Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Алгоритмическое взаимодействие, турбулентность и моды
от 15.06.06
  
Мысли


А.Н. Колмогоров сделал предметом глубокой теории интуитивное ощущение того, что степень организованности больших структур (в противовес их случайности и хаотичности) проявляется в ходе алгоритмического взаимодействия с ними, далеко не сводящегося к простым процедурам подсчета частот Ю.И. Манин. Вычислимое и невычислимое

А.Н. Колмогоров сделал предметом глубокой теории интуитивное ощущение того, что степень организованности больших структур (в противовес их случайности и хаотичности) проявляется в ходе алгоритмического взаимодействия с ними, далеко не сводящегося к простым процедурам подсчета частот - Ю.И. Манин. Вычислимое и невычислимое
Академик Колмогоров
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_194.htm
David Ruelle. Hаsard et Chaos (1991)...если пожелаете, работа математика - это что-то вроде грамматического упражнения с чрезвычайно строгими правилами. Исходя из выбранных основных утверждений, математик строит цепочку последующих утверждений, пока не появится утверждение, которое будет выглядеть особенно изящно. Тогда математик пригласит своих коллег, чтобы показать им вновь созданное утверждение; они выразят свой восторг и скажут: Это прекрасная теорема. Цепочка промежуточных утверждений составляет доказательство теоремы, а теорема, которую можно сформулировать просто и кратко, часто требует необычайно длинного доказательства. Именно длина доказательств делает математику интересной, а потому она имеет фундаментальное философское значение. С вопросом длины доказательств связана проблема алгоритмической сложности, а также теорема Геделя, которые мы обсудим в следующих главах (В рамках общепринятых основных утверждений, связанных с числами 1, 2, 3..., Гедель показывает, что некоторые утверждения нельзя ни доказать, ни опровергнуть: это неразрешимые утверждения. При увеличении количества основных утверждений все равно останется несколько неразрешимых).
И поскольку математические доказательства так длинны, их трудно получать. Математику приходится создавать, не допустив
ни одной ошибки, длинные цепочки утверждений, видя, что он делает и куда идет. Видеть значит уметь догадаться, что истинно,
а что ложно, что полезно, а что бесполезно. Видеть значит чувствовать, какие определения нужно ввести и какие утверждения
являются ключевыми, то есть позволяющими направить теорию в ее естественное русло (с.15, 159)
Гл. 9. Турбулентность: моды
В дождливый день 1957 года небольшая погребальная процессия несла на бельгийское кладбище останки профессора Теофила
Де Донде. Катафалк сопровождал отряд конных жандармов. Покойный имел право на эту честь, и этого пожелала вдова. Несколько опечаленных коллег-ученых шли за катафалком.
Теофил Де Донде был духовным отцом математический физики в Брюссельском университете Фри, а потому одним из моих духовных дедов. В свое время он проделал превосходную исследовательскую работу по термодинамике и общей относительности (Эйнштейн называл его le petit Docteur Gravitique - маленький гравитационный доктор) Но в то время, когда я знал его, он был сухим маленьким старичком, давно переставшим заниматься наукой. Его навсегда покинула интеллектуальная сила, но не покинули желание и очарование, которые лежат у самых корней научной работы. Когда ему удавалось загнать в угол кого-нибудь из своих университетских коллег, он начинал рассказывать несчастному о своих исследованиях по ds2 музыки или по математической теории формы печени. Музыка и формы в действительности периодически привлекают внимание ученых.
Есть еще подобные им темы: время и его необратимость, случайность и хаотичность, жизнь. Существует одно явление - движение жидкостей, - которое, судя по всему, отражает и объединяет все эти темы. Подумайте о воздухе, который проходит через трубы органа, о воде, образующей вихри и водовороты, которые непрерывно изменяются и движутся, словно по своей свободной воле. Подумайте об извержениях вулканов, родниках и водопадах. Способов почитания красоты немало. Там, где художник рисует картину, поэт пишет стихотворение или композитор сочиняет музыкальное произведение, ученый создает научную теорию. Французский математик Жан Лере проводил время, по его словам, наблюдая за вихрями и воронками, образующимися в реке Сене, в том месте, где она протекает мимо свай моста Понт-Неф в Париже. Это созерцание стало одним из источников вдохновения, которое привело его к великой работе 1934г. по гидродинамике. Многие великие ученые были очарованы движением жидкостей, а в особенности, тем типом сложного, нерегулярного и, очевидно, ошибочного движения, которое мы называем турбулентностью. Что такое турбулентность? Очевидного ответа на этот вопрос не существует, и до этого самого дня о нем все еще спорят, даже несмотря на то, что люди, видя турбулентный поток, соглашаются с тем, что он действительно турбулентный.
