Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Межпланетный суперхайвей
от 29.05.06
  
Доклады


Да, здравствует неустойчивость!

- Зангези -
Они голубой тихославль,
Они голубой окопад.
Они в никогда улетавль,
Их крылья шумят невпопад.
Летуры летят в собеса
Толпою ночей исчезаев.
Потоком крылатой этоты,
Потопом небесной нетоты.
Летели незурные стоны,
Свое позабывшие имя,
Лелеять его нехотяи.
Умчались в пустыни зовели,
В всегдаве небес иногдава,
Нетава, земного нетава!
Летоты, летоты инес!
Вечернего воздуха дайны,
Этавель задумчивой тайны,
По синему небу бегуричи,
Нетуричей стая, незуричей,
Потопом летят в инеса,
Летуры летят в собеса!
Летавель могучей виданой,
Этотой безвестной и странной,
Крылом белоснежные махари,
Полета усталого знахари,
Сияны веянами дахари.
Река голубого летога,
Усталые крылья мечтога,
Широкие песни ничтога.
В созвездиях босы,
Там умерло - ты -.
У них небесурные косы,
У них небесурные рты!
В потоке востока всегдава,
Они улетят в никогдавель.
Очами земного нетеж,
Закона земного нетуры,
Они в голубое летеж,
Они в голубое летуры.
Окатаны вещею грустью,
Летят к доразумному устью,
Летурные крылья, грезурные рты!
Незурные крылья, нетурные рты!
У них небесурные лица,
Они голубого столица.
По синему небу бегуричи!
Огнестром лелестра небес.
Их дико грезурные очи,
Их дико незурные рты!
- Ученики -
Зангези! Что-нибудь земное! Довольно неба! Грянь камаринскую! Мыслитель, скажи что-нибудь веселенькое. Толпа хочет веселого. Что поделаешь - время послеобеденное.
Велимiр Хлъбников. Зангези. Плоскость ХIII
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_151.htm

В середине июля 2002 года многие новостные агентства поместили странное сообщение об открытии сотрудниками Лаборатории реактивного движения НАСА (Jet Propulsion Laboratory, JPL) принципиально новой возможности для полетов в Солнечной системе под названием межпланетный суперхайвей.
1Кеплеровские орбиты Традиционно при проектировании трассы межпланетного полета в качестве первого приближения используются кеплеровские орбиты - окружности, эллипсы, параболы, гиперболы. Именно по таким траекториям движется космический аппарат под действием одного притягивающего центра. Сложные межпланетные трассы составляются из нескольких стыкующихся друг с другом кеплеровских участков. Например, при полете к Марсу станция уходит от Земли по гиперболической траектории, затем движется по эллиптической орбите вокруг Солнца и, наконец, по гиперболической орбите приближается к Марсу. (Конечно, все эти орбиты рассматриваются в системах отсчета, связанных соответственно с Землей, Солнцем и Марсом.)
Кеплеровские орбиты являются точными аналитическими решениями классической для небесной механики задачи двух тел. Причем решения эти достаточно простые. Для полного описания движения по кеплеровской орбите достаточно задать всего шесть числовых параметров, называемых элементами орбиты. Зная их, легко можно вычислить положение тел на любой момент в прошлом или будущем.
Задача трех тел К сожалению, для траекторий реальных космических полетов кеплеровские орбиты являются лишь приближенными описаниями. Во время длительного полета нельзя пренебрегать даже небольшими возмущениями со стороны других планет. При межпланетном полете они могут, например, немного сместить точку входа в зону действия планеты-цели, что приведет к резкому изменению завершающего участка траектории. Кроме того, траектория может проходить через области, где Солнце и одна из планет (или планета и ее спутник) оказывают сравнимое влияние на движение космического аппарата. Так мы приходим к задаче трех (и более) тел. Точного аналитического решения для общей задачи трех тел не существует. Рассчитать движение космического аппарата под действием тяготения нескольких небесных тел можно только численно, пошагово интегрируя траекторию. Делается это примерно так. Зная положения, скорости и массы всех тел в некоторый начальный момент времени, можно вычислить силы с которыми они притягивают друг друга и определить их ускорения. Если считать эти ускорения постоянными на протяжении небольшого интервала времени, то новые координаты и скорости можно рассчитать по формулам для равноускоренного движения. Многократно повторяя эту процедуру, мы проследим траекторию движения тела.
