Ю.А. Данилов. Из лекций по нелинейной динамике

Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии

Мысли | Доклады | Самоорганизация

на первую страницу

НОВОСТИ | ССЫЛКИ

Ю.А. Данилов. Из лекций по нелинейной динамике
от 26.01.06

Доклады

рис. 127. Б.А. Рыбаков. Рожаницы

Россия забыла напитки,
В них вечности было вино,
И в первом разобранном свитке
Восчла роковое письмо.

Ты свитку внимала немливо,
Как взрослым внимает дитя,
И подлая тайная сила
Тебя наблюдала хотя
В. Хлебников. Начало 1908

Из лекции 1. Что такое нелинейная динамика?
Наследственные свойства итераций Условимся называть наследственными те свойства итераций, которые они получают (по наследству) от основного отображения
k-цикл Конечное множество приближений, каждое из которых переходит в следующее под воздействием отображения f, называется циклом (длина цикла называется его порядком). k-цикл:
x₀ --f--> x₁ --f--> x₂...--f--> х_k-1

(1.6)

Введение
Нелинейная динамика - раздел современной математики, занимающийся исследованием нелинейных динамических систем.
Под динамической системой условились понимать систему любой природы (физическую, химическую, биологическую, социальную, экономическую и т.д.), состояние которой изменяется (дискретно или непрерывно) во времени.
Нелинейная динамика использует при изучении систем нелинейные модели - чаще всего дифференциальные уравнения и дискретные отображения.
Дать точное определение того, что составляет предмет нелинейной динамики ничуть не легче, чем определить, что составляет предмет теории колебаний. Перефразируя Л.И. Мандельштама (Лекции по теории колебаний), можно сказать, что - было бы бесплодным педантизмом стараться точно определить, какими именно процессами занимается теория колебаний. Важно не это. Важно выделить руководящие идеи, основные общие закономерности -.
Следует подчеркнуть, что нелинейной называется теория, в частности нелинейная теория динамических систем, использующая нелинейные математические модели. Но нелинейная теория не обязательно ограничивается изучением нелинейных явлений или закономерностей.
Мир нелинейных закономерностей, или функций, так же, как и стоящий за ним мир нелинейных явлений, страшит, покоряет и неотразимо манит своим неисчерпаемым разнообразием. Здесь нет места чинному стандарту, здесь безраздельно господствует изменчивость и буйство форм. То, что точно схватывает и передает характерные особенности одного класса нелинейных функций, ничего не говорит даже о простейших особенностях типичного представителя нелинейных функций другого класса. Геометрический образ нелинейной функции - кривая на плоскости, искривленная поверхность или гиперповерхность в пространстве трех или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придается приращение. Почти полным безразличием к изменению одних и повышенной чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции разительно контрастируют с линейными функциями. Любая линейная функция откликается на приращение независимой переменной одним и тем же приращением своего значения, в какой бы части области определения ни находилось то значение независимой переменной, которой придается приращение. Именно здесь и проходит демаркационная линия между миром линейных и нелинейных явлений.
Границу между линейными и нелинейными теориями принято проводить по иному признаку. Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой - линейный или нелинейный - математический аппарат, какие - линейные или нелинейные - математические модели она использует.
Физики прошлого пребывали в уверенности, что именно линейная теория дает главный член бесконечного ряда последовательных приближений к истине, а нелинейности отводится скромная роль косметики на прекрасном лике линейной теории, вместилища всевозможных поправок, не меняющих сколько-нибудь существенно выводы линейной теории. Их уверенность в этом укрепляли блестящие успехи линейной теории, и в первую очередь, ее высшее достижение - электродинамика Максвелла.
Отпечаток распространенного некогда заблуждения относительно якобы главенствующей роли линейности в окружающем нас мире несет на себе сам термин - нелинейность: его создатели сочли первичной линейность, а нелинейность восприняли как нечто вторичное, производное от линейности, и определили через отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как - не нелинейность. Доведенный усилиями не одного поколения математиков до высокой степени совершенства, линейный математический аппарат взят физиками на вооружение и до тонкости освоен так давно, что стал неотъемлемым элементом их математической культуры, вошел в плоть и кровь, обрел почти осязаемые формы в виде целой серии насыщенных яркими физическими идеями и образами сущностей, позволяющими физику, минуя тяготы вычислений, интуитивно предугадывать ответ.
