Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Ю.А. Данилов. Из лекций по нелинейной динамике
от 26.01.06
  
Доклады


Я начну с фазового пространства, которое...перестало быть только математической абстракцией и приобрело высокую степень физической наглядности не только потому, что физики с ним свыклись, но и потому, что оказалось возможным приблизить его к нашим органам чувств, наблюдая систематически фазовые траектории на экране осциллографа

рис. 127. Б.А. Рыбаков. Рожаницы

Вот оно! Вот оно! Желанное, родимое! Упавшее из птичьей стаи. Наше прекрасное откровение и сновидение в одеждах чисел
В. Хлебников. Зарей Венчанный. 16.I.22


Как связаны друг с другом явления, происходящие в природе?
Каким образом можно верно отразить зависимости между величинами, описывающими эти явления?
Классический аппарат естествознания был создан прежде всего на линейной основе: равным изменениям одной - независимой - величины должны непреложно отвечать равные перемены в зависимой. И хотя примеров линейности нашего мира множество, вся природа, однако, не укладывается в рамки пусть строгой и стройной, но, увы, чересчур идеальной схемы.
Вне этих рамок - но ближе к реальности властвует нелинейность.
Современную физику, наряду со многими отличающими ее от физики прошлого эпитетами, несомненно, можно именовать и нелинейной. Причем это название отмечает не столько черту, одну из характеристик науки, сколько отражает ее переход на новую - нелинейную ступень познания.
Использование нелинейных математических моделей позволяет объединить и описать большой круг разрозненных явлений, обнажить их глубинную сущность.
О качественно новых особенностях, вносимых нелинейностью в науку, рассказывает предлагаемая вниманию читателя статья.
Среди множества почетных титулов, которые принес нашему веку прогресс науки, век нелинейности - один из наименее звучных, но наиболее значимых и заслуженных.
Нелинейность всепроникающа и вездесуща, многолика и неисчерпаемо разнообразна. Она повсюду: в большом и в малом, в явлениях быстротечных и длящихся эпохи. Нелинейность - это рождение и аннигиляция элементарных частиц, гигантское красное пятно на Юпитере и оглушительный хлопок пастушьего кнута, биение сердца и всепроникающий луч лазера, теплый свет свечи и нескончаемая изменчивость волн, болезни и исцеление, вызов искусству аналитика и мастерству экспериментатора, надежды и бессилие создателей теорий и тех, кто подвергает их замыслы суровой экспериментальной проверке.
Нелинейность - понятие емкое, с множеством оттенков и градаций. Нелинейность эффекта или явления означает одно, нелинейность теории - другое.
Нелинейный эффект - это эффект, описываемый некоторой нелинейной зависимостью. Математически такого рода зависимости выражаются нелинейными функциями одного или нескольких переменных.
Мир линейных функций утомительно однообразен: стоит изучить лишь одну линейную функцию, как вы знаете все наиболее существенное о всех линейных функциях. Не приносит каких-либо неожиданностей и переход к большему числу измерений. Геометрический образ линейной функции, каков бы ни был ее физический смысл, в зависимости от числа независимых переменных - прямая, плоскость или гиперплоскость. На одинаковые приращения независимой переменной линейная функция беспристрастно (то есть независимо от значения независимой переменной) откликается одинаковыми приращениями. Это означает, что линейная зависимость не обладает избирательностью. Она не может описывать ни резонансных всплесков, ни насыщения, ни колебаний - ничего, кроме равномерного неуклонного роста или столь же равномерного и столь же неуклонного убывания.
Мир нелинейных функций так же, как и стоящий за ним мир нелинейных явлений, страшит, покоряет и неотразимо манит своим неисчерпаемым разнообразием. Здесь нет места чинному стандарту, здесь безраздельно господствуют изменчивость и буйство форм. То, что точно схватывает и передает характерные особенности одного класса нелинейных функций, ничего не говорит даже о простейших особенностях типичного представителя другого класса. Геометрический образ нелинейной функции - кривая на плоскости, искривленная поверхность или гиперповерхность в пространстве трех или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придается приращение. Почти полным безразличием к изменению одних и повышенной чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции разительно контрастируют с линейными. Именно здесь и проходит демаркационная линия между миром нелинейных и миром линейных явлений.
В какой бы области естествознания ни возникала нелинейность явлений, она глубоко функциональна. В физике нелинейность - это учет различного рода взаимодействий, обратных влияний и тонких эффектов, ускользающих от более грубых сетей линейной теории. В химии нелинейность отражает обратные связи в сокровеннейших механизмах реакций. В биологии нелинейность исполнена высокого эволюционного смысла: только сильная нелинейность позволяет биологическим системам...услышать шорох подползающей змеи и не ослепнуть при близкой вспышке молнии. Те биологические системы, которые не смогли охватить громадный диапазон жизненно значимых воздействий среды, попросту вымерли, не выдержав борьбы за существование. На их могилах можно было бы написать: Они были слишком линейными для этого мира (А.М. Молчанов).
Границу между линейными и нелинейными теориями принято проводить по иному признаку. Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой - линейный или нелинейный - математический аппарат она использует.
В прошлом физика знала немало нелинейных теорий (хотя число их, разумеется, не шло ни в какое сравнение с числом нелинейных теорий, известных ныне). Вспомним хотя бы такие исконно нелинейные физические теории, как гидродинамика или небесная механика. И все же физику прошлого даже с большой натяжкой нельзя было бы назвать нелинейной. Для этого ей недоставало главного нелинейность еще не заняла подобающего места среди первых принципов, на которых зиждилось тогда физическое мышление. Большинство физиков пребывало в уверенности, что в великой книге природы основная линия развития сюжета проходит в стороне от нелинейных разделов и глав, набранных как бы петитом, и их (по крайней мере при первом чтении) можно опустить без особого ущерба для понимания.
Во мнении, что именно линейная теория дает главный член бесконечного ряда последовательных приближений к истине, а нелинейности отводится скромная роль косметики на прекрасном лице линейной теории, вместилища всевозможных поправок, не меняющих сколько-нибудь существенно выводов линейной теории, физиков прошлого укрепляли блестящие успехи линейной теории и в первую очередь ее высочайшее достижение - электродинамика Максвелла.
Отпечаток распространенного некогда заблуждения относительно якобы главенствующей роли линейности в окружающем нас мире несет на себе сам термин нелинейность: его создатели сочли первичной линейность, а нелинейность восприняли как нечто вторичное, производное от линейности и определили через ее отрицание. Современный физик, доводись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего поступил бы иначе и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей определил бы линейность как не нелинейность. Доведенный усилиями не одного поколения математиков до высокой степени совершенства, линейный математический аппарат взят физиками на вооружение и до тонкости освоен так давно, что стал неотъемлемым элементом их математической культуры, вошел в плоть и кровь, обрел почти осязаемые формы в виде целой серии насыщенных ярким физическим содержанием идей и образов, позволяющих физику, минуя тяготы вычислений, интуитивно предугадывать ответ.