Турбулентность легко увидеть, но сложно понять. Анри Пуанкаре размышлял о предмете гидродинамики и даже преподавал
курс по вихрям (А. Пуанкаре. Теория вихрей. РХД, 2001), но не рискнул создать теорию турбулентности.
Немецкий физик Вернер Гейзенберг, основатель квантовой механики, предложил теорию турбулентности, которая так и не получила всеобщего принятия. В свое время говорили, что турбулентность - это кладбище теорий.
Безусловно, как в физику, так и в математику движения жидкости значительный вклад внесли такие люди, как Осборн Рейнольдс, Джеффри Тейлор, Теодор фон Карман, Жан Лере, А.Н. Колмогоров, Роберт Крайчнан и другие - но данный предмет, судя по всему, не раскрыл все свои тайны.
В этой главе, равно как и в последующих, мне бы хотелось рассказать об одном эпизоде научных изысканий, направленных на
понимание турбулентности и более поздней теории хаоса. Я сам принимал в нем участие, так что могу предоставить больше деталей, чем в случае с событиями, в которых участвовали полумифические гиганты науки начала века. Я попытаюсь дать вам
представление об атмосфере исследования, но не стану приводить сбалансированный исторический отчет. Что касается последнего, то читатель может найти его в оригинальных работах, многие из которых для удобства были собраны в два специально изданных тома.
Открытие новых идей запрограммировать невозможно. Вот почему революции и другие общественные катаклизмы зачастую
оказывают положительное влияние на науку. На некоторое время прерывая рутинную работу бюрократического аппарата и выводя
из строя организаторов научного исследования, они дают людям возможность думать. Как бы то ни было, события, которые произошли во французском обществе в мае 1968 года, обрадовали меня, потому что они нарушили работу почты и связи и, помимо этого, создали своего рода интеллектуальное возбуждение. В то время я пытался самостоятельно изучить гидродинамику по книге Ландау и Лифшица - Механика жидкости. Я медленно пробивал свой путь в гуще сложных вычислений, от которых авторы, судя по всему, получали истинное удовольствие, и внезапно наткнулся на нечто интересное: раздел по возникновению турбулентности, без сложных вычислений.
Чтобы понять теорию Льва Давидовича Ландау о возникновении турбулентности, следует помнить, что вязкая жидкость, такая как вода, в конечном итоге, остановится, если только не произойдет что-то, что будет способствовать ее движению. В зависимости от величины мощности, которая используется, чтобы поддерживать жидкость в движении, можно наблюдать различные явления. В качестве конкретного примера представьте воду, бегущую из крана. Сила, приложенная к жидкости (которая, в конечном счете, зависит от тяготения), регулируется большим или меньшим открыванием крана. Чуть-чуть приоткрывая кран, вы можете добиться постоянной струи воды между краном и раковиной: столбик воды кажется неподвижным (хотя вода из крана, конечно же, течет). Осторожно открывая кран чуть больше, вам (иногда) удастся добиться регулярных пульсаций столбика жидкости; такое движение
называют уже не постоянным, а периодическим. Если кран открывается еще больше, пульсации становятся нерегулярными. И наконец, когда кран открыт полностью, вы видите очень нерегулярный поток - вы получили турбулентность. Подобная последовательность событий типична для жидкости, приводимой в движение прогрессивной увеличивающейся внешней силой. Ландау интерпретирует это, утверждая, что по мере увеличения прикладываемой силы возбуждается все большее количество мод жидкостной системы.