Принцип суперпозиции
Неповторимая отличительная особенность линейной теории, безвозвратно утрачиваемая при переходе к нелинейной ступени познания - принцип суперпозиции - позволяет физику конструировать любое решение из определенного набора частных решений.
Физики, делавшие первые, еще неуверенные шаги в области нелинейного, где все было - не так -, все противоречило устоявшимся линейным представлениям и линейной интуиции, питали надежду, что милый их сердцу линейный математический аппарат путем различного рода ухищрений удастся приспособить к решению новых нелинейных задач. Тех, кто так полагал, ожидало разочарование: линейный математический аппарат отторгал чужеродную ткань нелинейных дополнений. - Искусственная линеаризация - оказывалась малоэффективной, - большей частью ничему не научила, а иногда бывало прямо вредной (Л.А. Мандельштам)
Нелинейное мышление Л.И. Мандельштама
Неправомерное перенесение линейного опыта на нелинейную почву не только лишено последовательности и наносит ущерб эстетической привлекательности теории (тем самым сигнализируя о нарушении сформулированного П.А. Дираком критерия математической красоты физической теории), но и чревато грубым искажением существа происходящих процессов. Руководствуясь показаниями ставшего ненадежным компаса линейной теории, нетрудно впасть в ошибку и проглядеть важный эффект, не имеющий линейных аналогов.
Уже на подступах к бескрайним просторам нелинейности исследователь, как правило, вынужден отказаться от линейных вех, способных скорее дезориентировать, чем указывать верное направление. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, физик порой встает на путь своего рода математического старательства и принимается решать нелинейные проблемы поштучно, используя их специфические индивидуальные особенности. Л.И. Мандельштам в предисловии к первому изданию знаменитой (и многострадальной) Теории колебаний - А.А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина писал:
Тот путь, конечно, сам по себе правилен. Идя по нему, ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие свое значение и в настоящее время. И сейчас, иногда, удобно в том или ином случае идти по этому пути.
Но не говоря уже о том, что фактически такие решения разрозненных отдельных задач не имели достаточного математического обоснования, весь этот путь в качестве, так сказать, большой дороги вряд ли целесообразен, так как он не ведет к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области Нелинейных Колебаний в уже известной нам ее части, и, что еще важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития.
Выделенные курсивом слова - нелинейных колебаний - не уменьшают общности утверждения. Их следует читать как - нелинейной физики -, ведь они принадлежат Л.И. Мандельштаму.
Чтобы не влачить жалкое существование приживалки линейной теории и не быть низведенной до положения ученой хранительницы обширного собрания разрозненных решенных задач, нелинейная физика должна была обрести внутреннее единство и автономию от своей предшественницы - линейной физики. Необходимо создать - нелинейную культуру, включающую надежный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах (А.А. Андронов).
Основоположником и создателем нелинейного физического мышления стал замечательный физик - академик Л.И. Мандельштам.
Итак, приступаем к изучению математических моделей нелинейной динамики. Начнем мы с простейших моделей - дискретных отображений.
Из лекции 2. Квадратичное отображение
y = rx(1 - x)
при 0 < r <=4
Универсальность Фейгенбаума
На заре нелинейной динамики в 1930-х гг. скептики неоднократно высказывали опасения, что создать нелинейную теорию, охватывающую столь же широкий круг явлений, как линейная теория, невозможно и что нелинейные теории в лучшем случае будут представлять собой груды частных примеров, не допускающих сколько-нибудь широкого обобщения. Одним из контрпримеров, наглядно показывающих всю необоснованность подобных опасений, стало открытое американским физиком Митчеллом Фейгенбаумом явление универсальности, охватывающее не только квадратичные, но и все унимодальные (одногорбые) отображения, удовлетворяющие условию
Sf < 0,
где
Sf = f'''/f' - 2/3(f''/f')² - производная Шварца

(2.14)

Исследуя квадратичное отображение с помощью микрокалькулятора, Фейгенбаум обнаружил, что неподвижная точка х₂^* = 1 - (1/r), при увеличении параметра r слева направо, достигает при r = R₀ = 2 уровня х₂^* = 1/2 (см. рис. 10).