Не следует думать, однако, будто богатейший опыт прошлого, нашедший свое концентрированное выражение в линейном физическом мышлении, пропадает втуне для познания нелинейных явлений: среди решений линейных уравнений, разностных, обыкновенных дифференциальных с частными производными, интегральных и интегродифференциальных и т.п. имеется немало нелинейных функций, вполне пригодных для описания некоторых нелинейных явлений.
Впрочем, заблуждаются не только те, кто недооценивает возможности линейной теории, но и те, кто считает ее всесильной: далеко не всякая нелинейная функция, описывающая тот или иной физический эффект, может быть решением линейного уравнения. Среди нелинейных функций встречаются и совсем дикие, не удовлетворяющие никаким - ни линейным, ни нелинейным уравнениям.
Неповторимая отличительная особенность линейной теории, безвозвратно утрачиваемая при переходе к нелинейной ступени познания, - принцип суперпозиции - позволяет физику конструировать любое решение из определенного набора частных решений.
Физики, делавшие первые, еще неуверенные шаги в области нелинейного, где все было не так - противоречило устоявшимся линейным представлениям и линейной интуиции, питали надежду, что милый их сердцу линейный математический аппарат путем различного рода ухищрений удастся приспособить к решению новых задач. Тех, кто так полагал, ожидало разочарование: линейный математический аппарат отторгал чужеродную ткань нелинейных дополнений. Искусственная линеаризация оказывалась малоэффективной, …большей частью ничему не научала, а иногда бывала и прямо вредной (Л.И. Мандельштам).
Неправомерное перенесение линейного опыта на нелинейную почву не только лишено последовательности и наносит ущерб эстетической привлекательности теории (тем самым сигнализируя о нарушении сформулированного П.А. М. Дираком критерия математической красоты физической теории), но и чревато грубым искажением существа происходящих процессов. Руководствуясь ненадежным компасом линейной интуиции, нетрудно впасть в ошибку и проглядеть важный эффект, не имеющий линейных аналогов. Приведем один весьма красноречивый пример.
Линейные теории теплопроводности и диффузии по существу тождественны: в линейном приближении законы Фурье и Фика устроены одинаково, уравнения теплопроводности и диффузии с точностью до обозначений совпадают. Если создать начальное возмущение температуры или концентрации, то со временем оно рассосется, распределение температуры и концентрации будет стремиться к постоянному. Каково же было изумление ученых, когда выяснилось, что если диффузия сопровождается химической реакцией или теплопроводность наблюдается в среде с распределенными источниками тепла, то начальное возмущение может переходить в бегущую волну, движущуюся со скоростью, намного превышающей скорость диффузии! Важность открытия волнового режима в системах диффузионного типа станет ясной, если учесть, что такие системы описывают процессы, происходящие при горении газовых смесей, распространении нервного импульса, транспорта ионов через клеточные мембраны, динамику популяций различных организмов и многое другое.
О том, сколь неожиданным было это открытие, красноречиво свидетельствует следующий отрывок из обзора Электрофизика нервного волокна Альвина Скотта: Если оглянуться назад, то окажется, что математики упустили прекрасную возможность получить важные научные результаты только потому, что игнорировали изучение нелинейного уравнения диффузии. Исключением была работа А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского и Н.С. Пискунова - Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества… Они показали, что любое начальное возмущение в виде перепада стремится к одному и тому же уединенному стационарному решению типа бегущей волны. Авторы изучили это решение…и получили в явном виде выражение для скорости.
…То, что математики не сумели своевременно изучить уравнение Колмогорова - Петровского - Пискунова, не может быть объяснено слабостью их техники перед лицом огромных математических трудностей… Препятствие, вероятно, заключалось в том, что математики автоматически перенесли вывод о неволновом поведении решений волнового дифференциального уравнения на нелинейный случай.
…Чтобы иметь наглядный пример нелинейной диффузии, достаточно взять обыкновенную свечу, веками освещавшую рабочие столы ученых. Диффузия тепла от пламени освобождает от воска все новые участки фитиля, которые, в свою очередь, загораются и служат новыми источниками тепла.
Итак, уже на подступах к бескрайним просторам нелинейности исследователь, как правило, вынужден отказаться от линейных вех, способных скорее дезориентировать, чем указывать верное направление. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, физик порой встает на путь своего рода математического старательства и принимается решать нелинейные задачи поштучно, используя их специфические индивидуальные особенности. Этот путь, конечно, сам по себе правилен, - писал Л.И. Мандельштам в предисловии к первому изданию Теории колебаний А.А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина. - Идя по нему, ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие все свое значение и в настоящее время…И сейчас иногда удобно в том или ином случае идти по этому пути.
Но не говоря уже о том, что фактически такие решения отдельных задач не имели достаточного математического обоснования, весь этот путь в качестве, так сказать, большой дороги вряд ли целесообразен, так как он не ведет к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области нелинейных колебаний в уже известной нам ее части, и, что еще важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития.
Выделенные курсивом слова нелинейных колебаний не уменьшают общности утверждения. Их следует читать, как нелинейной физики - ведь они принадлежат Л.И. Мандельштаму, считавшему, что…главные открытия в физике, начиная с открытия Коперника, были по существу колебательными и что, может быть, прав английский математик и философ Уайтхед, утверждающий, что рождение физики связано с применением абстрактной идеи периодичности к большому числу отдельных конкретных явлений (А.А. Андронов).
Чтобы не влачить жалкое существование приживалки линейной теории и не быть низведенной до положения ученой хранительницы обширного собрания разрозненных решенных задач, нелинейная физика должна была обрести внутреннее единство и автономию от своей предшественницы - линейной физики. Необходимо создать…нелинейную культуру, включающую надежный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах (А.А. Андронов). Основоположником и создателем нелинейного физического мышления стал замечательный советский физик академик Л.И. Мандельштам.
Ученый широчайшего кругозора, тонкий знаток линейной колебательной культуры, Л.И. Мандельштам по достоинству оценил интернациональный язык нелинейной теории колебаний, позволяющий устанавливать изоморфизм внешне, казалось бы, далеких явлений, большую эвристическую силу выработанных ею математических понятий, воспринимаемых не абстрактно, а в непосредственной связи с целым комплексом физических явлений, даваемую отточенной физической интуицией возможность предугадывать решения в одних и правильно допрашивать дифференциальные уравнения в других случаях.
