Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Геометрия и физика фракталов
от 24.01.06
  
Мысли


однако, успешное развитие теории сложных пространственно-временных структур может проводиться на основе сочетания результатов как геометрии, так и физики фракталов

Я поклоняюсь вам, кристаллы,
Морские звезды и цветы,
Растенья, раковины, скалы
(Окаменелые мечты
Безмолвно грезящей природы),
Стихии мира: Воздух, Воды,
И Мать—Земля, и Царь—Огонь!
Я духом Бог, я телом конь
М. Волошин, из стихов. Письмо, 1904
кап
Солнечные торнадо. Рождение мысли. Вихоръ зело силён
4.6 Заключение к главе Приведенные в этой главе определения фрактальной размерности могут показаться несколько искусственными. Слишком уж привычны и, как кажется, естественны целочисленные 0, 1, 2, 3 размерности геометрии Эвклида. Наличие в Природе сложных структур (кривая Коха, и множество Кантора, форма снежинок и структура турбулентного движения, временные ряды характеризующие процессы в биологических системах и структура стекол и т.д.), описание которых в рамках геометрии Эвклида оказывается невозможным, побудило математиков Феликса Хаусдорфа и Абрама Безиковича ввести дробные размерности. Это и послужило основанием Бенуа Мандельброту для создании геометрии фракталов - нового направления в математике. Однако при описании реальных открытых систем образы чистой математики порой противоречат физическим представлениям. Так, например, бесконечность длины кривой Коха и бесконечная малость элементов множества Кантора, бесконечная длина береговой линии и самоподобие структуру турбулентного движения, во многом противоречат физическим представлениям. Действительно, как геометрия Евклида, так и геометрия фракталов основывается на моделях сплошной среды. При этом математическое понятие точки, которая не имеет размера, заменяется физическим понятием точки сплошной среды. Ее размеры малы по сравнению с характерными масштабами рассматриваемой системы, однако, точка содержит много элементов, в частности, атомов и молекул. Минимальные обьекты геометрии фракталов не могут быть меньше физически бесконечных малых масштабов сплошной среды. Это относится как кривой Коха и множеству Кантора, так и физическим обьектам, например, к снежинкам и турбулентному движению. Ведь несмотря на тонкую структуру снежинок их минимальные масштабы являются макроскопическими, т.е. значительно превышают физически бесконечно малые масштабы. Минимальный масштаб в развитой турбулентности в теории Колмогорова не может быть меньше соответствующего физически бесконечно малого масштаба длины. Это ограничивает сверху значение числа Рейнольдса при гидродинамическом описании (Климонтович, 1995). Изложенное дает основание, наряду с Геометрией фракталов, развивать и Физику фракталов. Одним из важных моментов последней является учет структуры сплошной среды. Это позволяет, в частности исключить бесконечности, возникающие, например, в теории фазовых переходов второго рода, ограничить принцип самоподобия в теории турбулентности и т.д. В этом отношении физика фракталов, основанная на идеях и методах физики открытых систем, является альтернативной геометрии фракталов. Естественно, однако, что успешное развитие теории сложных пространственно-временных структур может проводиться на основе сочетания результатов как геометрии, так и физики фракталов. Именно на этой почве будет построено дальнейшее изложение. При этом новые идеи, понятия и методы будут вводится на конкретных физических примерах. Именно так, на примере низкочастотных шумов, будет оправдано введение степенных и. более того, логарифмических законов. Именно так, будет установлена необходимость перехода от классических дифференциальных и интегральных уравнений к уравнениям с дробными производными и дробными интегралами
Ю.Л. Климонтович. Введение в физику открытых систем
Глава 4. Геометрия и физика фракталов