Первое приближение Так значит, кеплеровские орбиты сами по себе бесполезны при расчете комических трасс? Почему же им уделяется столько внимания? Не будем торопиться с выводами. Кеплеровские орбиты дают отличное начальное приближение которое в дальнейшем уточняется детальными численными расчетами. Без них у проектировщика орбиты не было бы возможности сориентироваться и выбрать, где ему искать точное решение. Стартуя с Земли в разных направлениях с разными скоростями, мы получим миллиарды разных траекторий. Как выбрать среди них, самую подходящую?
Вот тут-то и приходят на помощь кеплеровские орбиты. Вначале разработчик траектории пренебрегает возмущениями, и составляет идеализированную трассу из кеплеровских участков. Она позволяет ему приближенно определить момент и направление старта, начальную скорость и график полета, необходимый запас топлива и точки коррекции орбиты. Потом запускается численный расчет, и выясняется, что точная траектория проходит мимо цели. Тогда, немного варьируя стартовые условия, разработчик производит корректировку огня.
Но такой подход возможен лишь в случаях, когда кеплеровские орбиты обеспечивают хорошее начальное приближение. А что делать, если космический аппарат длительное время находится в зоне, где силы тяготения двух (или более) небесных тел имеют сравнимую величину? Траектория тела перестает даже в первом приближении походить на кеплеровскую орбиту. Необходимо решать задачу трех тел. А она, как мы уже сказали, в общем виде аналитически не разрешима…Впрочем, в частных случаях решения есть, и найдены были еще в XIX веке.
2Точки Лагранжа Если планета обращается вокруг Солнца по круговой орбите, то существует пять точек, где космический аппарат будет находиться в равновесии. Они получили название точек либрации или точек Лагранжа (см. рис.). Если поместить космический аппарат в точку Лагранжа, то он будет сохранять свое положение относительно Солнца и планеты. То же самое относится и к случаю планеты со спутником.
Попробуем понять, за счет чего достигается равновесие, например, в точке Лагранжа L2. Для Земли эта точка находится в полутора миллионах километров в направлении от Солнца. Это на 1% дальше от Солнца, чем Земля и по третьему закону Кеплера период обращения по орбите такого радиуса должен быть больше на 1,5%. Но в действительности космический аппарат, выведенный в точку L2 будет обращаться вокруг Солнца синхронно с Землей. Сила земного тяготения в этой точке составляет 3% от солнечного, но этой добавки как раз достаточно, чтобы выровнять период обращения.
Эффект получается такой, как будто для аппарата в точке L2 эффективная масса Солнца больше на 3%. В результате по своей орбите он движется с тем же периодом, что и Земля по орбите немного меньшего радиуса. Для точки L1 рассуждения аналогичны, с той лишь разницей, что Земля здесь ослабляет притяжение Солнца, позволяя космическому аппарату двигаться вокруг Солнца с годовым периодом по орбите с радиусом на 1,5 млн км меньше земного.
Итак, к совокупности классических кеплеровских орбит вокруг Солнца можно добавить нетрадиционные, по которым движутся тела в точках Лагранжа. Такие же точки существуют в системе Земля-Луна (одна между Землей и Луной, другая - по ту сторону Луны) и вообще в любой системе состоящей из двух массивных тел, обращающихся по орбите, близкой к круговой.
Давние планы Надо сказать, что исследователи в области космонавтики давно уже обратили внимание на точки Лагранжа. Например, в точке L1 системы Земля-Солнце удобно разместить космическую солнечную обсерваторию - она никогда не будет попадать в тень Земли, а значит наблюдения могут вестись непрерывно. Точка L2 подходит для космического телескопа - здесь Земля почти полностью заслоняет солнечный свет, да и сама не мешает наблюдениям, поскольку обращена к L2 неосвещенной стороной. Точка L1 системы Земля-Луна удобна для размещения ретрансляционной станции в период освоения Луны. Она будет находиться в зоне прямой видимости для большей части обращенного к Земле полушария Луны, а для связи с ней понадобятся передатчики в десятки раз менее мощные, чем для связи с Землей.