Нелинейное физическое мышление Л.И. Мандельштама, апеллирующее к наглядным физическим образам или, точнее, к образам, обретающим наглядность после того, как они пережиты физиком с той интенсивностью, с какой человек переживает наиболее важное из лично его касающегося (Г.С. Горелик), обнаруживает глубокую аналогию с, казалось бы, противоположным по своей основной тенденции структурным подходом Эмми Нетер, научившей математиков различать за конкретными деталями задачи контуры некой абстрактной схемы - математической структуры, задаваемой аксиоматически. Суть структурного подхода, сформулированная Н. Бурбаки в статье Архитектура математики, звучит как парафраз мандельштамовской программы создания нелинейной культуры: Структуры являются орудиями математика, каждый раз, когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им, имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он был бы должен мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы.
Без структурного подхода Эмми Нетер мир не знал бы современной алгебры, во многом определяющей лицо всей современной математики. Без нелинейного физического мышления Л.И. Мандельштама не было бы современной нелинейной физики, во многом определяющей лицо всей современной физики. Абстрактные математические структуры, жестко регламентированные сухим перечнем аксиом, и нелинейные физические понятия, определяемые лишь на эвристическом уровне строгости, едины в главном - они обнажают глубинную сущность явлений.
Основное оружие нелинейно мыслящего физика - математические модели, но в отличие от периода математического старательства, когда каждая задача решалась сама по себе и для себя, эти математические модели представительны, или массовы, - они описывают целые классы явлений, объединенных по какому-то признаку. Математическая модель, даже самая удачная, - не портрет типичного представителя описываемого класса явлений, выраженный в реалистической манере, а скорее карикатура на него: одни детали опущены, другие утрированы, но в целом портретное сходство сохранено настолько, что явление узнаваемо. Появившись на свет, модель начинает жить самостоятельной жизнью и нередко преподносит своему создателю приятные и неприятные сюрпризы, обнаруживая свойства, о которых тот и не помышлял. Модель (идеализация) мстит (Л.И. Мандельштам).
Современные математические модели представляют собой нелинейные уравнения или системы нелинейных уравнений различных типов. Хотя нелинейные уравнения несколько утратили былой ореол неприступности, все же найти аналитически замкнутое решение удается лишь в исключительных случаях. Точно решаемые модели обычно не находят, в специально конструируют, чтобы отработать на них стратегию и тактику штурма нерешаемых точно моделей. Обычно успеха удается добиться, комбинируя численные и аналитические методы. Н. Забуский назвал комбинированный подход синергетическим (от греческого синергетика - совместное, или согласованное действие). Синергетический подход к нелинейным математическим и физическим задачам, - писал он, - можно определить как совместное использование анализа и численной машинной математики для получения решений разумно поставленных вопросов относительно математического и физического содержания уравнений.
Нелинейны не только эффекты и уравнения нелинейной физики, но и развитие нелинейной физики, как, впрочем, и всей физики в целом. График, с помощью которого можно было бы изобразить процесс развития физики в зависимости от времени, по форме должен быть очень похож на взлетную траекторию современного скоростного самолета. Сравнительно длинный разбег, плавный отрыв от земли и - почти немедленный вслед за этим - переход к крутому подъему со все ускоряющимся набором высоты (Л.А. Арцимович).
Нелинейный мир велик и необъятен, и хотя на карте его сейчас немало белых пятен, уже имеется несколько обжитых (или, точнее, обживаемых) островков. Перечень их пока сравнительно краток, но зато обладает завидным преимуществом - он неполон, так как непрестанно растет. За каждой строкой этого перечня - своя история, порой весьма захватывающая и драматичная, свои судьбы, свои герои и труженики. У каждой свое предназначение. Одним суждено бесследно исчезнуть, растворившись в будущей теории, другим предстоит жизнь долгая и славная, но все вместе они образуют живую ткань единого целого, имя которому - Нелинейная Наука. Мы не ставим точки - она не будет поставлена никогда. Прощаясь с читателем, мы ставим оптимистическое многоточие - нелинейная физика живет и развивается, она на пороге новых значительных открытий…
Ю. Данилов. Нелинейность. Знание - сила, 1982(11)
http://sins.xaoc.ru/articles/articles_r002.html
http://ega-math.narod.ru/Danilov/Danilov.htm#ch24
 Из лекции 1. Что такое нелинейная динамика?
Наследственные свойства итераций
Условимся называть наследственными те свойства итераций, которые они получают (по наследству) от основного отображения
k-цикл Конечное множество приближений, каждое из которых переходит в следующее под воздействием отображения f, называется циклом (длина цикла называется его порядком). k-цикл:
x0 --f--> x1 --f--> x2...--f--> хk-1 (1.6)
Введение
Нелинейная динамика - раздел современной математики, занимающийся исследованием нелинейных динамических систем.
Под динамической системой условились понимать систему любой природы (физическую, химическую, биологическую, социальную, экономическую и т.д.), состояние которой изменяется (дискретно или непрерывно) во времени.
Нелинейная динамика использует при изучении систем нелинейные модели - чаще всего дифференциальные уравнения и дискретные отображения.
Дать точное определение того, что составляет предмет нелинейной динамики ничуть не легче, чем определить, что составляет предмет теории колебаний. Перефразируя Л.И. Мандельштама (Лекции по теории колебаний), можно сказать, что - было бы бесплодным педантизмом стараться точно определить, какими именно процессами занимается теория колебаний. Важно не это. Важно выделить руководящие идеи, основные общие закономерности -.
Следует подчеркнуть, что нелинейной называется теория, в частности нелинейная теория динамических систем, использующая нелинейные математические модели. Но нелинейная теория не обязательно ограничивается изучением нелинейных явлений или закономерностей.
Мир нелинейных закономерностей, или функций, так же, как и стоящий за ним мир нелинейных явлений, страшит, покоряет и неотразимо манит своим неисчерпаемым разнообразием. Здесь нет места чинному стандарту, здесь безраздельно господствует изменчивость и буйство форм. То, что точно схватывает и передает характерные особенности одного класса нелинейных функций, ничего не говорит даже о простейших особенностях типичного представителя нелинейных функций другого класса. Геометрический образ нелинейной функции - кривая на плоскости, искривленная поверхность или гиперповерхность в пространстве трех или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придается приращение. Почти полным безразличием к изменению одних и повышенной чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции разительно контрастируют с линейными функциями. Любая линейная функция откликается на приращение независимой переменной одним и тем же приращением своего значения, в какой бы части области определения ни находилось то значение независимой переменной, которой придается приращение. Именно здесь и проходит демаркационная линия между миром линейных и нелинейных явлений.
