Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Вальс числителей и знаменателей
от 05.04.06
  
Доклады


Вот что чудо: у моря лукоморья стоит дуб, а на том дубу золотые цепи, и по тем цепям ходит кот; вверх идет - сказки сказывает, вниз идет - песни поет А.С. Пушкин. Запись народной сказки. 1824

Золотой Зародыш, плававший в космических водах и давший начало жизни, есть положительный корень уравнения Х^2 - X - 1 = 0
..., Х^-3, Х^-2, Х^-1, 1, X, Х^2, Х^3,...
..., (2Х-3), (2-Х), (Х-1), 1, Х, (1+Х), (1+2Х), (2+3Х),...
А что это?
представление через тригонометрические функции
Золотое сечение
представляется в виде простейшей бесконечной периодической цепной дроби (подходящими дробями служат отношения последовательных чисел Фибоначчи. Одно из самых трудных действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел)
[1;1,1…] = 1.6180339887498948482045868343656381177203091798058...
обратное число к золотому сечению 1/X = X - 1
Вальс числителей и знаменателей
А вот, например, другие широко известные цепные дроби
sqrt(2) = [1;2,2,2…]
sqrt(3) = [1;1,2,1,2,1,2…]
В общем случае, пусть а0, а1, а2,... - независимые переменные (вещественные, комплексные, функции одной или нескольких переменных, а можеть и квантерионы, а можеть и октанионы имеют смысл)
Простейшей цепной дробью называется выражение вида
а0 + (1/а1 + (1/а2 + ...))
Число элементов может быть конечным или бесконечным.
Всякая конечная цепная дробь как результат конечного числа рациональных действий над ее элементами есть рациональная функция этих элементов и, следовательно, может быть представлена как отношение двух многочленов
P(а0, а1,..., аn)/Q(а0, а1,..., аn)
Разложение в цепную дробь
Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.
Подходящие дроби
Приближение вещественных чисел рациональными
из всех иррациональностей - квадратичные хуже всех аппроксимируются рациональными дробями (порядок аппроксимации не выше 1/q2 )
Мера иррациональности действительного числа а - это действительное число м, показывающее, насколько хорошо может быть приближено рациональными числами.
Мера иррациональности
Свойства золотого сечения
Теорема
Всякое действительное число может быть разложено в цепную дробь единственным образом, и всякая конечная или бесконечная цепная дробь имеет своим значением некоторое действительное число
Теорема
Знаменатели подходящих дробей растут не медленнее последовательности Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
Теорема (Лагранж. 1770г.)
Квадратичные иррациональности и только они представимы в виде бесконечной периодической цепной дроби
Теорема (Эварист Галуа - первая опубликованная заметка 1828г.)
Если один из корней некоторого уравнения какой-нибудь степени представляет собой чисто периодическую непрерывную дробь, то уравнение непременно имеет другой периодический корень, получающийся делением отрицательной единицы на непрерывную дробь, написанную в обратном порядке
Эварист Галуа. Доказательство одной теоремы из теории непрерывных дробей
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_371.htm
Теорема Гаусса - Кузьмина: Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует среднее геометрическое коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно постоянной Хинчина.
Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа х в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие n, то говорят, что число  относится к классу F(n). Любое вещественное число может быть представленно в виде суммы двух чисел из класса F(4) и в виде произведения двух чисел из класса F(4). В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представленно в виде суммы трёх чисел из класса F(3)  и в виде суммы четырёх чисел из класса F(2). Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено - для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно.