Неустойчивое равновесие Тут пришло время сказать о том, что хотя космический аппарат, выведенный в точку Лагранжа L1 или L2, находится в равновесии, равновесие это неустойчивое. Если станция немного сместится, то со временем это отклонение будет только расти. Вначале очень медленно, а потом все быстрее. Чтобы удержаться космический аппарат в точке Лагранжа нужно время от времени корректировать это движение. Как часто этим придется заниматься и насколько велики будут корректировочные импульсы во многом зависит от точности телеметрической информации. Сегодня точность управления космическими аппаратами настолько велика, что необходимость в коррекции появляется лишь раз в несколько месяцев, а сумма коррекционных импульсов за все время жизни аппарата может составить всего несколько десятков метров в секунду.
3Орбиты Ляпунова Но оказывается, точки Лагранжа не исчерпывают интересные неклассические орбиты в задаче трех тел. Представьте себе, что космический аппарат находится чуть ближе к Земле, чем точка L2, а движется при это так, что медленно-медленно обгоняет Землю. Что будет с ним дальше? Спустя некоторое время он окажется впереди Земли и земное притяжение перестанет в полной мере компенсировать недостаток солнечного. Кроме того, Земля, оставшись позади, будет понемногу тормозить движение аппарата. В результате наш корабль станет понемногу удаляться от Земли и Солнца, естественно, теряя при этом скорость.
Дальнейшее очень сильно зависит от скорости, которую имел космический аппарат в начальный момент. Окажись она чуть больше, и аппарат надолго удалится от Земли, выйдя на самостоятельную орбиту вокруг Солнца, При немного меньшей скорости он остановится, повернет к Земле и, сблизившись с ней, может почти непредсказуемо поменять свою орбиту. Но если его начальная скорость окажется «как раз», то он, немного удалившись от Земли и слегка сбросив скорость, обойдет точку L2 с противоположной стороны, немного отстанет от Земли, а затем под действием ее притяжения начнет приближаться, увеличивая скорость и, наконец, вернется в исходную точку, потратив на весь цикл около полугода.
Для каждого расстояния от точки Лагранжа можно подобрать такую скорость, при которой космический аппарат будет описывать такие петли, называемые орбитами Ляпунова. Удобнее всего рассматривать эти орбиты в системе отсчета, которая вместе с Землей поворачивается вокруг Солнца. Начало отсчета поместим в центр масс системы Солнце-Земля, ось Х направим в сторону Земли, а за единицу длины примем радиус Земной орбиты. Понятно, что такая система отсчета является неинерциальной. В ней действует центробежная сила и поэтому траектории свободного движения тел выглядят несколько непривычно и потому порой очень красиво.
Большей скорости соответствует больший размер ляпуновской орбиты. В пределе очень малой скорости радиус орбиты стремится к нулю. Это и соответствует равновесию в самой точке Лагранжа. Но, как мы помним, равновесие это является неустойчивым. Поэтому не должно удивлять и то, что орбиты Ляпунова тоже неустойчивы. Каждой из них соответствует строго определенная скорость. Любое, самое незначительное отклонение будет со временем только увеличиваться. Тем не менее, при достаточно точном подборе начальной скорости вполне возможно совершить несколько оборотов вокруг точки Лагранжа, не прибегая к коррекции траектории. Если же есть возможность выполнять хотя бы небольшие маневры, то находиться на ляпуновской орбите можно сколь угодно долго - затраты топлива при этом будут даже меньше, чем на низкой околоземной орбите, где располагается Международная космическая станция. МКС тоже приходится периодически корректировать орбиту, которая снижается из-за очень слабого, но все-таки ненулевого сопротивления атмосферы.
4Да, здравствует неустойчивость! Вот мы и подошли к самому интересному. В последние годы выяснилось, ляпуновские орбиты привлекательны для космонавтики именно благодаря своей неустойчивости. Ведь что такое неустойчивость? Это возможность ценой очень незначительной коррекции резко изменить траекторию движения космического аппарата. Конечно, для такого использования неустойчивых орбит нужна невероятная точность телеметрической информации и управления двигателями коррекции, но прошлогодняя мягкая посадка на астероид Эрос не предназначенного для этого космического аппарата NEAR-Shoemaker уже продемонстрировала, что точность для NASA не проблема.