http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_414.htm
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_221.htm
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_334.htm
Фракталы Мандельброт обратил внимание на то, что довольно широко распространенное мнение о том, будто размерность является внутренней характеристикой тела, поверхности, тела или кривой неверно (в действительности, размерность объекта зависит от наблюдателя, точнее от связи объекта с внешним миром). Суть дела нетрудно уяснить из следующего наглядного примера. Представим себе, что мы рассматриваем клубок ниток. Если расстояние, отделяющее нас от клубка, достаточно велико, то клубок мы видим как точку, лишенную какой бы то ни было внутренней структуры, т.е. геометрический объект с евклидовой (интуитивно воспринимаемой) размерностью 0. Приблизив клубок на некоторое расстояние, мы будем видеть его как плоский диск, т.е. как геометрический объект размерности 2. Приблизившись к клубку еще на несколько шагов, мы увидим его в виде шарика, но не сможем различить отдельные нити - клубок станет геометрическим объектом размерности 3. При дальнейшем приближении к клубку мы увидим, что он состоит из нитей, т.е. евклидова размерность клубка станет равной 1. Наконец, если бы разрешающая способность наших глаз позволяла нам различать отдельные атомы, то, проникнув внутрь нити, мы увидели бы отдельные точки - клубок рассыпался бы на атомы, стал геометрическим объектом размерности x. Но если размерность зависит от конкретных условий, то ее можно выбирать по-разному. Математики накопили довольно большой запас различных определений размерности. Наиболее рациональный выбор определения размерности зависит от того, для чего мы хотим использовать это определение (Ситуация с выбором размерности вполне аналогична ситуации с вопросом: Сколько пальцев у меня на руках: 3 + 7 или 2 + 8? До тех пор, пока мы не вздумали надеть перчатки, любой ответ можно считать одинаково правильным. Но стоит лишь натянуть перчатки, как ответ на вопрос становится однозначным: 5 + 5). Мандельброт предложил использовать в качестве меры нерегулярности (изрезанности, извилистости и т.п.) определение размерности, предложенное Безиковичем и Хаусдорфом. Фрактал (неологизм Мандельброта) - это геометрический объект с дробной размерностью Безиковича-Хаусдорфа. Странный аттрактор Лоренца - один из таких фракталов. Размерность Безиковича-Хаусдорфа всегда не меньше евклидовой и совпадает с последней для регулярных геометрических объектов (для кривых, поверхностей и тел, изучаемых в современном учебнике евклидовой геометрии). Разность между размерностью Безиковича-Хаусдорфа и евклидовой - избыток размерности - может служить мерой отличия геометрических образов от регулярных. Например, плоская траектория броуновской частицы имеет размерность по Безиковичу-Хаусдорфу больше 1, но меньше 2: эта траектория уже не обычная гладкая кривая, но еще не плоская фигура. Размерность Безиковича-Хаусдорфа странного аттрактора Лоренца больше 2, но меньше 3: аттрактор Лоренца уже не гладкая поверхность, но еще не объемное тело. О степени упорядоченности или неупорядоченности (хаотичности) движения можно судить и по тому, насколько равномерно размазан спектр, нет ли в нем заметно выраженных максимумов и минимумов. Эта характеристика лежит в основе так называемой топологической энтропии, служащей, как и ее статистический прототип, мерой хаотичности движений. Существуют и другие характеристики, позволяющие судить об упорядоченности хаоса
Ю.А. Данилов, Б.Б. Кадомцев. Что такое Синергетика?
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_227.htm
Что же касается соответствия реальному миру, то фрактальная геометрия описывает весьма широкий класс природных процессов и явлений, и поэтому мы можем вслед за Б. Мандельбротом с полным правом говорить о фрактальной геометрии природы. Новые - фрактальные - объекты обладают необычными свойствами. Длины, площади и объемы одних фракталов равны нулю, других - обращаются в бесконечность. Чтобы более точно охарактеризовать фракталы, Б. Мандельброт сосредоточил внимание не на них, а на скорости обращения соответствующей величины в нуль или в бесконечности. Эта оценка совпала с уже известной в математике величиной - так называемой размерностью Ф. Хаусдорфа - А.