что z - целое алгебраическое число степени 4. Теорема доказана.
Обозначим w1 и w2 два других (отличных от z и z*) корня многочлена Р(х).
Лемма 4.2.2. Если w1 и w2 нe лежат на вещественной оси, то z является корнем из единицы степени 5, 8,10 или 12
...
Таким образом, мы должны найти все целые m и k такие, что
abs(m + sqr(m^2 - 4k)/2) < 2, abs(m - sqr(m^2 - 4k)/2) < 2
Легко проверить, что для таких пар (m, к) есть только четыре возможности
a) m=k= -1; z + z* = (-1 +- sqrt(5)/2); z^5 =1
б) m=1, k= -1; z + z* = (1 +- sqrt(5)/2); z^10 =1
в) m=0, k= -2; z + z* = sqrt(2); z^8 =1
г) m=0, k= -3; z + z* = sqrt(3); z^12 =1
Ле Ты Куок Тханг, Пиунихин С.А., Садов В.А. Геометрия квазикристаллов. УМН. 1993. Т.48, вып.1. с.41-102
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=1492&option_lang=rus
Реализуются квазикристаллы только в металических сплавах (т.е. компонент более двух)
Самоподобие квазикристаллов (естественно и кристаллов) состоит в том, что есть такие точки в пространстве, относительно которых при увеличении растяжения до любой другой точки решетки в q раз попадаешь опять в точку решетки
Квазикристаллы. УФН 2010(6)
http://ufn.ru/ru/articles/2010/6/a/references.html
Теорема (Лагранж) - Квадратичные иррациональности и только они представимы в виде бесконечной периодической цепной дроби
Спектры квадратичных иррациональностей

[1,1,1…] = 1.6180339887498948482045868343656381177203091798058...
Цепная дробь иррационального квадратичного корня всегда имеет вид
sqrt(N) [а, (б, в, г,..., г, в, б, я)], где я = 2а
например
sqrt(2) = [1, (2)] = [1,2,2,2…]
sqrt(3) =  [1, (1, 2)] = [1,1,2,1,2,1,2…]
...
sqrt(5) =  [2, (4)]
sqrt(6) =  [2, (2, 4)]
sqrt(7) =  [2, (1, 1, 1, 4)]
sqrt(8) =  [2, (1, 4)]
...
sqrt(10) = [3, (6)]
sqrt(11) = [3, (3, 6)]
sqrt(12) = [3, (2, 6)]
sqrt(13) = [3, (1, 1, 1, 1, 6)]
sqrt(14) = [3, (1, 2, 1, 6)]
sqrt(15) = [3, (1, 6)]
...
sqrt(17) = [4, (8)]
sqrt(18) = [4, (4, 8)]
sqrt(19) = [4, (2, 1, 3, 1, 2, 8)]
sqrt(20) = [4, (2, 8)]
sqrt(21) = [4, (1, 1, 2, 1, 1, 8)]
sqrt(22) = [4, (1, 2, 4, 2, 1, 8)]
sqrt(23) = [4, (1, 3, 1, 8)]
sqrt(24) = [4, (1, 8)]
Вальс числителей и знаменателей
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_246.htm
Квазикристалл Q расположен в физическом пространстве U размерности d, причём U является подпространством в гиперпространстве E, которое является евклидовым пространством размерности n > d. В частности, E имеет ортогональное разложение E = U + U*, причём U,U* не пустые. Подпространство U* называется фазовым...
...Существует конечное число квазикристаллов Q, имеющих заданное пересечение с единичным шаром
В.А. Артамонов. Квазикристаллы и их симметрии. Фундамент. и прикл. матем., 2004
http://mech.math.msu.su/~fpm/ps/k04/k043/k04301.pdf
Б. Делоне, Н. Падуров, А. Александров. Название: Математические основы структурного анализа кристаллов и определение основного параллелепипеда повторяемости при помощи рентгеновских лучей. Из-во: ОНТИ-ГТТИ, 1934, с.335
http://mirknig.com/2012/07/30/matematicheskie-osnovy-strukturnogo-analiza-kristallov.html 15Мб
http://obuk.ru/book/181755-matematicheskie-osnovy-strukturnogo-analiza-kristallov.html
Герман Вейль. Симметрия (Из общедоступных лекций, прочитанных в 1951г...Возможность прочесть эти лекции - моя лебединая песнь - дек. 1951). М., Наука, 1968, 192с.
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_367.htm
http://ilib.mccme.ru/djvu/weyl-symmetry.htm
А.В. Шубников, В.А. Копцик. Симметрия в природе и искусстве. М, изд. Наука, 1972г. (Первое из-ие 1940), 349с.
http://www.twirpx.com/file/773628/
В.И. Вернадский. Проблемы биогеохимии. Вып.4. О правизне и левизне (Из доклада в Обществе испытателей природы в Москве 25 окт. 1938г.)
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_138.htm
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_149.htm
***
квазикристалл Корякского нагорья
квазикристалл - сплав алюминия, меди и железа - найденный Валерием Крячко в 1979 году на Корякском нагорье (Чукотка)
В 2009 году физик-теоретик Пол Стейнхардт из Принстонского университета (США) и его коллеги выяснили, что единственное в мире месторождение квазикристаллов расположено в Лиственитовом ручье на Корякском нагорье (Чукотка). В январе этого года г-н Стейнхардт поведал миру, что флорентийский экземпляр в 1979 году добыл некий Валерий Крячко во время поисков платины, после чего образец был контрабандой отправлен в Европу
http://science.compulenta.ru/700086/ 10 авг. 2012
***
В Ригведе 1028 гимнов, в общей сложности 10 552 стиха, или 39 831 паду. В РВ пада состоит из 5-ти (редко), 8-ми, 11-ти и 12-ти слогов. В падах из 11-ти и 12-ти слогов после 4-го или 5-го слога бывает цезура. В падах из 5-ти и 8-ми слогов ее нет.
II, 3. Гимн-апри - Гритсамада
III, 4. Гимн-апри - Вишмамитра
VII, 2. Гимн-апри - Васиштха
X, 70. Гимн-апри - Сумитра
X, 110. Гимн-апри - Джамадагни
РигВеда. Инвариантность. Гимн-апри
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_881.htm
Что на (песне) гаятри основан (размер) гаятри,
Или из (песни) триштубх образовался (размер) триштубх,
Или же размер джагати основан на (песне) джагати -
Кто это знает, те достигли бессмертия
Квазикристаллы и метрика РигВеды
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_743.htm

  


СТАТИСТИКА