Границу между линейными и нелинейными теориями принято проводить по иному признаку. Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой - линейный или нелинейный - математический аппарат, какие - линейные или нелинейные - математические модели она использует.
Физики прошлого пребывали в уверенности, что именно линейная теория дает главный член бесконечного ряда последовательных приближений к истине, а нелинейности отводится скромная роль косметики на прекрасном лике линейной теории, вместилища всевозможных поправок, не меняющих сколько-нибудь существенно выводы линейной теории. Их уверенность в этом укрепляли блестящие успехи линейной теории, и в первую очередь, ее высшее достижение - электродинамика Максвелла.
Отпечаток распространенного некогда заблуждения относительно якобы главенствующей роли линейности в окружающем нас мире несет на себе сам термин - нелинейность: его создатели сочли первичной линейность, а нелинейность восприняли как нечто вторичное, производное от линейности, и определили через отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как - не нелинейность. Доведенный усилиями не одного поколения математиков до высокой степени совершенства, линейный математический аппарат взят физиками на вооружение и до тонкости освоен так давно, что стал неотъемлемым элементом их математической культуры, вошел в плоть и кровь, обрел почти осязаемые формы в виде целой серии насыщенных яркими физическими идеями и образами сущностей, позволяющими физику, минуя тяготы вычислений, интуитивно предугадывать ответ.
Принцип суперпозиции
Неповторимая отличительная особенность линейной теории, безвозвратно утрачиваемая при переходе к нелинейной ступени познания - принцип суперпозиции - позволяет физику конструировать любое решение из определенного набора частных решений.
Физики, делавшие первые, еще неуверенные шаги в области нелинейного, где все было - не так -, все противоречило устоявшимся линейным представлениям и линейной интуиции, питали надежду, что милый их сердцу линейный математический аппарат путем различного рода ухищрений удастся приспособить к решению новых нелинейных задач. Тех, кто так полагал, ожидало разочарование: линейный математический аппарат отторгал чужеродную ткань нелинейных дополнений. - Искусственная линеаризация - оказывалась малоэффективной, - большей частью ничему не научила, а иногда бывало прямо вредной (Л.А. Мандельштам)
Нелинейное мышление Л.И. Мандельштама
Неправомерное перенесение линейного опыта на нелинейную почву не только лишено последовательности и наносит ущерб эстетической привлекательности теории (тем самым сигнализируя о нарушении сформулированного П.А. Дираком критерия математической красоты физической теории), но и чревато грубым искажением существа происходящих процессов. Руководствуясь показаниями ставшего ненадежным компаса линейной теории, нетрудно впасть в ошибку и проглядеть важный эффект, не имеющий линейных аналогов.
Уже на подступах к бескрайним просторам нелинейности исследователь, как правило, вынужден отказаться от линейных вех, способных скорее дезориентировать, чем указывать верное направление. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, физик порой встает на путь своего рода математического старательства и принимается решать нелинейные проблемы поштучно, используя их специфические индивидуальные особенности. Л.И. Мандельштам в предисловии к первому изданию знаменитой (и многострадальной) Теории колебаний - А.А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина писал:
Тот путь, конечно, сам по себе правилен. Идя по нему, ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие свое значение и в настоящее время. И сейчас, иногда, удобно в том или ином случае идти по этому пути.
Но не говоря уже о том, что фактически такие решения разрозненных отдельных задач не имели достаточного математического обоснования, весь этот путь в качестве, так сказать, большой дороги вряд ли целесообразен, так как он не ведет к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области Нелинейных Колебаний в уже известной нам ее части, и, что еще важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития.
Выделенные курсивом слова - нелинейных колебаний - не уменьшают общности утверждения. Их следует читать как - нелинейной физики -, ведь они принадлежат Л.И. Мандельштаму.
Чтобы не влачить жалкое существование приживалки линейной теории и не быть низведенной до положения ученой хранительницы обширного собрания разрозненных решенных задач, нелинейная физика должна была обрести внутреннее единство и автономию от своей предшественницы - линейной физики. Необходимо создать - нелинейную культуру, включающую надежный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах (А.А. Андронов).
Основоположником и создателем нелинейного физического мышления стал замечательный физик - академик Л.И. Мандельштам.
Итак, приступаем к изучению математических моделей нелинейной динамики. Начнем мы с простейших моделей - дискретных отображений.
Дискретные отображения
Важным классом простейших математических моделей, обслуживающих потребности нелинейной физики, и, в частности,
нелинейной динамики, служат дискретные отображения
Хn+1 = f(Хn),  (1.1)
где п - номер приближения (дискретное время), n = 0,1,2,...; Хо - начальное или нулевое приближение. Вид функции f, ее
область определения и область значений определяются экспериментальными данными, Хо - число, экспериментальное значение, принимаемое за начальное. Повторное действие f на Хо называется итерацией (с соответствующим номером).
К-я итерация - есть действие функции f на (к - 1)-е приближение Хк-1 или, что то же, действие к раз повторенной функции f на Хо:
Хк = f(к - 1) = f(f(f...(f(Хо))...)), к раз (1.2)
Подчеркнем, что к-я итерация - не к -я степень функции f, а результат к-кратной суперпозиции (повторного действия функции f на Хо). Например, если f = Ах+В, то f^(k) - линейная функция от Хо, а не многочлен k-й степени!
Важную роль в теории дискретных отображений играют так называемые неподвижные тонки, переходящие под действием отображения f в себя:
х* = f(x*) (1.3)
(геометрически неподвижная точка х* отображения есть точка пересечения графика функции у = f(x) с биссектрисой у = х).
Неподвижные точки подразделяются на устойнивые (притягивающие) и неустойнивые (отталкивающие). Критерием устойчивости служат неравенства (если производная в точке х* существует)
lf'(x*)l < 1 (1.4)
- неподвижная точка х* устойчива;
lf'(x*)l > 1 (1.5)
- неподвижная точка х* неустойчива.
Если неподвижная точка х* устойчива, то каждое последующее приближение (результат каждой последующей итерации)
оказывается к ней ближе, чем предыдущее.
Если неподвижная точка х* неустойчива, то каждое последующее приближение оказывается дальше от нее, чем  
предыдущее.
...
Из лекции 2. Квадратичное отображение
y =  rx(1 - x)
при 0 < r <=4
Универсальность Фейгенбаума
На заре нелинейной динамики в 1930-х гг. скептики неоднократно высказывали опасения, что создать нелинейную теорию, охватывающую столь же широкий круг явлений, как линейная теория, невозможно и что нелинейные теории в лучшем случае будут представлять собой груды частных примеров, не допускающих сколько-нибудь широкого обобщения. Одним из контрпримеров, наглядно показывающих всю необоснованность подобных опасений, стало открытое американским физиком Митчеллом Фейгенбаумом явление универсальности, охватывающее не только квадратичные, но и все унимодальные (одногорбые) отображения, удовлетворяющие условию
Sf < 0,
где
Sf = f'''/f' - 2/3(f''/f')2 - производная Шварца