Исследователи из JPL под руководством Мартина Ло (Martin Lo) детально изучили, как могут себя вести космические аппараты, двигаясь вблизи точек Лагранжа. Выяснилось, что для каждой ляпуновской орбиты существует семейство траекторий, по которым аппарат может сойти с орбиты и другое семейство траекторий, выводящих на орбиту вокруг точки Лагранжа. Причем энергия, которой обладает космический аппарат, двигаясь по всем этим траекториям почти одинакова, а вот их форма может различаться весьма значительно.
5Среди них есть траектории, проходящие в непосредственной близости от поверхности Земли (и даже врезающиеся в Землю тоже, но кому это надо?), есть траектории, выводящие аппарат на самостоятельную орбиту вокруг Солнца, как внутри, так и вне орбиты Земли. Существуют траектории, позволяющие практически без затрат энергии перебираться с орбит вокруг точки L2 на орбиты вокруг точки L1. Но самое замечательное, выяснилось, что можно, изменив скорость аппарата всего на несколько десятков метров в секунду направить его из точки либрации системы Солнце-Земля в точку либрации Земля-Луна.
Слово теории хаоса С точки зрения теории динамических систем, известной также под названием теории хаоса, каждая ляпуновская орбита является аттрактором. Так называют периодические квазистабильные орбиты, к которым сходятся траектории, и от которых они расходятся. В непосредственной близости к аттрактору сходящиеся и расходящиеся траектории идут очень тесно, и малейшего возмущения достаточно, чтобы тело, приближавшееся к аттрактору стало от него удаляться и наоборот. Поэтому точно предсказать движение вблизи аттрактора невозможно, но едва только отклонение делается измеримым, траектория становится предсказуемой, и ее можно скорректировать.
Внешний рейд Земли Семейство сходящихся траекторий делится на две группы. Одни ведут к ляпуновской орбите со стороны Земли, а другие извне. То же самое относится и к расходящимся траекториям. Это дает возможность использовать ляпуновские орбит в качестве своеобразного космического рейда Земли, где корабль, отправляющийся в глубины Солнечной системы, может дождаться оптимального момента для старта, а прибывающий - задержаться с тем чтобы потом выйти на орбиту вокруг Земли или Луны. Впрочем, все это, видимо не для пилотируемых полетов - путь от Земли до рейда занимает около 40 дней.
6Зеленый коридор Помимо сходящихся и расходящихся для каждого значения энергии есть еще два семейства траекторий. Одно проходит насквозь через соответствующие ляпуновские орбиты вокруг точек L1 и L2 и является единственным коридором, по которому тело, двигавшееся вне земной орбиты, может без силовых маневров (с использованием двигателей) перейти в область внутри нее. И, наконец, четвертое семейство траекторий как бы отражается от ляпуновской орбиты, будучи не в силах проникнуть в сферу действия Земли. Аналогичные семейства существуют для каждой планеты.
На рисунке показано, что ляпуновские орбиты служат своего рода воротами, через которые соединяются три области на которое делится все пространство. Область J - это сфера действия Юпитера. Серая зона энергетически недостижима - чтобы попасть туда придется в тот или иной момент включать маршевые двигатели. Области S и X лежат соответственно внутри и вне орбиты Земли. Границами между областями S, J и X служат как раз орбиты Ляпунова.
Возможен, к примеру, такой маневр: аппарат подходит к точке L1 из области S по сходящейся траектории, выходит на ляпуновскую орбиту, затем сходит с нее по расходящейся траектории, ведущей внутрь сферы действия Юпитера. Эта орбита выбирается так, чтобы вблизи Земли она почти точно совпадала с одной из траекторий, сходящихся к орбите вокруг L2. Выйдя на вторую ляпуновскую орбиту, аппарат вновь переходит на расходящуюся траекторию, уводящую его в область X вне земной орбиты. В результате без затрат топлива аппарат переходит с орбиты вокруг Солнца, лежащей внутри орбиты планеты, на орбиту вне ее.
Интересно, что существуют кометы, двигающиеся по подобным орбитам. Часть времени они проводят вне орбиты Юпитера, а потом, через шлюз переходят на более близкую к Солнцу орбиту. Спустя некоторое время осуществляется обратный переход.
7Большое космическое путешествие Правда, в случае Земли особенно далеко уйти не получится. Масса Земли в 330 тысяч раз меньше солнечной. Поэтому точки Лагранжа отстоят от Земли всего на 1% расстояния до Солнца. Семейство расходящихся траекторий простирается раз в десять дальше, но все же не дотягивает до семейства сходящихся траектория Марса.