На данном этапе нам следует погрузиться в физику и попытаться понять, что такое мода. Многие предметы, нас окружающие, начинают совершать колебания или вибрировать, когда мы по ним ударяем: маятник, металлический стержень, струну музыкального инструмента очень легко привести в периодическое движение. Такое периодическое движение является модой. Существуют моды вибрации столбика воздуха в трубе органа, моды колебания подвешенного моста и т.д. Данный физический объект зачастую имеет много различных мод, которые мы, возможно, захотим определить и проконтролировать. Подумайте, к примеру, о конструкции церковного колокола: если различные моды вибрации колокола соответствуют диссонирующим частотам, то звук не будет приятным. Важный пример мод дает вибрация атомов вокруг своего среднего положения в куске твердой материи; соответствующие моды называются фононами. Но вернемся к Ландау.
Он предложил, что, когда под действием внешнего источника питания жидкость приходит в движение, возбуждается определенное количество мод жидкости. Если не возбуждается ни одной моды, мы имеем постоянное состояние жидкости. Если возбуждается одна мода, мы имеем периодические колебания. Если возбуждается несколько мод, поток становится нерегулярным, а при возбуждении множества мод - турбулентным. Ландау поддержал свое предложение с помощью математических доказательств, которые я не в состоянии здесь воспроизвести. Независимо от Ландау, немецкий математик Эберхард Хопф опубликовал подобную теорию, несколько более сложную в математическом плане (Л.Д. Ландау. О проблеме турбулентности, Докл. Акад. Наук СССР 44, н. 8 (1944), 339-42; E. Hopf. A mathematical example displaying the features of turbulence - Математический пример, проявляющий черты турбулентности. Commun.Pure Appl. Math. I (1948), 303-22. Идеи Ландау можно прочитать в книге Гидродинамика. Л.Д. Ландау и Е.М. Лифщиц из их известного курса по теоретической физике). Говоря о физических экспериментах, можно провести временной анализ изменений частоты колебания турбулентной жидкости, т.е. поискать, какие частоты присутствуют. При этом обнаруживается, что имеет место множество частот - фактически целый континуум частот, - что, следовательно, должно соответствовать очень большому количеству мод жидкости.
Теория Ландау-Хопфа, в представленном мной виде, на первый взгляд, дает удовлетворительное описание возникновения турбулентности: то, как жидкость становится турбулентной при увеличении силы, приложенной к ней извне. И все же, читая объяснение Ландау, я мгновенно испытал неудовлетворение, по математическим причинам, которые я поясню очень скоро.
Здесь нужно сказать еще несколько слов о модах. Во многих случаях можно заставить физическую систему совершать колебания в нескольких разных модах одновременно, причем различные колебания не будут оказывать друг на друга никакого влияния.
Можно предположить, что это не очень точное утверждение. Чтобы нарисовать более определенную картину, подумайте о модах как об осцилляторах, каким-то образом содержащихся в нашей физической системе и совершающих независимые колебания. Эта мысленная картинка была весьма популярна среди физиков.
Пользуясь терминологией Томаса Кана, мы можем сказать, что интерпретация больших областей физики через моды, понимаемые как независимые осцилляторы, является парадигмой. Вследствие своей простоты и общности, парадигма мод оказалась весьма полезной. Она работает всякий раз, когда можно определить моды, независимые или почти независимые. Например, моды колебания атомов в твердом теле, так называемые фононы, не являются абсолютно независимыми: там присутствуют взаимодействия типа фонон-фонон, но они относительно малы, и физики могут с ними справиться (в некоторой степени).
