Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Лепота
от 22.06.06
  
Мысли


Простота, чистота, правота - наилучшая лепота! (Народная поговорка)

Меня очень интересовало бы знать, как и в каком произведении Спиноза говорит, что так как все в мире происходит вследствие вечных законов, то нечего и винить человека за то, что он поступает так, а не иначе, и потому как будто отвергает понятие нравственности. Так. Но отчего нравственный поступок доставляет нам удовольствие? Отчего большинство находит в нем что-то хорошее? Оттого, что так привыкли смотреть? Но откуда явился такой взгляд на нравственный поступок? Мне кажется, оттого, что в нем есть Красота - красота, т.е. простота и стройность в отношении тех законов, вследствие которых он произошел. Отчего же созерцание красивого создания, наслаждение им возбуждает в нас охоту поступать нравственно? Ведь создание-то красиво только вследствие простоты отношений тех математических законов, на котором оно построено (доказано для архитектуры, музыки, живописи). Я выражаюсь коротко, почти намеками, потому что уверен, что ты поймешь. А то скоро свидимся, потолкуем. Я все не понимаю, про какие чудеса ты говоришь и какие могут быть чудеса, которые необьяснимые явления, одни - для людей, менее сведущих в науке, для совершенных невежд, другие для людей, знающих хотя бы результат всех исследований по всем отраслям.
Пароход показался. Надо пользоваться случаем...
Из письма к брату Александру от Петра Кропоткина (1 августа 1863 г. около Хабаровска)
***
Основы теории Галуа. Н. Чеботарев., Часть 1:
Год издания: 1934, 221с.