Однако у планет-гигантов ситуация иная. Масса Юпитера меньше солнечной лишь в 1000 раз, и точки Лагранжа удалены от него на целых 7% расстояния до Солнца. Семейства траекторий, расходящихся от точки L2 Юпитера пересекаются с траекториями, сходящимися к L1 Сатурна. Как, находясь вблизи планеты, перебраться из L1 в L2 мы уже знаем. В свою очередь из точки L2 Сатурна можно без затрат энергии перебраться в точку L1 Урана, а затем и к Нептуну. Такая траектория получила название Большого путешествия (Grand Tour). Единственное, что мешает его осуществлению на практике - это взаиморасположение планет. Коридоры входа и выхода пересекаются не постоянно, а лишь в те периоды, когда планеты занимают определенное положение друг относительно друга, а планеты-гиганты, как известно, перемещаются довольно неторопливо.
И все же идея Большого путешествия имеет шанс стать реальностью, хотя и в несколько более скромном масштабе. Проект, получивший название Petit Grand Tour (Большое путешествие в миниатюре) предлагает использовать аналогичные маневры для детального исследования четырех галилеевых спутников Юпитера. У каждого спутника есть свои лагранжевы точки с ляпуновскими орбитами, а соответствующие им семейства сходящихся и расходящихся траекторий пересекаются. Периоды обращения спутников вокруг Юпитера составляют от 1,7 (Ио) до 16,7 дней (Каллисто). Так что слишком долго ждать подходящего момента не придется.
До сих пор галилеевы спутники исследовались только с пролетной траектории. Это значит, что высококачественные изображения поверхности можно было получать лишь в течение нескольких часов, когда космический аппарат находился на минимальном расстоянии от спутника. Практически не было возможности подробно рассмотреть замеченную на поверхности интересную деталь. Petit Grand Tour позволит космическому аппарату по очереди выходить на орбиту вокруг каждого из спутников и оставаться на ней столько времени, сколько потребуется для исследования. И все это практически без затрат топлива.
8Генезис - первый эксперимент Сейчас Petit Grand Tour находится лишь на стадии обкатки идеи. Навигация в системе Юпитера очень сложна. Но вот в окрестностях Земли первый эксперимент с использованием ляпуновских орбит уже осуществляется. Летом прошлого года аппарат Генезис был выведен на орбиту вокруг точки Лагранжа L1 с целью собрать образцы солнечного ветра. Выполнить эту миссию на околоземной орбите невозможно, поскольку заряженные частицы отклоняются земным магнитным полем, да и следы атмосферы, которые обнаруживаются даже в тысячах километров от Земли могли бы исказить полученные результаты.
Орбита аппарата рассчитана так, чтобы маршевые двигатели использовались только один раз - на старте. Они вывели космический аппарат на одну из траекторий, ведущих к ляпуновской орбите, по которой Генезис будет двигаться в течение 2,5 лет, совершив за это время 5 оборотов. Орбита выбрана таким образом, что в надлежащее время аппарат естественным образом сойдет с нее и после довольно замысловатых маневров, совершит посадку в строго определенном районе Земли. Перед выходом на ляпуновскую орбиту и в период схода с нее запланировано несколько коррекций траектории, но на самой орбите в период сбора частиц солнечного ветра не будут включаться даже двигатели коррекции, поскольку их выхлоп может исказить результаты эксперимента.
9Космический телескоп нового поколения Другой масштабный проект в котором новые орбиты могут играть важную роль - это Космический телескоп нового поколения (NGST, New Generation Space Telescope), запустить который NASA планирует в конце этого десятилетия. NGST должен прийти на смену нынешнему телескопу Хаббла. Главное зеркало нового телескопа будет иметь диметр диаметр около 8 метров (для сравнения у Хаббла - 2,4 м), а разместить его предполагают в точке Лагранжа L2. Тут, однако, возникает одна серьезная трудность. Как известно, астронавты уже несколько раз выполняли техническое обслуживание телескопа Хаббла, причем, по крайней мере, в первый раз эти работы носили совершенно принципиальный характер - вторичное зеркало телескопа оказалось изготовленным с ошибкой, что почти полностью лишало космический телескоп преимуществ по сравнению с земными.