***
Треугольник Паскаля, ряд Фибоначчи, простые числа и цепные дроби
Вспомним теорему - знаменатели подходящих дробей растут не медленнее последовательности Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
Блез Паскаль (1623-1662), один из основателей проективной геометрии, в 1654 опубликовал одну из самых популярных своих работ  - Трактат об арифметическом треугольнике. Теперь его называют треугольником Паскаля, хотя оказалось, что он был известен еще в Древней Индии (также встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга Яшмовое зеркало четырёх элементов - китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя).  Джемшид Гиясэддин Каш, самаркандский матем. 15 века - Знай, что элемент показателя степени квадрата есть одно число - два, для куба это два числа - три и три, для каждого показателя степени количество их увеличивается на единицу в силу прибавления рядом и соответственно увеличиваются числа на концах. Если мы сложим любые два соседних элемента показателя степени. мы получим среднее число следующего показателя. На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. Михаил Штифель, нем. матем. 1544 - Целостная математика, биноминальные коэф-ты до 17 степени. Бригг,  анг. матем. 1624, Ферма, фр. матем. 1636). Строки в треугольнике Паскаля в пределе стремятся к функции нормального распределения.
Треугольник Паскаля и число Фибоначчи
Гномон - фигура, будучи добавлена к какой-либо фигуре, образует новую фигуру, подобную исходной (самоподобие). Спектры квадратичных иррациональностей. Затравка и гномонные числа. Витые фигуры - геометрическая метафора периодических непрерывных дробей
Мидхат Газале. Гномон. От фараонов до фракталов
http://www.forex-baza.com/psychology-39.html

Почему все это так важно? Если бы многочлен Q Матиясевича был в самом деле очень нужен математикам для проведения
каких-либо расчетов, то вероятно, Матиясевич не поленился бы его явно выписать. Но в действительности само обращение к числам Фибоначчи являлось для Матиясевича лишь вспомогательным средством для установления весьма общих и важных закономерностей.
В случае свойства Матиясевича существует очень простой регулярный способ (алгоритм) для последовательного выписывания всех обладающих этим свойством пар
(0,0), (1,1), (2,3), (3,8), (4,21), (5,55),...
...
Укажем в заключение, что найденное решение десятой проблемы имеет ряд интересных следствий, из которых, может быть, наиболее эффектным является следующее: можно указать конкретный многочлен пятой степени, множество положительных значений которого совпадает со множеством всех простых чисел!
Математическая наука записала в свой актив серьезное и поучительное достижение
А.Н. Колмогоров. Ф.Л. Варпаховский. Популярные лекции для школьников. 5. О решении десятой проблемы Гильберта
А.Н. Колмогоров. Математика - наука и профессия. Биб-ка Квант. Вып.64.1988, с.206-220

http://nashol.com/2012050965153/matematika-nauka-i-professiya-kolmogorov-a-n-1988.html 4.75Мб
Спектры квадратичных иррациональностей
Цепная дробь иррационального квадратичного корня всегда имеет вид
sqrt(N) [а, (б, в, г,..., г, в, б, я)], где я = 2а, где а целая часть квадратного корня, а в скобках - периодическая часть, которая зеркально симметрична без последнего я
например
sqrt(2) = [1, (2)] = [1,2,2,2…]
sqrt(3) =  [1, (1, 2)] = [1,1,2,1,2,1,2…]
...
sqrt(5) =  [2, (4)]
sqrt(6) =  [2, (2, 4)]
sqrt(7) =  [2, (1, 1, 1, 4)]
sqrt(8) =  [2, (1, 4)]
...
sqrt(10) = [3, (6)]
sqrt(11) = [3, (3, 6)]
sqrt(12) = [3, (2, 6)]
sqrt(13) = [3, (1, 1, 1, 1, 6)]
sqrt(14) = [3, (1, 2, 1, 6)]
sqrt(15) = [3, (1, 6)]
...
sqrt(17) = [4, (8)]
sqrt(18) = [4, (4, 8)]
sqrt(19) = [4, (2, 1, 3, 1, 2, 8)]
sqrt(20) = [4, (2, 8)]
sqrt(21) = [4, (1, 1, 2, 1, 1, 8)]
sqrt(22) = [4, (1, 2, 4, 2, 1, 8)]
sqrt(23) = [4, (1, 3, 1, 8)]
sqrt(24) = [4, (1, 8)]
...