При дальнейшем движении направо, неподвижная точка х₂^* при r = r₁ = 3 утрачивает устойчивость, и в окрестности ее появляются две неподвижные точки второй итерации (сателиты), образующие 2-цикл. Устойчивые в момент своего возникновения, точки 2-цикла движутся (при увеличении параметра r) направо и при некотором значении параметра r = r₂ одновременно (как показано в предыдущем разделе) теряют устойчивость, и в окрестности каждой возникает по паре новых точек, образующих 4-цикл. Траектория элементов циклов пересекают уровень y = 1/2 при значении параметра r = R₁, R₂. Циклы, содержащие точки на уровне y = 1/2, называются суперустойчивыми.
В самом начале при значении r, близком к нулю, мы имеем только неподвижную точку х₂^*, т.е. 1-й цикл, состоящий из одной-единственной неподвижной точки х₂^*. По миновании r = r₁ возникает 2-цикл, т.е. период удваивается. По миновании r = r₂ каждый элемент 2-цикла превращается в 2-цикл, т.е. мы получаем 4-цикл, или еще одно удвоение периода. Последовательность удвоений длин циклов при r = r_i (i = 1, 2,...) называется каскадом удвоений периодов Фейгенбаума.
После того как происходит бесконечное число удвоений периода в системе, описываемой унимодальным отображением, наступает сложное хаотическое состояние. Но хаос в данном случае - не синоним отсутствия всякого порядка. Это состояние наделено тонкой структурой.
Как показал Фейгенбаум, для всех унимодальных отображений, удовлетворяющих условию (2.14), справедливы соотношения
r_n = r_{бесконечн.} - const₁q^-n,
R_n = R_{бесконечн.} - const₂q^-n,
d_n/d_n+1 = а,
R_{бесконечн.} = r_{бесконечн.} = 3.569956...,
где q = 4.6692016091...,
а = 2.5029078750...
С параболическим отображением связаны и многие другие любопытные особенности. Например, значение
R₁ = sqrt(5) + 1 = 2g
где g - знаменитое золотое сечение
Порядок Шарковского
Исследуя унимодальные отображения, украинский математик А.Н. Шарковский в 1964 г. обнаружил, что в области - хаоса - имеются так называемые - окна периодичности - узкие интервалы значений параметра r, в которых существуют периодические движения. Двигаясь вспять (т.е. в сторону уменьшения) по параметру r, можно наблюдать окна периодичности с периодами, равными соответственно
3-->5-->7-->11-->13-->17-->…
-->3*2-->5*2-->7*2-->11*2-->13*2-->17*2-->…
-->3*2²-->5*2²-->7*2²-->11*2²-->13*2²-->17*2>…
...
-->2ⁿ-->2^n-1-->...-->2⁵-->2⁴-->2³-->2²-->2-->1

(2.15)