http://www.twirpx.com/file/1050222/
Предисловие
Исторический очерк
Глава I. Группы
§ 1. Основные понятия
§ 2. Подгруппы
§ 3. Нормальные делители. Дополнительные группы
§ 4. Изоморфизм и гомоморфизм. Представление групп подстановками
§ 5. Максимальный нормальный делитель. Композиционный ряд. Теорема Жордана-Гольдера. Простые группы. Теорема Бертрана.
§ 6. Абелевы группы. Их разложение на прямые произведения циклических групп
§ 7. Разрешимые группы
Глава II. Группа Галуа
§ 1. Исходные группы
§ 2. Приводимые и неприводимые полиномы
§ 3. Понятие поля. Типы полей. Основные свойства полей алгебраических чисел
§ 4. Соотношения между корнями. Группа Галуа. Составление основных модулей
§ 5. Подстановки группы Галуа, как автоморфизмы нормального поля. Теорема Лагранжа
§ 6. Присоединение новых величин к области рациональности. Натуральные и побочные иррациональности
Глава III. Разрешимые уравнения
§ 1. Циклические уравнения. Резольвента Лагранжа. Двучленные уравнения
§ 2. Уравнения деления круга. Их разрешимость и радикалах. Гауссовы периоды
§ 3. Разрешимые группы и разрешимые уравнения
Глава IV. Некоторые приложения теории Галуа
§ 1. Родственность полей. Разложение уравнений после присоединений
§ 2. Задача, обратная задаче Черегаузена
§ 3. Построения при помощи циркуля и линейки
Глава V. Уравнения с наперед заданными группами
§ 1. Конечные поля
§ 2. Группа Галуа сравнений по простым модулям
§ 3. Построение уравнений с заданными группами
§ 4. Разложение корней по степеням простых чисел
§ 5. Уравнения со знакопеременной группой
§ 6. Квадрируемые луночки
Добавление. Элементы теории чисел
§ 1. О делимости чисел
§ 2. Функция Эйлера
§ 3. Теория сравнений
§ 4. Первообразные корни
§ 5. Уравнение Пифагора
Указатель литературы
Указатель терминов
Введение Настоящая книга не является первой в русской литературе, в которой излагается теория Галуа. Она изложена в курсах алгебры Ващенко-Захарченко, Граве, Сушкевича; ей посвящено несколько монографий на русском языке. Теория Галуа вышла из рамок, которме были намечены ее творцом. Вопрос о решении уравнений в радикалах перестал быть центральным
в алгебре, но теория Галуа продолжает играть в ней главную роль. Появилось немало других алгебраических вопросов, решаемых при помощи теории Галуа: связь между групповой и арифметической природой уравнений, проблема резольвент и т.п. Я не говорю уже о том, что идеи Галуа глубоко проникли в другие отделы математики и частью создали, частью подвинули вперед такие математические дисциплины, как дифференциальные уравнения, автоморфные функции, комбинаторную топологию и т.п.
Сообразно с новыми областями приложений, сама теория Галуа изменила свой язык. Вместо корней уравнения объектом изучения сделались поля алгебраических чисел; вместо подстановок - автоморфизмы полей, и т.п. Современные книги излагают теорию Галуа двояко: в курсах общей алгебры чаще можно встретить старый способ изложения, в то время как в книгах, посвященных алгебраическим числам и идеалам, изложение по большей части построено по-новому. При составлении настоящей книги я имел в виду познакомить читателя с обоими способами изложения и установить между ними связь.
Книга предназначена для студентов старших курсов, желающих специализироваться по алгебре (например готовящих по теории Галуа дипломную работу), аспирантов, а также для математиков-неалгебраистов, желающих познакомиться с основами теории Галуа. Имея в виду эти разнородные потребности, я испытывал известное колебание относительно порядка расположения материала. Дело в том, что каждая книга может быть построена систематически, согласно логически развертываемому плану; построенная таким образом книга удобна, как справочник, так как в ней легко найти нужное определение или теорему. Для первоначального же ознакомления с предметом более удобно другое, методическое построение книги, где, формулируя или доказывая то или иное положение, мы заранее знаем, для чего оно нам понадобится. В конце концов я остановился на первом, систематическом способе построения книги, руководствуясь следующими соображениями: во-первых, книга рассчитана не только на первоначальное ознакомление с теорией Галуа, являясь, так сказать, вторым концентром; во-вторых, я считаю полезным приучать начинающих математиков к чтению книг не подряд, а возможно скорее ориентируясь во всем ее материале. Привычка к такому чтению совершенно необходима при всякой серьезной научной работе, так как литература даже по узким вопросам бывает настолько велика, что систематически прочесть ее почти невозможно, да и нецелесообразно, и потому для научного работника является весьма ценным качеством умение быстро ориентироваться во всем материале, который содержит данная литература. Я позволю себе наметить примерный план, по которому начинающий математик должен читать книгу. Исторический очерк можно сразу читать или не читать, -это не имеет особого значения; главу I (о группах) лучше сначала пропустить, а начать сразу с главы II. § 1 посвящен беглому повторению университетского курса алгебры в нужном для нас объеме. § 2 также не требует знакомства с группами. Для §§ 3 и 4 необходимо только понятие группы, получаемое в § 1 главы I. Для § 5 главы II уже нужны §§ 2 и 3 главы I, причем § 3 нужен только начиная с главы II, § 5. После главы II, § 3 полезно прочесть главу § 4. Начиная с главы II, § 6, нужен § 5 главы I.
Для главы III, §§ 1 и 2, нужен § 6 главы I (об абелевых группах), причем те из читателей, которые не изучали теории чисел, должны прочесть помещенное в конце книги Добавление. Для главы III, § 3 уже нужен § 7 главы I.
Главы IV и V могут быть прочтены независимо друг от друга.
Можно, конечно, читать книгу и подряд, за исключением Добавления (для незнающих теории чисел), которое необходимо прочесть, перед главой I, § 6.
Для удобства ориентации к книге приложен Указатель терминов, а также указатель страниц, на которых помещены теоремы, для которых я ввел единую нумерацию (за исключением Добавления, в котором теоремы перенумерованы римскими цифрами).