Всякое положительное действительное число вида r1 + sqrt(r2), где r1 и r2 - рациональные числа, представляются в виде конечной (если sqrt(r2) рационально) или периодической цепной дроби, возможно с некоторым предпериодом.
Апериодические бесконечные регулярные цепные дроби (косички)
число Эйлера = е = 2.71828...= [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14,...]
е2 = [7, 2, 1, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, 12, 54,...]
Вероятно, верно следующее утверждение
Разложение всякого положительного действительного числа вида (m1 + m2е)/(n1 + n2е), (m1 + m2е2)/(n1 + n2е2), (m1 + m2sqrt(е))/(n1 + n2sqrt(е)), где mi и ni - рациональные числа, представляет собой совокупность арифметических прогрессий. И наоборот, всякая цепная дробь, для которой аi есть набор арифметических прогрессий, может быть записана в таком виде
тангенс 1
А.В. Ворожцов  Цепные дроби, сложность рациональных чисел и языки с бесконечным алфавитом
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_391.htm
предположим, что мы построили шкалу тонов, удовлетворяющую условиям:
а) вместе с каждым тоном f на шкале имеются тоны 2f и 1/f;
б) шкала допускает возможность переноса мелодий без искажений (перенести мелодию - это значит воспроизвести ее иными звуками, соответственно более высокими или низкими, но с точным сохранением отношений частот тонов в каждом интервале)
в) вместе с каждой частотой f в музыкальной шкале должна присутствовать частота 3f (последующие уже весьма слабо выражены)...
Итак, число m ступенек в одной октаве (f, 2f),  должно быть выбрано так, чтобы одна из получившихся ступенек совпала с частотой 3/2 f...
Кроме квинты 3/2, есть и еще точки на интервале (f, 2f), в которых желательно было бы иметь музыкальные ступеньки.
Анализ более или менее устоявшихся примеров народной музыки показал, что там чаще всего встречаются интервалы, выражаемые с помощью следующих отношений частот: 2 (октава), 3/2 (квинта), 5/4 (терция), 4/3 (кварта), 5/3 (секста), 9/8 (секунда), 15/8 (септима)
Г.Е. Шилов. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. Популярные лекции по математике. М.: Физматгиз, 1963. 20с.  
http://www.math.ru/lib/book/plm/v37.djvu
Почему исторически возникло деление октавы именно на 12 интервалов?
Ответ дает теория непрерывных дробей. Наш слух естественно воспринимает именно натуральную квинту, и делить октаву надо на столько частей, чтобы число log23 - 1 хорошо приближалось дробью с выбранным знаменателем (иначе слух будет отмечать диссонанс звуков). Разложив это число в непрерывную дробь, находим (это легко сделать с помощью калькулятора)
log23 - 1 = 0,5849625 = 1/ (1 + 1/ (1+ (2 + 1/ (2 + 1/ (3 + …)))))
Подходящими дробями будут 1; 1/2; 3/5; 7/12; 24/41; …
Приближения 1 и 1/2 слишком грубые (первое из них означает, что мы приравниваем натуральную квинту к октаве!). Приближение 3/5 соответствует пентатонике, существующей у народов Востока, а приближение 7/12 самое удачное. Оно соответствует делению октавы на 12 частей (полутонов), и 7 таких полутонов соответствуют квинте. Сравнение числа log23 - 1 с числом 7/12 = 0,5833… показывает качество приближения: разница высот натуральной квинты и темперированной квинты (7 полутонов) не улавливается даже профессиональными музыкантами.  