(стрелка --> означает - влечет за собой: a --> b означает: а влечет за собой b, или b следует за а). В верхней строке представлены в порядке возрастания все простые числа, кроме 2, во второй строке - произведения простых чисел на 2, в третьей - произведения простых чисел на 2², в k-й строке сверху - произведения простых чисел на 2^k. Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки. Двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума.
Самым - многообещающим - в порядке Шарковского оказывается 3-цикл. К аналогичному результату независимо от Шарковского пришли в 1975 г. Т. Ли и Дж. Йорк. Им также удалось показать, что из существования в унимодальной системе 3-цикла следует существование хаотических последовательностей, - цикл три рождает хаос. Ни теорема Шарковского, ни работа Ли-Йорка ничего не говорят об устойчивости циклов (окон периодичности).
Выяснилось, что обнаруженные Фейгенбаумом закономерности и значения параметров r (при которых аттракторы превращаются в репеллеры, и в окрестностях недавних аттакторов появляются 2-циклы), R (при которых траектории подвижных точек достигают уровня y = 1/2), q, q₁ и а универсальны для всех унимодальных (т.е. одногорбых) отображений, удовлетворяющих не очень ограничительному условию (2.14).
Лекция 6. Количественные меры хаоса
Гипотеза Х.А. Лоренца и спектральная размерность
В 1908г. Пауль Вольфскель завещал Институту математики в немецком университетском городе Геттингене 100 000 немецких марок в качестве награды тому, кто сумеет доказать (или опровергнуть) знаменитую Великую теорему Ферма, утверждающую, что при целом n >= 3 уравнение
xⁿ + yⁿ = zⁿ

(6.13)

не имеет решений среди целых чисел. На проценты со 100 000 немецких марок Давид Гильберт приглашал самых выдающихся математиков и физиков первой четверти XX в. выступить с докладами о проблемах науки новейшего времени перед учителями гимназий в свободной от обязательных занятий летний семестр. В 1910 г. первым с докладом о специальной теории относительности выступил Анри Пуанкаре, в 1913 г. - Хенрик Антон Лоренц, в 1918 г. - Нильс Бор. В своем выступлении Лоренц сформулировал интересную физико-математическую проблему: как изменяется спектр собственных колебаний континуума при изменении его формы. Например, как изменяется спектр колебаний мембраны литавр при изменении формы ее контура? Гильберт высказал опасение, что это проблема не будет решена при жизни его поколения. К счастью, Гильберт заблуждался: проблема Лоренца вскоре была решена одним из присутствовавших на лекции молодых математиков Германом Вейлем. Вейль показал, что при достаточно гладкой, но в остальном произвольной границе резонатора и достаточно большой частоте f число резонансов, не превышающих f, определяется соотношением
N₃(f) = 4pi/3 V (f/c)³ ;

(6.14)

в двумерном случае -
N₂(f) = pi S (f/c)² ,

(6.15)

где V - обьем, S - площадь резонатора; с - скорость звука (или света, если речь идет об электромагнитных колебаниях). Как изменяются соотношения Вейля (6.14) и (6.15), если отказаться от ограничения достаточно гладкого резонатора? Например, как выглядят аналоги соотношений Вейля для резонаторов с фрактальной границей? Физик из Ливерпуля М.В. Берри предложил, что
abs(DN(f)) = (L f/c)^D ,

(6.16)

где L - характерная длина, а D - размерность Хаусдорфа-Безиковича. Нетрудно понять, что показатель в первой части формулы (6.16) вряд ли совпадает с размерностью Хасудорфа-Безиковича: частотный спектр колеблющейся среды зависит от характеристик связного - остова -, т.е. определяется размерностью Минковского-Булигана:
D_M-B = lim log F(e)/log(1/e) + 2 ; при e -> 0

(6.17)

(в предположении, что предел в правой части существует), где F(e) - так называемая - сосиска Минковского - ее обьем - содержимое Минковского - суммарная площадь (или суммарный обьем кругов (сфер) радиуса e), покрывающий фрактал. Манфред Шредер в своей книге - Фракталы, хаос, степенные законы. Крохотные фрагменты из бесконечного рая - высказал гипотезу о том, что
N₂(f) = (a f/c)^d ,

(6.18)

где a - некоторая характерная длина, d - подходящая спектральная размерность
Лекция 9. Процессы на фрактальных средах

Дано многообразие и в нем группа преобразований. Требуется развить теорию инвариантов этой группы.
Ф. Клейн. Эрлангенская программа