Параграфы и пункты (последние помечены просто арабскими цифрами, без значка § ведут счет, начиная с каждой главы (и соответственно параграфа). Формулы имеют два значка, из которых первый указывает на параграф, а второй на номер формулы внутри параграфа. Это дает возможность легко находить нужные формулы, так как номера глав и параграфов помечены вверху каждой страницы.
Несмотря на элементарность изложения настоящей I части (мне пришлось избегать понятия идеала и даже целого алгебраического числа), я старался по возможности ввести читателей в круг современных проблем теории Галуа. Отведя разрешимости уравнений в радикалах сравнительно небольшое место, я дал понятие о проблеме построения уравнений с заданными группами, изложив два различных метода такого построения. Для второго метода мне однако ие удалось дать строгого обоснования, которое потребовало бы знания теории идеалов. В конце книги я поместил параграф о квадрируемых луночек. Этот вопрос, правда, не имеет большого принципиального интереса; его интерес заключается в методике решения, а также в характерной для алгебры и теории чисел постановке задачи: найти все случаи, удовлетворяющие тому или другому требованию. Такого рода задачи ставятся также при решении более важных вопросов алгебры.
При изложении основ теории Галуа я отступил от обычного классического способа определения группы Галуа при помощи резольвенты Галуа. Именно, я, следуя примеру Мертенса и Шатуновского, ввел понятие функциональных модулей (глава II, § 4). Мне кажется, что этот путь более соответствует духу теории Галуа и вместе с тем дает возможность непосредственно обозреть все соотношения между корнями, которые при классическом изложении оторваны от идеи группы Галуа. Это дает также возможность несравненно легче провести доказательство теоремы 90: группа сравнения изоморфизмов некоторым делителем группы уравнения.
В тексте решено много примеров, а также дано 47 упражнений для самостоятельной работы читателя. На них читатель убеждается, что нахождение группы Галуа, весьма простое теоретически, на практике достигается путем всевозможных ухищрений, так как иначе необходимые выкладки были бы непомерно длинны.
Главные приложения современной теории Галуа: связь между арифметической и групповой природой уравнений, а также проблема резольвент, которые требуют знакомства с теорией идеалов и непрерывными группами, будут изложены в дальнейших частях книги.
Н. Чеботарев. Казань, 31 января 1933
***
Из письма А.Н. Колмогорова к  П.С. Александрову. 30 сентября 1932г. (со ст. Клязьма в Аскону, Швейцария) (с.444)
Приехал Чеботарев и делал 28-го доклады в нашем новом конференц-зале...Собралась, естественно, масса народу. Первый доклад был Современные проблемы теории Галуа. Открытия самого Чеботарева, по-видимому, замечательны, но вовсе не так окончательны, как это иногда изображается. В частности, об уравнениях 7-й степени из них все же ничего не удалось извлечь (т.е. число измерений, 2 или 3, соответствующей непрерывной группы так и остается неизвестным, откуда вытекает, что построение ее не столь уж прозрачно). Кроме того, Чеботарев проявляет полную беспомощность при попытке формулировать какой-нибудь результат в логически безупречных терминах.
Между прочим, среди проблем, которыми ты мог бы заняться, я считаю 13-ю проблему Hilbert'а. В Hilbert'овской постановке это не
проблема алгебры, а проблема из теории аналитических функций, и решение ее следует искать через исследование топологических свойств римановских поверхностей для функций многих переменных. Именно, надо показать, что римановские поверхности аналитических функций трех переменных, изобразимых при помощи итерации функций двух переменных, обладают какими-то специальными свойствами (отсутствием каких-нибудь кручений высших порядков?).
Замечу, что Чеботаревские методы, вообще, к проблеме Hilbert'a никакого отношения не имеют, так как у него дело идет просто
о возможности рациональным преобразованием свести уравнение к уравнению с данным числом параметров. Hilbert же спрашивает, можно ли получить решение посредством произвольно сложной итерации функций данного числа переменных.
А.Н. Колмогоров. Юбилейное издание. Книга 2. Этих строк бегущая тесьма...Избранные места из переписки А.Н. Колмогорова и П.С. Александрова
http://www.twirpx.com/file/295633/ 15.72Мб
***
Г.Н. Чеботарев. К проблеме резольвент. Математика, Учeн. зап. Казан. гос. ун-та, 114, n2, Казанский гос. ун-т, Казань, 1954, 189-193, поступила 19 янв. 1953
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=uzku&paperid=407&option_lang=rus
***
Насколько можно упростить с помощью алгебраических преобразований общее уравнение
x^n + a(1)x^(n-1) +…+ a(n-1)x + a(n) = 0?
При n=7 оно приводится преобразованием Чирнгауза к виду, зависящему от трех параметров,
y^7 + py^3 + qy^2 + ry +1 = 0.
Возможно ли дальшейшее упрощение, уменьшающее число параметров?
Имея в виду отрицательный ответ на этот вопрос, Д. Гильберт высказал 100 лет назад предположение, что корень уравнения 7-й степени, как алгебраическая функция его коэффициентов, не представляется в виде конечной суперпозиции функций двух переменных (при n<7 такое представление возможно). Д. Гильберт ожидал, что в этом утверждении можно ограничиться непрерывными функциями двух переменных, но в 1956-57гг. А.Н. Колмогоров и В.И. Арнольд показали, что в такой форме утверждение неверно. Однако алгебраическая природа задачи делает более естественным требование алгебраичности рассматриваемых функций двух переменных. Эта точка зрения прослеживается и в более поздней работе Д. Гильберта. Она связана с алгебраическим ядром задачи.
До недавнего времени алгебраический аспект такого рода проблем оставался по существу неисследованным. Однако за последние три года положение изменилось...
В.Л. Попов. 13-я проблема Гильберта и алгебраические группы
http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=2205
***
Простые конечные спорадические группы (20 из 26), порожденные тремя инволюциями (причем либо две из них перестановочны, либо в каждой порождающей тройке инволюций любые две не коммутируют)
http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=2860
***
Роль инволюций
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_330.htm

  


СТАТИСТИКА