Описание турбулентности Ландау через моды не понравилось мне потому, что я слушал семинары Рене Тома и изучал фундаментальный труд Стива Смейла под названием Дифференцируемые динамические системы (S. Smale. Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967), 747-81 - С. Смейл. Дифференцируемые динамические системы, УМН, 1970, т.25, N1, с.113-185). Француз Рене Том и американец Стив Смейл - выдающиеся математики. Первый является моим коллегой в Институте высшего научного образования (Institut de Hautes Etudes Scientifiques) недалеко от Парижа, а последний частенько туда приезжает. От них я узнал о современном развитии идей Пуанкаре по динамическим системам, из чего ясно понял, что применимость парадигмы мод далека от универсальной. Например, временная эволюция, которую можно описать через моды, не может обладать чувствительной зависимостью от начальных условий. Я докажу это утверждение в следующей главе, где
покажу, что временная эволюция, описанная через моды, достаточно скучна по сравнению с временной эволюцией, рассмотренной Смейлом. Чем больше я думал об этой проблеме, тем меньше я верил картине Ландау: если бы в вязкой жидкости были моды, то они взаимодействовали бы скорее сильно, чем слабо и создавали бы нечто совершенно отличное от картинки мод. Нечто более богатое и гораздо более интересное.
А что делает ученый, когда считает, что он открыл что-то новое? Он пишет работу, статью на зашифрованном научном жаргоне, которую потом посылает редактору научного журнала, чтобы тот решил вопрос о ее публикации. Редактор использует одного
или двух своих коллег в качестве рецензентов статьи, и если ее принимают, то ее, в конце концов, печатают в данном научном
журнале. Не ищите таких журналов в своем газетном киоске - их там не продают. Их рассылают по почте ученым, они заполняют шкафы в кабинетах профессоров университета, а в крупных научных библиотеках простираются целые мили полок с этими
журналами.
Написание статьи под заголовком О природе турбулентности (D. Ruelle and F. Takens, On the nature of turbulence (О природе турбулентности). Commun. Math. Phys. 20 (1971): 167-192; 23 (1971): 343-44) было рискованным начинанием, которое я предпринял вместе с Флорисом Такенсом, голландским математиком, который вложил в него свой математический опыт и не побоялся высунуться, написав работу по физике. В своей работе мы объяснили, почему, на наш взгляд, картина турбулентности, представленная Ландау, неверна, и предложили нечто другое, что содержало странные аттракторы. Эти странные аттракторы впервые появились в работе Стива Смейла, но само название было новым, и теперь уже никто не помнит, кто его придумал: Флорис Такенс, я или кто-то еще. Мы отправили свою рукопись в подходящий научный журнал, и вскоре она вернулась: ее не приняли. Редактору наши идеи не понравились, и он предложил нам обратиться к его собственным работам, чтобы мы узнали, что же такое турбулентность на самом деле.
Теперь я оставлю свою статью О природе турбулентности и перейду к более интересной вещи: странным аттракторам
Гл.10. Турбулентность: странные аттракторы
Математика - это не просто собрание формул и теорем; кроме них она содержит идеи. Одной из самых всеобъемлющих
математических идей является идея геометризации, что, в сущности, означает визуальное представление всех вещей как точек пространства...
Теперь мы вернемся к колебаниям или модам, о которых мы говорили в прошлой главе, и попытаемся их геометризировать. Положение маятника, вибрирующего стержня или другого предмета, который совершает колебания, изображено на рисунке 10.3(а).
р.10.3
Рис.10.3. Колеблющаяся точка: (а) положение х; (б) положение х и скорость v
Это положение колеблется слева (Л) направо (П), потом обратно справа налево и т.д. Эта картинка не слишком информативна,
но мы забыли одну вещь: состояние нашей колеблющейся системы не полностью определяется ее положением; мы также должны знать ее скорость. На рис. 10.3(б) мы видим орбиту, представляющую наш осциллятор в плоскости положение-скорость. Эта орбита является петлей (или кругом, если хотите), а точка, которая представляет состояние нашего осциллятора, вращается по петле с определенной периодичностью.
Теперь вернемся к жидкостной системе вроде воды, текущей из крана, которую мы рассматривали ранее. При дальнейшем
рассмотрении мы будем концентрироваться на долгосрочном поведении системы, игнорируя переходные состояния, которые имеют место, например, в момент открывания крана. Для представления нашей системы нам понадобится бесконечномерное пространство, так как мы должны точно определить скорость во всех точках пространства, которое занимает жидкость, а таких точек бесконечно много. Но это не должно нас беспокоить.