По Мандельброту, фракталом называется любой обьект, самоподобный или самоафинный в том или ином смысле. В духе Эрлангенской программы Ф. Клейна, определяющей любую геометрию как науку об инвариантах соответствующей группы преобразований, фрактальную геометрию можно определить как геометрию, занимающуюся изучением степенных законов - инвариантов группы аффинных (в частном случае подобных) преобразований.
Подробному изложению группы преобразований подобия посвящена лекция 10, и мы сейчас не будем останавливаться на рассмотрении аффинных и подобных преобразований.
Сложная геометрия фрактальных сред оказывает сильное влияние на протекание различных процессов. Фрактальные среды иначе, чем традиционная сплошная среда, колеблются, проводят электричество, на них иначе происходит диффузия и т.д.
Диффузия
Диффузия на фрактальных средах протекает медленнее, чем в обычной сплошной среде, так как частицы диффундирующего вещества вынуждены двигаться по узким каналам сложной конфигурации с тупиками, резкими поворотами и сужениями. Диффузия в пористой среде определяется не только фрактальной сетью каналов и пор, геометрию которых, и в частности фрактальные размерности, изменяются по мере заполнения каналов диффундирующим флюидом, но и фрактальным твердым остовом (стенок пор). В традиционной сплошной среде диффузия описывается моделью случайных блужданий: частица, находящаяся в центре окружности, может в следующий момент времени оказаться равновероятно в любой точке окружности. Среднеквадратичное смещение частицы {s²} удовлетворяет соотношению Эйнштейна:
{s²} = 2Dt,

(9.1)

т.е. линейно зависит от времени t. Соотношение Эйнштейна (9.1) выполняется в евклидовом пространстве любой размерности а, даже если случайные положения частицы имеют распределение, отличное от нормального.
В случае диффузии во фрактальной среде соотношение Эйнштейна (9.1) заменяется его фрактальным обобщением:
{s²} = д²t^а,

(9.2)

где а < 1. Показатель а зависит от фрактальных размерностей сети каналов и твердого остова. Аналогично, вместо классического уравнения диффузии
du/dt = Lu,

(9.3)

где Lu - лапласиан от u, диффузия во фрактальной среде описывается уравнением диффузии с дробной производной по времени
d^фu/dt^ф = Lu,

(9.4)

Колебания во фрактальной среде
В лекции 6 мы упоминали о предложенном Германом Вейлем решении проблемы Лоренца о связи формы резонатора и его спектра. Впоследствии известный специалист по теории вероятностей Марк Кац сформулировал проблему Х.А. Лоренца в острой, запоминающейся форме: Можно ли услышать форму барабана? - Ответ Х.А. Лоренца и более поздних авторов можно было бы сформулировать так: Форму барабана услышать нельзя, а обьем, площадь или периметр - можно. - Как показал Г. Вейль, число резонансов, не превышающих частоту f, зависит не от формы резонатора, а от его обьема:
N₃(f) = 4pi/3 V (f/c)³ ,

(9.23)

где V - обьем резонатора, f - частота, с - скорость распространения колебаний, или в двумерном случае - от площади
N₂(f) = pi S (f/c)² ,

(9.24)

где S - площадь резонатора; а f и с имеют такой же смысл, как в (9.23). Сравнивая соотношения (9.23) и (9.24), нетрудно заметить, что они имеют одинаковую структуру
N_d(f) = П А (f/c)^d ,

(9.25)

где d - евклидова размерность резонатора, П - числовой коэффициент, А - обьем, площадь, периметр или, в зависимости от размерности d, гиперобьем, f - частота, c - скорость распространения колебаний. В закономерность, угаданную в соотношении (9.25), укладывается вычисленная после Вейля поправка к формуле (9.24), учитывающая линейную зависимость по частоте:
abs(DN₂(f)) = 1/2 p f/c ,

(9.26)

где p - периметр резонатора. По аналогии с (9.13) Берри высказал гипотезу о том, что в случае фрактальной среды
abs(DN(f)) = (L f/c)^D ,

(9.27)