(2.14)

Исследуя квадратичное отображение с помощью микрокалькулятора, Фейгенбаум обнаружил, что неподвижная точка х2* = 1 - (1/r),  при увеличении параметра r слева направо, достигает при r = R0 = 2 уровня х2* = 1/2 (см. рис. 10).
рис. 10При дальнейшем движении направо, неподвижная точка х2* при r = r1 = 3 утрачивает устойчивость, и в окрестности ее появляются две неподвижные точки второй итерации (сателиты), образующие 2-цикл. Устойчивые в момент своего возникновения, точки 2-цикла движутся (при увеличении параметра r) направо и при некотором значении параметра r = r2 одновременно (как показано в предыдущем разделе) теряют устойчивость, и в окрестности каждой возникает по паре новых точек, образующих 4-цикл. Траектория элементов циклов пересекают уровень y = 1/2 при значении параметра r = R1, R2. Циклы, содержащие точки на уровне y = 1/2, называются суперустойчивыми.
В самом начале при значении r, близком к нулю, мы имеем только неподвижную точку х2*, т.е. 1-й цикл, состоящий из одной-единственной неподвижной точки х2*. По миновании r = r1 возникает 2-цикл, т.е. период удваивается. По миновании r = r2 каждый элемент 2-цикла превращается в 2-цикл, т.е. мы получаем 4-цикл, или еще одно удвоение периода. Последовательность удвоений длин циклов при r = ri (i = 1, 2,...) называется каскадом удвоений периодов Фейгенбаума.
После того как происходит бесконечное число удвоений периода в системе, описываемой унимодальным отображением, наступает сложное хаотическое состояние. Но хаос в данном случае - не синоним отсутствия всякого порядка. Это состояние наделено тонкой структурой.
Как показал Фейгенбаум, для всех унимодальных отображений, удовлетворяющих условию (2.14), справедливы соотношения
rn = rбесконечн. - const1q-n,
Rn = Rбесконечн. - const2q-n,
dn/dn+1 = а,
Rбесконечн. = rбесконечн. = 3.569956...,
где q = 4.6692016091...,
а = 2.5029078750...
С параболическим отображением связаны и многие другие любопытные особенности. Например, значение
R1 = sqrt(5) + 1 = 2g
где g - знаменитое золотое сечение
Порядок Шарковского
Исследуя унимодальные отображения, украинский математик А.Н. Шарковский в 1964 г. обнаружил, что в области - хаоса - имеются так называемые - окна периодичности - узкие интервалы значений параметра r, в которых существуют периодические движения. Двигаясь вспять (т.е. в сторону уменьшения) по параметру r, можно наблюдать окна периодичности с периодами, равными соответственно
3-->5-->7-->11-->13-->17-->…
-->3*2-->5*2-->7*2-->11*2-->13*2-->17*2-->…
-->3*22-->5*22-->7*22-->11*22-->13*22-->17*2>…
...
-->2n-->2n-1-->...-->25-->24-->23-->22-->2-->1