р.10.4
Рис.10.4. (а) Неподвижная точка Р, представляющая постоянное состосостояние; (б) периодическая петля, представляющая периодическое колебаколебание жидкости. Все рисунки выполнены в бесконечном числе измерений и спроецированы на двухмерный лист бумаги
Рисунок 10.4(а) показывает постоянное состояние жидкости: точка Р, представляющая систему, не движется. Рисунок 10.4(б) показывает периодические колебания жидкости: орбита точки Р теперь является петлей, вокруг которой Р периодически циркулирует.
Нам было бы удобно выпрямить картинку 10.4(б), чтобы петля превратилась в круг, а движение по нему совершалось с постоянной скоростью (Это делается с помощью того, что математики называют нелинейным изменением координат; это все равно, что посмотреть на ту же самую картинку через искажающее стекло).
р.105
Рис.10.5. (а) Периодическое колебание (мод), описанное точкой Р, движущейся с постоянной скоростью по кругу; (б) суперпозиция нескольких мод, описанная в нескольких разных проекциях.
Наше периодическое колебание или мод теперь описывается рисунком 10.5(а).
Итак, у нас есть все идеи, необходимые для визуализации суперпозиции нескольких мод: как показано на рисунке 10.(5б),
точка Р, представляющая систему, появляется в нескольких различных проекциях, чтобы двигаться по кругам с различными
угловыми скоростями, соответствующими разным периодам (Проекции должны быть выбраны должным образом, что включает
нелинейные изменения координат). Если читателю интересно, он может проверить, что эта временная эволюция не обладает чувствительной зависимостью от начальных условий.
р.10.6
Рис.10.6. Аттрактор Лоренца. Компьютерное изображение, запрограммированное Оскаром Лэнфордом
А теперь взгляните на рисунок 10.6. Это перспектива временной эволюции в трех измерениях. Движение происходит на сложном множестве, которое называется странным аттрактором, а точнее - аттрактором Лоренца (Е.N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow (Детерминистический непериодический поток). J. Atmos. Sci 20 (1963): 130-141).
Эдвард Лоренц - метеоролог, который работал в Массачусетском технологическом институте. Будучи метеорологом, он интересовался явлением атмосферной конвекции, которое состоит в следующем: Солнце нагревает Землю, вследствие чего низкие слои атмосферного воздуха становятся теплее и легче, чем более высокие его слои. Это вызывает движение легкого и теплого воздуха вверх, а более плотного и холодного воздуха - вниз. Эти движения и образуют конвекцию. Воздух, как и рассмотренная ранее вода, является жидкостью, поэтому его следует описывать точкой в бесконечномерном пространстве. С помощью грубого приближения Эд Лоренц заменил правильную временную эволюцию в бесконечномерном пространстве временной эволюцией в трехмерном пространстве, которую он мог изучать с помощью компьютера. Компьютер выдал объект, который изображен на рисунке 10.6 и в настоящее время известен как аттрактор Лоренца.
Мы должны вообразить точку Р, представляющую состояние нашей конвекционной атмосферы, как движущуюся во времени по линии, нарисованной компьютером. В описанной ситуации точка Р начинает свое движение около начала координат О, затем обходит правое ухо аттрактора, затем несколько раз обходит его левое ухо, затем дважды - правое, и т.д. Если бы начальное положение Р вблизи О хоть чуть-чуть изменилось (настолько, что разницу нельзя было бы увидеть невооруженным глазом), то детали рисунка 10.6 изменились бы полностью. Общий аспект остался бы неизменным, но количество последовательных обходов правого и левого ушей стало бы совершенно другим. Так происходит потому, - как понял Лоренц, - что временная эволюция рисунка 10.6 обладает чувствительной зависимостью от начальных условий. Таким образом, количество последовательных обходов правого и левого ушей является непостоянным, очевидно, хаотичным и труднопредсказуемым.
Временная эволюция Лоренца не является реалистичным описанием атмосферной конвекции, но ее изучение, тем не менее, дало очень сильный аргумент в пользу непредсказуемости движений атмосферы. Будучи метеорологом, Лоренц тем самым мог представить веское оправдание неспособности людей его профессии создавать надежные долгосрочные прогнозы погоды. Как мы уже видели, Пуанкаре сделал точно такое же замечание гораздо раньше (Лоренц этого не знал). Однако ценность подхода Лоренца состоит в том, что он является конкретным и применим к реальному изучению движения атмосферы. Прежде чем оставить Лоренца, замечу, что тогда как его работа была известна метеорологам, физики узнали о ней довольно поздно.