Музыкальная дюжина
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_165.htm
Реформы календаря
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_166.htm
Ф. Клейн трактует икосаэдр как геометрический объект, из которого расходятся ветви пяти математических теорий: теория Галуа, теория групп, теория инвариантов, геометрия, диф.уры
Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. Пер. с нем. Под ред. А.Н. Тюрина. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1989. 336с.
http://www.twirpx.com/file/528616/ 5.345Мб
имеются основания считать, что физически (в природе) реализуются только квадратичные квазирешетки
Квазикристаллы и метрика РигВеды
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_743.htm
Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля выводится из теоремы Дирихле об единицах
Уравнение Пелля (В.О. Бугаенко, М.: МЦНМО, 2001 - такие уравнения рассматривались индусским математиком VII века Брамегупта, который умел решать их, а уравнение х^2 - 2y^2 = 1 встречается еще раньше у греческих и индусских математиков примерно за четыре столетия до нашей эры и т.п.)
http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.13.pdf
...Гюйгенс, задавшийся целью построить с помощью зубчатых колес модель солнечной системы, был поставлен перед задачей определения числа зубцов таким образом, чтобы отношение этих чисел для двух связанных между собой колес (равное отношению времени полного оборота их) было по возможности близко к отношению времен обращения соответствующих планет
А.Я. Хинчин. Цепные дроби. М., Физматлит, 1960 (1 издание 1935), 112с.
http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm
Гюйгенс (1629-1695) рассматривал цепные дроби в связи с задачей подбора зубчатых колес, у которых отношение числа зубцов было возможно ближе к некоторому заданному числу. Число зубцов в таких колесах нельзя было брать слишком большим, так что приходилось отыскивать два сравнительно небольших натуральных числа, отношение которых было близко к заданному числу. Подбор таких зубчатых колес был нужен Гюйгенсу в связи с его намерениями построить модель, имитирующую движение планет в солнечной системе
А.А. Бухштаб. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 385с.
http://www.twirpx.com/file/449945/
Андрей Андреевич Марков родился в 1856...Окончил университет в 1878 со степенью кандидата и тогда же получил золотую медаль за сочинение на. предложенную факультетом тему - Об интегрировании дифференциальных уравнений при помощи непрерывных дробей...В 1884 Марков защитил докторскую диссертацию - О некоторых приложениях непрерывных дробей...Кроме теории чисел, главнейшие работы Маркова относятся к теории алгебраических непрерывных дробей с ее приложениями, к теории дифференциальных уравнений, к теории конечных разностей и теории интерполирования, к теории Чебышева - функций, наименее уклоняющихся от нуля, к задачам Чебышева о предельных величинах определенных интегралов, к вопросу о приближенном вычислении определенных интегралов и особенно к теории вероятностей
Георгий Федосеевич Вороной родился в 1868...Вороной работает над нахождением нового алгорифма, который для кубического поля позволил бы ему решать те же вопросы, которые решаются для квадратичного поля алгорифмом непрерывных дробей. В мае 1897 эта докторская диссертация под заглавием Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей была блестяще
защищена в Петербургском университете Академия Наук...Только сейчас, спустя 50 лет после написания этой диссертации, немецкими математиками, не знающими в подробностях ее содержания (она была напечатана только по-русски), передоказываются некоторые ее теоремы, как важные новые достижения...Надо еще дать регулярный и, если можно, удобный на практике процесс вычисления, каждый шаг которого содержал бы минимальное и, если возможно, ограниченное для всей совокупности шагов число проб. Например алгорифм непрерывных дробей в некотором смысле вовсе не содержит проб. Алгорифм Вороного для кубического поля отрицательного дискриминанта содержит на каждом шаге по 7 проб, а при некотором уточнении его лишь по 4 пробы.
Перейдем к изложению самой диссертации Вороного.  
Б.Н. Делоне. Петербургская школа теории чисел. 1947. 419с.