(2.15)

(стрелка --> означает - влечет за собой: a --> b означает: а влечет за собой b, или b следует за а). В верхней строке представлены в порядке возрастания все простые числа, кроме 2, во второй строке - произведения простых чисел на 2, в третьей - произведения простых чисел на 22, в k-й строке сверху - произведения простых чисел на 2k. Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки. Двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума.
Самым - многообещающим - в порядке Шарковского оказывается 3-цикл. К аналогичному результату независимо от Шарковского пришли в 1975 г. Т. Ли и Дж. Йорк. Им также удалось показать, что из существования в унимодальной системе 3-цикла следует существование хаотических последовательностей, - цикл три рождает хаос. Ни теорема Шарковского, ни работа Ли-Йорка ничего не говорят об устойчивости циклов (окон периодичности).
Выяснилось, что обнаруженные Фейгенбаумом закономерности и значения параметров r (при которых аттракторы превращаются в репеллеры, и в окрестностях недавних аттакторов появляются 2-циклы), R (при которых траектории подвижных точек достигают уровня y = 1/2), q, q1 и а универсальны для всех унимодальных (т.е. одногорбых) отображений, удовлетворяющих не очень ограничительному условию (2.14).
Лекция 6. Количественные меры хаоса
Гипотеза Х.А. Лоренца и спектральная размерность
В 1908г. Пауль Вольфскель завещал Институту математики в немецком университетском городе Геттингене 100 000 немецких марок в качестве награды тому, кто сумеет доказать (или опровергнуть) знаменитую Великую теорему Ферма, утверждающую, что при целом n >= 3 уравнение
xn + yn  = zn

(6.13)

не имеет решений среди целых чисел. На проценты со 100 000 немецких марок Давид Гильберт приглашал самых выдающихся математиков и физиков первой четверти XX в. выступить с докладами о проблемах науки новейшего времени перед учителями гимназий в свободной от обязательных занятий летний семестр. В 1910 г. первым с докладом о специальной теории относительности выступил Анри Пуанкаре, в 1913 г. - Хенрик Антон Лоренц, в 1918 г. - Нильс Бор. В своем выступлении Лоренц сформулировал интересную физико-математическую проблему: как изменяется спектр собственных колебаний континуума при изменении его формы. Например, как изменяется спектр колебаний мембраны литавр при изменении формы ее контура? Гильберт высказал опасение, что это проблема не будет решена при жизни его поколения. К счастью, Гильберт заблуждался: проблема Лоренца вскоре была решена одним из присутствовавших на лекции молодых математиков Германом Вейлем. Вейль показал, что при достаточно гладкой, но в остальном произвольной границе резонатора и достаточно большой частоте f число резонансов, не превышающих f, определяется соотношением
N3(f) = 4pi/3 V (f/c)3 ;

(6.14)

в двумерном случае -
N2(f) = pi S (f/c)2 ,

(6.15)

где V - обьем, S - площадь резонатора; с - скорость звука (или света, если речь идет об электромагнитных колебаниях). Как изменяются соотношения Вейля (6.14) и (6.15), если отказаться от ограничения достаточно гладкого резонатора? Например, как выглядят аналоги соотношений Вейля для резонаторов с фрактальной границей? Физик из Ливерпуля М.В. Берри предложил, что
abs(DN(f)) = (L f/c)D ,

(6.16)

где L - характерная длина, а D - размерность Хаусдорфа-Безиковича. Нетрудно понять, что показатель в первой части формулы (6.16) вряд ли совпадает с размерностью Хасудорфа-Безиковича: частотный спектр колеблющейся среды зависит от характеристик связного - остова -, т.е. определяется размерностью Минковского-Булигана:
DM-B = lim log F(e)/log(1/e) + 2 ; при e -> 0

(6.17)

(в предположении, что предел в правой части существует), где F(e) - так называемая - сосиска Минковского - ее обьем - содержимое Минковского - суммарная площадь (или суммарный обьем кругов (сфер) радиуса e), покрывающий фрактал. Манфред Шредер в своей книге - Фракталы, хаос, степенные законы. Крохотные фрагменты из бесконечного рая - высказал гипотезу о том, что
N2(f) = (a f/c)d ,

(6.18)

где a - некоторая характерная длина, d - подходящая спектральная размерность
Лекция 9. Процессы на фрактальных средах

Дано многообразие и в нем группа преобразований. Требуется развить теорию инвариантов этой группы.
Ф. Клейн. Эрлангенская программа

По Мандельброту, фракталом называется любой обьект, самоподобный или самоафинный в том или ином смысле. В духе Эрлангенской программы Ф. Клейна, определяющей любую геометрию как науку об инвариантах соответствующей группы преобразований, фрактальную геометрию можно определить как геометрию, занимающуюся изучением степенных законов - инвариантов группы аффинных (в частном случае подобных) преобразований.
Подробному изложению группы преобразований подобия посвящена лекция 10, и мы сейчас не будем останавливаться на рассмотрении аффинных и подобных преобразований.
Сложная геометрия фрактальных сред оказывает сильное влияние на протекание различных процессов. Фрактальные среды иначе, чем традиционная сплошная среда, колеблются, проводят электричество, на них иначе происходит диффузия и т.д.
Диффузия
Диффузия на фрактальных средах протекает медленнее, чем в обычной сплошной среде, так как частицы диффундирующего вещества вынуждены двигаться по узким каналам сложной  конфигурации с тупиками, резкими поворотами и сужениями. Диффузия в пористой среде определяется не только фрактальной сетью каналов и пор, геометрию которых, и в частности фрактальные размерности, изменяются по мере заполнения каналов диффундирующим флюидом, но и фрактальным твердым остовом (стенок пор). В традиционной сплошной среде диффузия описывается моделью случайных блужданий: частица, находящаяся в центре окружности, может в следующий момент времени оказаться равновероятно в любой точке окружности. Среднеквадратичное смещение частицы {s2} удовлетворяет соотношению Эйнштейна:
{s2} = 2Dt,

(9.1)