С вашего позволения я теперь вернусь к статье О природе турбулентности, которую я написал совместно с Флоренсом Такенсом и которую мы оставили в прошлой главе. В конце концов, эта статья была опубликована в научном журнале (На самом деле редактором этого журнала был я, и я сам принял статью для публикации. В общем, такая процедура не рекомендуется, но я чувствовал, что в данном случае мой поступок оправдан). Статья О природе турбулентности содержит некоторые идеи, схожие с теми, что ранее развивали Пуанкаре и Лоренц (мы этого не знали). Но нас не интересовали движения атмосферы и их важность для прогнозов погоды. Вместо этого у нас было что сказать об общей проблеме гидродинамической турбулентности. Мы претендовали на то, что турбулентный поток описывается не суперпозицией множества мод (как предлагали Ландау и Хопф), а странными аттракторами.
Что такое аттрактор? Это множество, на котором точка Р, представляющая интересующую нас систему, движется в большом времени (т.е. после того как вымерли так называемые переходные состояния). Чтобы это определение имело смысл, важно, чтобы внешние силы, действующие на систему, не зависели от времени (иначе мы могли бы заставить точку Р двигаться так, как нам этого хочется). Также важно рассматривать диссипативные системы (вязкие жидкости рассеивают энергию в процессе внутреннего трения). Диссипация является причиной исчезновения переходных состояний. Диссипация также является причиной того, почему в бесконечномерном пространстве, представляющем систему, нас интересует лишь маленькое множество (аттрактор).
Неподвижная точка и периодическая петля, изображенные на рисунке 10.4, являются аттракторами, и в них нет ничего странного. Квазипериодический аттрактор, представляющий конечное число мод, также не является странным (математически, это тор. Но аттрактор Лоренца является странным, как и множество аттракторов, введенных Смейлом (их гораздо сложнее изобразить). Странность исходит из следующих признаков, которые не являются математически эквивалентными, но на практике обычно существуют вместе.
Во-первых, странные аттракторы выглядят странно: они не являются гладкими кривыми или поверхностями, но имеют нецелую размерность - или, как это называет Бенуа Мандельброт, - они являются фрактальными объектами. Далее, и это еще более валено, движение на странном аттракторе выказывает чувствительную зависимость от начальных условий. И наконец, при том, что странные аттракторы имеют лишь конечную размерность, временной анализ частот выявляет континуум частот. Последний момент требует более подробного объяснения. Аттрактор, представляющий поток вязкой жидкости, является частью бесконечномерного пространства, но сам имеет конечный размер, благодаря чему может быть четко представлен проекцией в конечномерном пространстве. Согласно парадигме мод конечномерное пространство может описать только конечное число мод (Математически: конечномерное пространство может содержать только конечномерный тор). Тем не менее, частотный анализ выявляет континуум частот, который молено интерпретировать как континуум мод. Возможно ли это? Связано ли это каким-то образом с турбулентностью?...(с.53-66)
Давид Рюэль. Случайность и хаос (2001) РХД (David Ruelle. Hаsard et Chaos (1991). Гл.9. Турбулентность: моды. Гл.10. Турбулентность: странные аттракторы
http://padabum.com/d.php?id=5836 1.6Мб
Д. Рюэлль и Ф. Тэкенс. О природе турбулентности. 1971
Б. Мандельброт. Фракталы и турбулентность: аттракторы и разброс. 1977

Отсутствие периодичности часто встречается в природе и является одной из отличительных особенностей турбулентного течения. Поскольку мгновенная картина турбулентного потока весьма нерегулярна, внимание обычно ограничивается статистикой турбулентности, которая в противоположность деталям турбулентного течения часто характеризуется регулярностью и высокой степенью упорядоченности. Однако человек, занимающийся краткосрочным прогнозом погоды, волей-неволей вынужден предсказывать именно детали крупномасштабных вихрей — циклонов и антициклонов, — которые постоянно образуют все новые картины. Таким образом, есть ситуации, в которых реальный интерес представляют более тонкие свойства, чем статистика нерегулярного течения.