http://www.krelib.com/teorija_chisel/5021
В современной математике приближенное представление функций обычно разыскивается в виде многочленов от независимых переменных. В тех же случаях, когда нахождение таких многочленов затруднительно, обычно применяются различные численные методы. При этом сравнительно редко пользуются приближениями, являющимися дробно-рациональными функциями от независимых переменных. Между тем дробно-рациональные приближения иногда могут успешно заменять данную функцию в тех областях изменения аргумента, где разложение этой функции в степенной ряд расходится и где, следовательно, приближение в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы. Существуют методы, позволяющие получать сколь угодно много дробно-рациональных приближений данной функции и требующие сложных выкладок. Наиболее распространенным из таких методов является метод цепных дробей...цепные дроби обладают замечательным свойством малого накопления погрешности при их вычислении...Важно отметить следующую замечательную особенность из теории цепных дробей: область сходимости присоединенной цепной дроби значительно больше, чем область сходимости соответствующего степенного
ряда
http://www.erudition.ru/referat/printref/id.19226_1.html
Теория цепных дробей связана с теорией приближений вещественных чисел рациональными, с теорией динамических систем...многомерные цепные дроби...обобщение теоремы Лагранжа...двумерные цепные дроби, соответствующие кубическим иррациональностям, двояко периодичны, хотя обычные цепные дроби подобных чисел (соответствующие блуждающим по этой двояко периодической поверхности путям) кажутся хаотическими и периодичности не проявляют...возникшая в результате теория многомерных цепных дробей явно интересна и связывает много областей математики...
Рассмотрим целочисленное сохраняющее объёмы линейное преобразование пространства Rn, имеющее n инвариантных гиперплоскостей (простейший пример-отображение в R3, которое задаётся матрицей
3 2 1
2 2 1
1 1 1
точка (x,y,z) переходит в (3x+2y+z, 2x+2y+z, x+y+z)). Будем считать, что трёхгранные (n-гранные) углы, на которые эти плоскости делят пространство, переходят каждый в себя. Из теоремы Дирихле о единицах в алгебраической теории чисел следует, что парус каждого такого n-гранного угла обладает группой симметрий, порождённой n - 1 коммутирующими преобразованиями,
сохраняющими и решётку целых точек, и наш n-гранный угол. Из этого видно, что парус в трёхмерном пространстве двояко периодичен...
Цушиаши доказал топологическую периодичность алгебраического паруса. Его доказательство основано на теореме Дирихле о
единицах из алгебраической теории чисел. Его теория распространяется и на случай комплексных собственных чисел, когда некоторые из инвариантных гиперплоскостей линейного преобразования комплексны (H. Tsuchihashi. Higher-dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities //Tohoku Math. J. V. 35. 1983. P. 607-639).
В.И. Арнольд. Цепные дроби. М.: МЦНМО, 2009 (Первое издание 2001). 40с.
http://www.math.ru/lib/files/pdf/via/VIA-cep-dr.pdf
Об одном обобщении одномерных цепных дробей на многомерный случай.
Проблема об обобщении понятия обыкновенной цепной дроби на многомерный случай была поставлена Ш. Эрмитом в 1839 году [62]. Множество попыток решить эту проблему привело к возникновению нескольких замечательных теорий многомерных цепных дробей. Одной из наиболее известных моделей обобщения одномерных цепных дробей на многомерный случай является модель Клейна. Определение многомерной цепной дроби по Клейну было дано Ф. Клейном в работах 1895 и 1896 годов [26] и [27]. В дальнейшем многомерные цепные дроби по Клейну будем называть просто многомерными цепными дробями. Предположим, что квадратичная форма f(x, у) = ах^2 + bху + су^2 с целыми коэффициентами является произведением двух линейных необязательно целочисленных сомножителей. Клейн рассмотрел следующую модель одномерной цепной дроби для данной квадратичной формы. Линейные сомножители квадратичной формы f(x, у) порождают четыре конуса с центром в начале координат. В каждом конусе строим выпуклую оболочку множества всех целых точек, содержащихся в этом конусе. Границы таких выпуклых оболочек называются парусами. Одномерная цепная дробь - множество четырёх построенных парусов. В первой главе работы обсуждается разница между понятиями обыкновенной цепной дроби и одномерной цепной дроби для модели Клейна.
Только на вершинах парусов одномерной цепной дроби достигается минимальное значение модуля формы f(x,y) на множестве целых точек без начала координат, см. более подробно в [18]. Это свойство позволяет строить рациональные приближения решений уравнения f{x,y) = 0, которые являются наилучшими приближениями среди рациональных чисел с небольшими по модулю числителями и знаменателями. Отметим, что, если уравнение f(x,y) = 0 не имеет рациональных решений, то, по теореме Лагранжа, паруса соответствующей цепной дроби являются алгебраически периодическими, что позволяет просто описывать множество вершин парусов дроби.