т.е. линейно зависит от времени t. Соотношение Эйнштейна (9.1) выполняется в евклидовом пространстве любой размерности а, даже если случайные положения частицы имеют распределение, отличное от нормального.
В случае диффузии во фрактальной среде соотношение Эйнштейна (9.1) заменяется его фрактальным обобщением:
{s2} = д2tа,

(9.2)

где а < 1. Показатель а зависит от фрактальных размерностей сети каналов и твердого остова. Аналогично, вместо классического уравнения диффузии
du/dt = Lu,

(9.3)

где Lu - лапласиан от u, диффузия во фрактальной среде описывается уравнением диффузии с дробной производной по времени
dфu/dtф = Lu,

(9.4)


Колебания во фрактальной среде
В лекции 6 мы упоминали о предложенном Германом Вейлем решении проблемы Лоренца о связи формы резонатора и его спектра. Впоследствии известный специалист по теории вероятностей Марк Кац сформулировал проблему Х.А. Лоренца в острой, запоминающейся форме: Можно ли услышать форму барабана? - Ответ Х.А. Лоренца и более поздних авторов можно было бы сформулировать так: Форму барабана услышать нельзя, а обьем, площадь или периметр - можно. - Как показал Г. Вейль, число резонансов, не превышающих частоту f, зависит не от формы резонатора, а от его обьема:
N3(f) = 4pi/3 V (f/c)3 ,

(9.23)

где V - обьем резонатора, f - частота, с - скорость распространения колебаний, или в двумерном случае - от площади
N2(f) = pi S (f/c)2 ,

(9.24)

где S - площадь резонатора; а f и с имеют такой же смысл, как в (9.23). Сравнивая соотношения (9.23) и (9.24), нетрудно заметить, что они имеют одинаковую структуру
Nd(f) = П А (f/c)d ,

(9.25)

где d - евклидова размерность резонатора, П - числовой коэффициент, А - обьем, площадь, периметр или, в зависимости от размерности d, гиперобьем, f - частота, c - скорость распространения колебаний. В закономерность, угаданную в соотношении (9.25), укладывается вычисленная после Вейля поправка к формуле (9.24), учитывающая линейную зависимость по частоте:
abs(DN2(f)) = 1/2 p f/c ,

(9.26)

где p - периметр резонатора. По аналогии с (9.13) Берри высказал гипотезу о том, что в случае фрактальной среды
abs(DN(f)) = (L f/c)D ,

(9.27)

где L - характерный линейный размер, D - размерность Хаусдорфа-Безиковича, f - частота, и c - скорость распространения колебаний. Но, как ясно из физических соображений и как показали измерения Лапидуса, Флекингера-Пелле, показатель в (9.25) должен быть другим, а именно определяться размерностью Минковского-Булигана
DM-B = lim log S(e)/log(1/e) + 2 ; при e -> 0

(9.28)

где S(e) - площадь (или обьем) так называемой - сосиски Минковского - теоретико-множественной суммы сфер радиуса e, покрывающих весь фрактал
***
В мае 1954г., в возрасте 69 лет, Герман Вейль выступил с лекцией в Лозанне (Weyl, 1954; GA IV. p.636. Английский перевод: The Spirit and the Uses of the Mathematical Sciences, edited by T.L Saaty and T.J. Weyl (McGraw Hill. New York,1969), p.286. См. русский перевод: Г. Вейль. Познание и осмысление, пер. А.В. Ахутина в кн.: Проблема объекта в современной науке. М. 1980, с.144-167. Перевод Ю.А. Данилова, в кн.: Математическое мышление. М.: Наука. 1989. с.41-55), как уже упомянул Президент (Цюрихской высшей технической школы) Уршпрунг (Ursprung). Эта лекция была в основном автобиографическая. В ней Вейль сосредоточился на различных этапах своего мышления, в особенности на философии. Лекция затронула первую важную работу Вейля по физике:
Следующим поворотным событием в моей жизни стало совершенное мной значительное математическое открытие. Оно относится к закону распределения собственных частот колебаний непрерывно протяженной среды-мембраны, упругого тела или электромагнитного эфира. Идея была из числа тех, которые приходят в голову всякому, кто в юности занимался наукой; однако идея эта в отличие от большинства других не лопнула, подобно мыльному пузырю, а, как показала короткая проверка, вела к цели. Я сам был крайне удивлен, так как не ожидал от себя ничего подобного. К тому же, хотя этот результат был давно предугадан физиками, большинство математиков считало его доказательство делом далекого будущего. Пока я лихорадочно проводил доказательство, моя керосиновая лампа начала коптить, и к тому моменту, когда мне удалось благополучно довести все до конца, бумага, руки и лицо покрылись хлопьями сажи -.
То, о чем Вейль говорил, было очень интересной частью работы, возникновение которой было связано с вольфскельской лекцией Г.А. Лоренца (H.A. Lorentz) в 1910г. в Гетгингене. Лоренц поставил проблему: В заключение следует упомянуть математическую задачу, которая, возможно, вызовет интерес у присутствующих математиков. Она вытекает из теории излучения Джинса. В идеально отражающей оболочке могут образоваться стоячие электромагнитные волны, аналогичные тонам органной трубки; обратим внимание только на очень высокие обертоны. Джинc ставит вопрос о количестве энергии, приходящейся на интервал частот dv...
При этом возникает математическая задача доказательства того факта, что число достаточно высоких обертонов между v и v + dv не зависит от формы оболочки и пропорционально ее объему -.
Вейль был молодым математиком среди присутствующих на лекции Лоренца, и он принял его вызов. Используя мощную интуицию, которой он отличался при выборе математического инструментария, Вейль решил задачу методом интегральных уравнений, развитым его учителем Давидом Гильбертом. В двумерном случае задача сводится к рассмотрению мембраны, которая подобна барабану с краями, привязанными к некоторому твердому телу. Целью задачи является определение числа собственных значений N(K^2), меньших, чем К^2, а также N(K^2), когда К^2 очень велико. Уравнение, которое надо решить, - это дифференциальное уравнение
- V^2 u2== - К^2 u,
где
К = 2piv/v(m),
и физик поймет, что v - это собственная частота и v(m) - скорость распространения волн по мембране. То, что Вейль доказал, это
N(K^2) -> A К^2 / 4pi2, когда К^2 -> бесконечности, (1)
где A - площадь мембраны, таким образом, подтвердив предположение Лоренца, что результат не зависит от формы барабана. Кроме того, эта задача имела важное значение для физики из-за связи с теорией излучения черного тела, которая за десять лет до этого привела Планка к открытию кванта действия
Ч. Янг (Yang Chen Ning). Вклад Германа Вейля в физику (1986). Из книги Г. Вейль. Время, пространство, материя. Берлин, 1918, с.435
http://www.twirpx.com/file/202562/?rand=9038581