В данной работе мы будем иметь дело с детерминированными системами уравнений, которые являются идеализациями гидродинамических систем. Нас будут особенно интересовать непериодические решения, т.е. решения, которые никогда точно не повторяются, и у которых все приблизительные повторения имеют конечную продолжительность. Таким образом, мы должны рассматривать установившееся поведение решений в отличие от переходного поведения, связанного с различными начальными условиями...
Конечномерные системы обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть использованы для описания вынужденного вязкого гидродинамического течения. Для таких систем с oграниченными решениями установлено, что непериодические движения обычно неустойчивы, в результате чего решения с близкими начальными условиями могут через некоторое время сильно различаться. Показано, что системы с ограниченными решениями имеют и ограниченные численные решения.
Численно исследуется простая система, описывающая ячеистую конвекцию. Обнаружено, что все решения неустойчивы, и почти все непериодические...
Э. Лоренц. Детерминированнное непериодическое течение. 1963
Математика. Новое в зарубежной науке. Серия 22. Странные аттракторы. Сборник статей, Москва, изд-во МИР, 1981, 251с.
http://www.twirpx.com/file/789918/
 
Рюэль и Такенс [10] построили пример, когда при разрушении квазипериодического движения на многомерном торе рождается некоторое притягивающее гиперболическое множество. Сам по себе этот пример ничем не выделяется среди многих других примеров бифуркаций, появившихся в последнее время. Но он получил особый резонанс, ибо его авторы высказали предположение, что он может служить моделью возникновения турбулентности при потере устойчивости ламинарного течения.
Значение работы [10] состоит не в предложенной конкретной модели, а в другом: она помогла специалистам по математической гидродинамике понять, что ресурсы современной математики не исчерпываются квазипериодическими движениями и что имеет смысл попробовать связать турбулентность с притягивающими гиперболическими множествами. Привлекательность последних в этом отношении обусловлена сочетанием неустойчивости индивидуальных траекторий с устойчивостью множества в целом (устойчивостью как относительно возмущений начальных данных, коль скоро оно притягивающее, так и относительно возмущений динамической системы, коль скоро оно гиперболическое). Привлекательность еще усиливается, если учесть, что в принципе гиперболичность способна привести к появлению у системы статистических свойств (Неясно, правда, какую из многих инвариантных мер следует в данном случае предпочесть. По этой причине я, как и ряд других советских математиков, предпочитаю говорить о квазислучайности или стохастичности. По-видимому, в современной математической литературе на русском языке всегда, когда употребляется слово случайный или статистический, подразумевается ситуация, где так или иначе играет роль некоторая мера (вероятность))
Д.В. Аносов (ред.) Гладкие динамические системы (Сборник переводов, Математика в зарубежной науке N4). 1977
http://www.twirpx.com/file/127743/ 3.33Мб
По сложившимся представлениям хаотический случайный вид турбулентных течений жидкостей и газов объясняется тем, что в этих течениях возбуждено очень большое число степеней свободы. Как механические системы, такие течения представляют собою совокупность очень большого количества колеблющихся взаимодействующих осцилляторов.
Изображающая такую систему точка в соответствующем фазовом пространстве (имеющем очень большое, но в случае течения в ограниченном объеме все же конечное число измерений) в процессе возникновения турбулентности движется по траектории, асимптотически приближающейся к некоторому предельному циклу, который можно назвать квазипериодическим аттрактором: описывающие турбулентные флуктуации функции от времени t здесь оказываются квазипериодическими (многомерный тор), т.е. имеющими вид f (w(1)t,…,w(n)t), где n очень велико, f имеет период 2pi по каждому аргументу w(k)t, и частоты w(k) с различными номерами k, вообще говоря, несоизмеримы. Такое представление о развитой турбулентности было предложено еще в 1944г. Ландау (Л.Д. Ландау., ДАН СССР 44, 339 - 1944, см. также § 27 книги Л.Д. Ландау , Е.М. Лифшиц. Механика сплошных сред, М., Гостехиздат, 1953). Оно использовано при изложении данных о возникновении турбулентности в статье Монина и Яглома (А.С. Монин, А.М. Яглом., БМТФ, N 5,3 - 1962. и в § 2 книги А.С. Монин, А.М. Яглом. Статистическая гидромеханика. ч.1, М., Наука, 1965).