где L - характерный линейный размер, D - размерность Хаусдорфа-Безиковича, f - частота, и c - скорость распространения колебаний. Но, как ясно из физических соображений и как показали измерения Лапидуса, Флекингера-Пелле, показатель в (9.25) должен быть другим, а именно определяться размерностью Минковского-Булигана
D_M-B = lim log S(e)/log(1/e) + 2 ; при e -> 0

(9.28)

где S(e) - площадь (или обьем) так называемой - сосиски Минковского - теоретико-множественной суммы сфер радиуса e, покрывающих весь фрактал
Оглавление
Лекция 1. Что такое нелинейная динамика?
Введение
Принцип суперпозиции
Нелинейное мышление Л.И. Мандельштама
Дискретные отображения
Наследственные свойства итераций
k-цикл
Треугольное отображение
Сдвиги Бернулли
Лекция 2. Квадратичное отображение
Квадратичное отображение
Неподвижные точки
Устойчивость неподвижной точки
Экстремум
Универсальности Фейгенбаума
Порядок Шарковского
Двумерные дискретные отображения. Кошка Арнольда
Гиперболичность
Неподвижные точки отображения - кошка Арнольда -
Топологически сопряженные отображения
Лекция 3. Непрерывные системы
Сечение Пуанкаре
Индекс Пуанкаре
Остов фазового портрета
Система Лоренца
Свойства системы Лоренца
Неподвижные точки системы Лоренца
Устойчивость по Ляпунову
Лекция 4. Еще один взгляд на систему Э. Лоренца
Качественные признаки хаоса
Количественные меры хаоса
Показатель Ляпунова
Примеры вычисления показателя Ляпунова
Лекция 5. Количественные меры хаоса
Инвариантная плотность
Корреляционная функция
Фрактальные размерности
Что же такое фрактал?
Размерность Хаусдорфа--Безиковича
Размерности Реньи
Лекция 6. Количественные меры хаоса (продолжение)
Топологическая сопряженность
Эмпирические фрактальные размерности
Гипотеза Х.А. Лоренца и спектральная размерность
Лекция 7. Геометрически регулярные фракталы
Канторовская пыль
Ломаная и снежинка фон Коха
Салфетка Серпинского
Ковер Серпинского
Трехмерный аналог салфетки Серпинского
Губка Серпинского
Лекция 8. Мультифракталы
Условие Липшица
Лекция 9. Процессы на фрактальных средах
Диффузия
Производная и интеграл дробного порядка
Интеграл дробного порядка
Оператор отражения
Волновые процессы во фрактальных средах
Колебания во фрактальной среде
Моделирование траектории броуновской частицы
Лекция 10. Подобие и аффинные преобразования
Преобразование подобия
Аффинные преобразования
Последовательность Морса-Туэ
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_289.htm
Анализ размерности
Автомодельные решения
Уравнение теплопроводности (диффузии)
Уравнение Бюргерса
Уравнение Кортевега-де Фриса
Лекция 11. Метод Софуса Ли
Теория продолжения
Первое продолжение
Второе продолжение
Лекция 12. Метод Софуса Ли (продолжение)
Эргодичность и перемешивание
Лекция 13. Солитоны
Данные рассеяния
Лекция 14. КАМ-теория
Интегрируемая гамильтонова система
Гармонический осциллятор
Возмущение интегрируемого гамильтониана
Гомоклинический хаос
Ю.А. Данилов. Лекции по нелинейной динамике
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_227.htm
Из книги - Фракталы в физике
http://rusnauka.narod.ru/lib/author/mandelbrot/1/MANDELBROT.htm
С.П. Кузнецов. Динамический хаос (курс лекций)
http://fizmatlit.narod.ru/webrary/kuzn/kuzn.htm
В.С. Анищенко. Знакомство с нелинейной динамикой
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_402.htm
А. Дмитриев. Детерминированный хаос и информационные технологии
http://cplire.ru/rus/InformChaosLab/chaoscomputerra/Dmitriev.html
Велимiр Хлъбников. Есть закон неизменности чисел
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_231.htm

СТАТИСТИКА