Пусть теперь F(x,у,z) - кубическая форма с целыми коэффициентами, представимая в виде произведения трёх линейных однородных форм. По аналогии Клейн построил двумерную цепную дробь. Линейные сомножители квадратичной формы F(x,у,z) порождают восемь конусов с центром в начале координат. В каждом конусе Клейн рассмотрел выпуклую оболочку множества всех целых точек, содержащихся в этом конусе. Двумерная цепная дробь по Клейну - множество всех восьми построенных выпуклых оболочек, которые также называются парусами. Вершины границы этой выпуклой оболочки также доставляют минимальное значение функции F(x,у,z) на множестве целых точек без начала координат и, тем самым, наилучшие целочисленные и рациональные приближения для решений уравнения F(x,y,z) = 0. Если уравнение F(x,у,z) = 0 не имеет рациональных решений, то из теоремы Дирихле об единицах (см. [12]) следует, что все парусы соответствующей цепной дроби являются алгебраически периодическими. Это позволяет просто описывать множество вершин на парусах дроби.
Конструкция Клейна двумерной цепной дроби непосредственно обобщается на многомерный случай
http://www.dslib.net/geometria/o-mnogomernyh-cepnyh-drobjah-modeli-klejna-klassifikacija-dvumernyh-granej.html
Континуанты
Континуанты. Анализ алгоритма Евклида
конт2
Утверждение леммы 2, устанавливающее прямую связь континуант с цепными дробями, впервые заметил Леонард Эйлер
конт3
Приступим теперь к исполнению второй части названия этого пункта - анализу алгоритма Евклида. Нас будет интересовать наихудший случай - когда алгоритм работает особенно долго?
...Поскольку континуанта суть многочлен с неотрицательными коэффициентами от всех этих переменных, минимальное значение достигается при q(1) = q(2) =...= q(n -1) = 1, q(n) = 2
С.В. Сизый. Лекции по теории чисел: Учебное пособие для математических специальностей. Екатеринбург: Уральский государственный университет. 1999
http://literatura.at.ua/mathematic/Teoriy_chisel_Lekcii-Sizuy.pdf
Н.М. Бескин. Замечательные дроби. Минск. 1980
http://www.twirpx.com/file/725698/ 1.7Мб
Функция Минковского взаимно однозначно переводит квадратичные иррациональности на отрезке  в рациональные числа на том же отрезке. Действительно, число  является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда его разложение в цепную дробь, начиная с некоторого момента, периодично; с другой стороны, эта периодичность равносильна периодичности двоичной записи образа
обнаружение геометрических цепных дробей в качестве инвариантов в задачах о топологической классификации структурно
устойчивых диффеоморфизмов оказалось весьма неожиданным...
11. Цепные дроби и их основные свойства. Геометрия цепных дробей по Клейну.
12. Многомерные геометрические цепные дроби. Связь с диффеоморфизмами Аносова торов
[1] D.V. Anosov, A.V. Klimenko, G. Kolutsky, On the hyperbolic automorphisms of the 2-torus and their Markov partitions, Preprints of the Max-Planck-Institut fur Mathematik, MPIM2008-54 (2008). arXiv:0810.5269v1
http://www.mpim-bonn.mpg.de/preblob/3586
[2] Grisha Kolutsky, Geometric Continued Fractions as Invariants in the Topological Classification of Anosov Diffeomorphisms of Tori, Iteration Theory (ECIT'08), Bericht Nr. 354, pp. 99-111 (2009). arXiv:0902.0661v2
http://www.mi.ras.ru/noc/10_11/kolyutskii.pdf
принято считать, что динамические системы были изобретены Пуанкаре в его трудах по качественной теории дифференциальных уравнений и небесной механике, однако задачи динамического характера рассматривались, по крайней мере, в начале XIII в. в трудах Леонардо Пизанского, который под именем Фибоначчи выпустил в 1202г. Книгу об Абаке, где содержалась первая в математике популяционная модель размножения кроликов при условии, что каждый месяц, начиная со второго месяца жизни, пара кроликов производит на свет другую пару. При этих ограничениях количество пар кроликов через n месяцев после начала процесса описывается последовательностью натуральных чисел Фибоначчи Фn, являющихся траекторией динамической системы на множестве натуральных чисел вида Фn+1 = Фn + Фn-1, Ф1= Ф2= 1...