Оглавление
Лекция 1. Что такое нелинейная динамика?
Введение
Принцип суперпозиции
Нелинейное мышление Л.И. Мандельштама
Дискретные отображения
Наследственные свойства итераций
k-цикл
Треугольное отображение
Сдвиги Бернулли
Лекция 2. Квадратичное отображение
Квадратичное отображение
Неподвижные точки
Устойчивость неподвижной точки
Экстремум
Универсальности Фейгенбаума
Порядок Шарковского
Двумерные дискретные отображения. Кошка Арнольда
Гиперболичность
Неподвижные точки отображения - кошка Арнольда -
Топологически сопряженные отображения
Лекция 3. Непрерывные системы
Сечение Пуанкаре
Индекс Пуанкаре
Остов фазового портрета
Система Лоренца
Свойства системы Лоренца
Неподвижные точки системы Лоренца
Устойчивость по Ляпунову
Лекция 4. Еще один взгляд на систему Э. Лоренца
Качественные признаки хаоса
Количественные меры хаоса
Показатель Ляпунова
Примеры вычисления показателя Ляпунова
Лекция 5. Количественные меры хаоса
Инвариантная плотность
Корреляционная функция
Фрактальные размерности
Что же такое фрактал?
Размерность Хаусдорфа--Безиковича
Размерности Реньи
Лекция 6.  Количественные меры хаоса (продолжение)
Топологическая сопряженность
Эмпирические фрактальные размерности
Гипотеза Х.А. Лоренца и спектральная размерность
Лекция 7.  Геометрически регулярные фракталы
Канторовская пыль
Ломаная и снежинка фон Коха
Салфетка Серпинского
Ковер Серпинского
Трехмерный аналог салфетки Серпинского
Губка Серпинского
Лекция 8. Мультифракталы
Условие Липшица
Лекция 9. Процессы на фрактальных средах
Диффузия
Производная и интеграл дробного порядка
Интеграл дробного порядка
Оператор отражения
Волновые процессы во фрактальных средах
Колебания во фрактальной среде
Моделирование траектории броуновской частицы
Лекция 10.  Подобие и аффинные преобразования
Преобразование подобия
Аффинные преобразования
Последовательность Морса-Туэ
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_289.htm
Анализ размерности
Автомодельные решения
Уравнение теплопроводности (диффузии)
Уравнение Бюргерса
Уравнение Кортевега-де Фриса
Лекция 11. Метод Софуса Ли
Теория продолжения
Первое продолжение
Второе продолжение
Лекция 12. Метод Софуса Ли (продолжение)
Эргодичность и перемешивание
Лекция 13. Солитоны
Данные рассеяния
Лекция 14. КАМ-теория
Интегрируемая гамильтонова система
Гармонический осциллятор
Возмущение интегрируемого гамильтониана
Гомоклинический хаос
Ю.А. Данилов. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. 2 из-ие. 2006, 203с.
http://www.twirpx.com/file/200331/ 1.5Мб
Ю.А. Данилов, Б.Б. Кадомцев. Что такое Синергетика?
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_227.htm
Выступая 22 декабря 1944г. на совместном заседании Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и Академии наук СССР, посвящённом памяти Л.И. Мандельштама, А.А. Андронов сказал: Я перечислю некоторые нелинейные понятия, либо получившие точный физический и математический смысл, либо впервые выдвинутые в этот с 1927г. период времени. Я начну с фазового пространства, которое...перестало быть только математической абстракцией и приобрело высокую степень физической наглядности не только потому, что физики с ним свыклись, но и потому, что оказалось возможным приблизить его к нашим органам чувств, наблюдая систематически фазовые траектории на экране осциллографа...Если говорить об автономных системах, то такие физические понятия, как автоколебания, мягкое и жёсткое возбуждение автоколебаний, затягивание и т.д., получили теперь твёрдую математическую основу в виде предельных циклов, теории бифуркаций, областей устойчивости в большом и т.д. Если говорить о неавтономных системах, то такие физические понятия, как феррорезонанс, захватывание разных видов, получили математическую основу в теории периодических решений и их бифуркаций, а ряд других физических понятий, например резонанс второго рода, асинхронное возбуждение и т.д., были вновь выдвинуты, отправляясь от математической теории
Ю.А. Данилов. Нелинейная динамика: Пуанкаре и Мандельштам
http://ega-math.narod.ru/Danilov/Danilov.htm#ch24
Из книги - Фракталы в физике
http://rusnauka.narod.ru/lib/author/mandelbrot/1/MANDELBROT.htm
С.П. Кузнецов. Динамический хаос (курс лекций)
http://fizmatlit.narod.ru/webrary/kuzn/kuzn.htm
В.С. Анищенко. Знакомство с нелинейной динамикой
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_402.htm
А. Дмитриев. Детерминированный хаос и информационные технологии
http://cplire.ru/rus/InformChaosLab/chaoscomputerra/Dmitriev.html
Электронная библиотека по нелинейной динамике
http://www.scintific.narod.ru/nlib/
Ю.А. Данилов. Прекрасный мир науки. Сборник. М., 2008. Сборник посвящён памяти Юлия Александровича Данилова
http://ega-math.narod.ru/Danilov/Danilov.htm
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_748.htm

  


СТАТИСТИКА