NGST будет намного больше и сложнее своего предшественника. Достаточно сказать, что вместо одного главного зеркала в нем будет использоваться многозеркальная система. Скорее всего рано или поздно он тоже потребует технического обслуживания - это ведь не дешевый спутник-ретранслятор, для которого дешевле запустить замену, чем ремонтировать на орбите. Однако точка Лагранжа L2 находится в 1,5 млн км от Земли. Это в четыре раза дальше Луны. Полет к ней занимает несколько десятков суток и столько же обратно. Так далеко люди еще никогда не забирались. Для пилотируемого полета к точке Лагранжа пришлось бы разрабатывать совершенно новые методы.
И вот тут-то на помощь приходит новая космическая акробатика. Оказывается, космическому аппарату, находящемуся в точке L2 системы Земля-Солнце достаточно изменить скорость всего на несколько десятков метров в секунду, чтобы перейти на ляпуновскую орбиту вокруг точки Лагранжа L1 системы Земля-Луна. С теми же затратами можно вернуться обратно. Маневр занимает около 40 суток. В результате космический аппарат окажется примерно в 15% пути от Луны к Земле. Конечно, полет к нему - это далеко не рутинный шаттловский рейс на околоземную орбиту, тем не менее, пилотируемые полеты с посадкой на Луну по программе Аполлон были намного сложнее. Задача обслуживания NGST становится хотя и сложной, но не выходящей за рамки имеющегося у NASA опыта.
10PCR3BP Надо сказать, что реальные траектории, использующие маневры в окрестностях точек либрации, очень сложны. Описание приведенное выше относится к предельно упрощенной модели, получившей обозначение PCR3BP, что означает плоская круговая ограниченная задача трех тел (planar circular restricted three-body problem). Для планирования полетов с маневрами в лагранжевых точках ляпуновские орбиты и связанные с ними семейства траекторий играют ту же роль, что и кеплеровские орбиты в классической астронавигации - они служат хорошим начальными приближением. Благодаря им проектировщик орбиты получает возможность на предварительном этапе прикинуть, как может пройти траектория полета. Но потом нужна еще огромная работа по учету различных возмущений. Причем в данном случае учет возмущений намного важнее, чем для классических кеплеровских орбит, ведь любая ошибка при движении вблизи аттрактора может изменить орбиту почти непредсказуемым образом.
Проектирование орбиты для космического аппарата Генезис заняло около трех лет. Получившаяся в результате тпаектория причудливо изгибается в трех измерениях, отклоняясь от плоскости земной орбиты на величину до 300 тысяч километров. Виной тому - влияние Луны. На первом этапе разработчики миссии хотели так спланировать график полета, чтобы ее притяжение можно было учесть небольшими поправками. Но после длительной работы выяснилось, что это невозможно. Тогда было принято решения ввести в график полета специальный маневр с использованием тяготения Луны. Именно благодаря ему космический аппарат вернется на Землю в дневное время. Это важно, поскольку возвращаемую капсулу, чтобы не повредить собранные образцы, планируется прямо в воздухе перехватить с помощью специального вертолета и сделать это можно только в светлое время суток.
Правда, использование притяжения Луны сделало орбиту Генезиса менее надежной. Как отмечают ее разработчики, если по каким-либо непредвиденным причинам космический аппарат заметно отклонится от расчетной орбиты, найти новую траекторию возврата будет крайне трудно. Чтобы убедиться в этом достаточно одного взгляда на приводимый ниже рисунок. Малейшее отклонения от расчетной траектории при сходе с ляпуновской орбиты может привести к тому, что аппарат никогда не вернется на Землю.
И все же, несмотря на все трудности, можно сказать, что астронавигация в последние годы выходит на принципиально новый уровень. Наряду с традиционными кеплеровскими орбитами в основу дизайна траекторий кладутся неустойчивые орбиты Ляпунова вместе с семействами сходящихся к ним и расходящихся от них траекторий.
Александр Сергеев. Межпланетный суперхайвей
http://subscribe.ru/archive/science.news.astronomy/200210/01201957.html
А.П. Маркеев. Задача трех тел и ее точные решения
http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9909_112.pdf
А.М. Ляпунов. Собрание сочинений. Т.I. Изд-во АН СССР, 1954. с.327-401
Александр Михайлович ЛЯпунов. Задача трех тел
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_259.htm

  


СТАТИСТИКА