Несколько лет назад Рюэлль и Тэкенс (D. Ruеllе, F. Такеns, Comm. Math. Phys. 20, 167-197, см. также более позднюю
статью Рюэлля - D. Ruеlle, Lect. Notes Phys. 12, 292 - 1975) выдвинули гипотезу о существовании в фазовых пространствах течений жидкостей или газов странных аттракторов, т.е. множеств, которые отличаются от неподвижных точек и предельных циклов к которым асимптотически приближаются, в чувствительной зависимости от начальных условий, некоторые фазовые траектории течений.
Течения, эволюционирующие на странных аттракторах, которые Рюэлль и Тэкенс и называют турбулентными, не являются квазипериодическими.
Описывающие их функции от времени псевдослучайны, они имеют затухающие на бесконечности корреляционные функции и непрерывные частотные спектры; в то же время, по-видимому, число возбужденных степеней свободы у этих течений может быть и небольшим. Ряд лабораторных и численных экспериментов по возникновению турбулентности в течениях различных типов указывает на возможность того, что псевдослучайные флуктуации с непрерывным частотным спектром образуются при возрастании числа Рейнольдса внезапно, без предварительного развития квазипериодического течения или после появления в течении лишь очень небольшого числа периодических составляющих. Это служит некоторым свидетельством в пользу гипотезы о странных аттракторах. Обзору этих материалов и посвящена настоящая работа.
А.С. Монин. О природе турбулентности. УФН май 1978, с.97-122
http://ufn.ru/ru/articles/1978/5/f/
А.С. Монин и А.М. Яглом. О законах мелкомасштабных турбулентных движений жидкостей и газов. УФН сен.-окт. 1963. Из сборника А.С.Монин. Тринадцать работ по турбулентности, вихревым движениям в океане, атмосферной диффузии и проблеме климата (1959-2000)
http://www.twirpx.com/file/555464/
с.54
мулу (4.2) к указанным трем типам аттракторов, то мы получим нулевую размерность для точки, D - 1 - для предельного цикла и D = n - для n-мерного тора. Во всех случаях фрактальная размерность строго совпадает с метрической размерностью аттракторов. То обстоятельство, что указанные типы решений являются асимптотически устойчивыми, а размерность D дается целым числом и строго совпадает с метрической, позволяет назвать указанные типы аттракторов регулярными. Нарушение одного из сформулированных условий исключает аттрактор из класса регулярных. Как стало ясным, нерегулярные (хаотические) аттракторы требуют введения специальной классификации.
Новый тип аттрактора динамической системы был впервые обнаружен Лоренцем в 1963г. при численном исследовании знаменитой теперь модели Лоренца. Строгое математическое доказательство существования непериодических решений системы было дано в 1971 году Рюэлем и Такенсом, ими же было введено понятие странного аттрактора как образа детерминированного хаоса. С тех пор явление детерминированного хаоса и понятие странного аттрактора во многих работах практически однозначно связывают друг с другом. Однако при более детальном рассмотрении это оказывается не всегда справедливым и требует пояснений.
Доказательство существования странного аттрактора было дано в жестком предположении, что динамическая система является грубой гиперболической. Что это означает? Система является гиперболической, если все фазовые траектории седловые. Точка как образ траектории в сечении Пуанкаре в гиперболической системе всегда является седлом. Грубость означает, что при малом возмущении правых частей диф. уравнений и вариации управляющих параметров в конечной области их значений все траектории продолжают оставаться седловыми (с.55)
В.С. Анищенко. Знакомство с нелинейной динамикой. Странные (хаотические) аттракторы
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_402.htm
В.С. Анищенко. Степень хаотичности как критерий диагностики
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_331.htm

  


СТАТИСТИКА