С. Безиковича, совпадающей для гладких объектов с топологической размерностью, равной нулю для точки, единице для линии, двум для плоской фигуры, трем для тел. Для фракталов размерность Хаусдорфа-Безиковича обычно принимает дробные значения, что, собственно, и дало Мандельброту основание для выбора названия своему детищу от латинского фрактус - дробный. Со временем, однако, выяснилось обстоятельство почти криминального характера: размерности Хаусдорфа-Безиковича некоторых фракталов оказалась целой. Помимо размерности Хаусдорфа-Безиковича фракталы характеризуются и другими размерностями как эмпирического (например, массовая размерность), так и теоретического характера (например, размерности А. Реньи, образующие континуально бесконечное семейство и включающие в себя все известные размерности, в том числе размерность Хаусдорфа-Безиковича, информационную и корреляционную размерности). Для описания некоторых фракталов одной размерности оказывается недостаточно: такие объекты, называемые мультифракталами, характеризувтся целым спектром значений размерности Хаусдорфа-Безиковича. В свое время в поисках гармонии мира И. Кеплер совершил восхождение от геометрических пропорций пяти платоновых тел через пропорции паркетов и звездчатых многогранников, музыкальных созвучий и астрологических аспектов, открыв из соображений динамической симметрий знаменитый третий закон движения планет, связывающий размеры орбиты с периодом обращения по ней. Фрактальная геометрия, описывая не только самоаффинные геометрически правильные объекты со статической, застывшей симметрией, но и многочисленные объекты нелинейной динамики типа странных аттракторов, хаотических траекторий в зазорах между торами Колмогорова-Арнольда-Мозера, гомоклиники и т.д., сочетает статичность геометрических форм с динамикой. Фракталы обладают еще одной ипостасью, делающей их еще более прекрасными в глазах теоретика. Структура фракталов настолько сложна, что оставляет заметный отпечаток на физических процессах, протекающих на фракталах как на носителях. Фракталы иначе рассеивают электромагнитное излучение, по другому колеблются и звучат, иначе проводят электричество, по фракталам иначе происходит диффузия вещества. Возникает новая область естествознания - физика фракталов. Фракталы становятся удобными моделями, чем-то вроде интегрируемых задач классической механики, для описания процессов в средах, ранее считавшихся неупорядоченными. В отличие от существовавших ранее подходов, основанных, как правило, на усреднении, т.е. на стирании мелких деталей, фрактальная физика учитывает самоаффинную структуру среды. При фрактальном подходе хаос перестает быть синонимом беспорядка и обретает тонкую структуру. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют
Ю.А. Данилов. Красота фракталов
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_317.htm
Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир. 1993. 176 с.
лед
Кристаллы льда: снимки, сделанные электронным микроскопом
дых
Лист папоротника, структура легочных альвеол - примеры фрактальных
объектов, встречающихся в живой природе
А.Е. Храмов. Геометрия и физика фракталов. Факультет нелинейных процессов. Физика открытых нелинейных систем. Саратов - 2008
http://www.sgu.ru/files/nodes/19152/Fractals2.pdf

Двумуравное древо Лобачевского
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_301.htm
Французский ботаник XIX века Луи Браве и его брат Огюст, известный физик, обнаружили, что величина угла расхождения у многих видов растений приближается к 360°/2.618...(где 2.618...есть не что иное, как квадрат золотого сечения), из чего следует, что количество образуемых листьями или чешуйками спиралей (или парастихов), закрученных по часовой стрелке и против часовой стрелки, равно двум последовательным числам Фибоначчи (каким именно числам — зависит от скорости, с которой чешуйки сменяют одна другую).
Гномон - фигура, будучи добавлена к какой-либо фигуре, образует новую фигуру, подобную исходной (самоподобие). Спектры квадратичных иррациональностей. Затравка и гномонные числа. Витые фигуры - геометрическая метафора периодических непрерывных дробей
Мидхат Газале. Гномон. От фараонов до фракталов
http://www.forex-baza.com/psychology-39.html

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений. Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой

  


СТАТИСТИКА