Отображение плоскости задается следующими формулами: x1= x + y, y1= x или
x1,y1 = А x,y (*)
где А матрица
1 1
1 0
и полутраетория
хn,yn = A^n (1,1), n>=0
дает
Фn = xn; Фn-1 = yn
Система (*) является простейшей гиперболической динамической системой на плоскости. В этом можно убедиться следующим образом. Характеристический многочлен матрицы А имеет корни л1= (sqrt5+1)/2, л2= (1 - sqrt5)/2, которым соответствует ортогональная пара собственных векторов e1, e2.
Выбрав систему координат с осями, направленными по этим собственным векторам, мы получим в каждой точке z плоскости (x,y) прямые Eu, Es, параллельные соответственно e1, e2, причем нетрудно убедиться, что каждое из семейств прямых Eu, Es  А-инвариантно и отображение А растягивает на Eu с коэффициентом ¦л1¦ и сжимает на Es с коэффициентом ¦л2¦, меняя при этом ориентацию прямых Es. Таким образом, вся плоскость становится гиперболическим множеством.
http://csr.spbu.ru/pub/RFBR_publications/articles/mathematics/2006/razvitie_teorii_giperbolicheskih_attraktorov_06_math.pdf
Третья также обнаруживает периодическое повторение, но в более сложном, вальсовом ритме
Вальс в фазовых пространствах
Джеймс Глейк. Хаос. Создание новой науки. СПб.: Амфора, 2001, 398с.
http://www.psymoct.com/clubmoct/metakm/metakmlib/metakmlib04.html
В 1952 году Тьюринг опубликовал работу под названием Химические основы морфогенеза, где впервые математически описывается процесс самоорганизации материи. Его основным интересом в этой области было листорасположение Фибоначчи - наличие чисел Фибоначчи в структурах растений. Поздние работы не были опубликованы вплоть до 1992 года, когда был выпущен сборник его трудов
Turing А. М. The chemical basis of morphogenesis. Phil. Trans. Roy. Soc. London В, 1952, 237, p.37-72
http://www.dna.caltech.edu/courses/cs191/paperscs191/turing.pdf
Для биоструктур как для открытых систем характерна универсальная особенность  - возможность самоорганизации. Наиболее физически адекватной моделью динамических структур является их описание как системы связанных нелинейных осцилляторов...
Хаотическое поведение в области сепаратрис - свойство нелинейных осцилляторов. За счет бифуркаций происходит переход к хаосу и возможно развитие фрактальных структур...Впервые решение вопроса о вечной устойчивости системы было дано теорией Колмогорова-Арнольда-Мозера. КАМ-теорема объясняет механизмы и условия формирования фрактальных структур на основе n-мерного тора. Если отношение частот равно рациональному числу, возникает резонанс, если иррациональному числу - траектория никогда не замкнется. Наилучшим в этом смысле будет иррациональное отношение частот мод...
Вальс числителей и знаменателей
http://jre.cplire.ru/win/nov06/4/text.html
Вальс числителей и знаменателей
Одним из самых замечательных результатов Рамануджана является формула:
1 +  1/(1*3)  + 1/(1*3*5) + 1/(1*3*5*7) + ...  = sqrt(pi*e/2) - [1,1,2,3,4,…]
http://ega-math.narod.ru
транс

  


СТАТИСТИКА