Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Простая группа Звонимира Янко
от 10.07.06
  
Мысли


23.3.5.7.11.19 = 19.20.21.22 = 55.56.57

Две матрицы А и Б размера 7х7 порождают все другие (например АА, ББ, АБА, ББААБАБББ и т.д., и содержит ровно 23.3.5.7.11.19, или 175560 матриц).
Элементы матрицы - группа вычетов по модулю 11 (числа 0 - 10).
А
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0
Б
8 2 10 10 8 10 8
9 1 1 3 1 3 3
10 10 8 10 8 8 2
10 8 10 8 8 2 10
8 10 8 8 2 10 10
1 3 3 9 1 1 3
3 3 9 1 1 3 1
Б.А. Рыбаков. Язычество древних славян
Б.А. Рыбаков. Рожаницы
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_30.htm

Внутри всякой простой группы содержатся некие меньшие группы, называемые централизаторами инволюций, которые помогают понять, как устроена исходная группа. В случае групп Ри централизаторы инволюций допускают представление в виде группы квадратных матриц размера 2х2, составленных из элементов конечной числовой системы, размер которой (т.е. число её элементов) равен некоторой нечётной степени числа 3. Например, если 3 возводится в степень 1, то соответствующая конечная числовая система состоит из трёх элементов группы вычетов по модулю 3. Для доказательства одной из ранних частичных классификационных теорем требовалось показать, что группы Ри - это единственные простые группы, обладающие следующим свойством: их централизаторы инволюций допускают представление 2х2-матрицами, составленными из элементов конечной числовой системы размера pm, где p - простое, а m - нечётное число. Первым естественным шагом к достижению этой цели была попытка доказать следующую гипотезу: если некоторая простая группа обладает указанным свойством, то размер конечной числовой системы, из которой берутся элементы 2х2-матриц, равен нечётной степени простого числа 3. Со временем эта гипотеза была проверена для всех случаев, кроме одного: когда pm = 51.
Янко приступил к исследованию этого исключительного случая в полной уверенности, что простой группы нужного типа с числовой системой размера 51, т.е. 5, не существует. Однако, несмотря на все усилия, ему не удалось исключить такую возможность и тем самым завершить доказательство гипотезы. Наоборот, потратив немало труда, он сумел показать, что если простая группа такого вида существует, то она состоит в точности из 23х3х5х7х11х19 (т.е. 175 560) элементов.
Вряд ли Янко удалось бы установить столь сильный результат, если бы одна подходящая группа не маячила на горизонте. С растущим нетерпением он двинулся дальше и показал, что если такая группа существует, то она порождается двумя 7х7-матрицами, в столбцах и строках которых стоят элементы группы вычетов по модулю 11. Если обозначить две эти матрицы через A и B, то группа состоит из всевозможных матричных произведений вида AA, BB, ABA, BBAABABBB и т.д.
Оставалось только узнать, действительно ли эта группа содержит в точности 175 560 элементов; если бы это было не так, то рассуждения Янко приводили бы к противоречию, которое он искал с самого начала. На первый взгляд кажется удивительным, что всевозможные матричные произведения, составленные из A и B, эквивалентны всего лишь 175 560 матрицам (именно это и означает существование группы требуемого типа). Ведь сюда входят и произведения, содержащие более миллиона A и B. Общее число матриц размера 7х7 с элементами из группы вычетов по модулю 11 равно, грубо говоря, 1149 или 1051, и, значит, произведения этих двух порождающих матриц составляют среди них лишь ничтожную долю. Тем не менее вычисления, проведённые к тому же полностью вручную, подтвердили существование шестой спорадической группы, которая в честь Янко (Janko) называется теперь J1.
http://ega-math.narod.ru/Nquant/Groups.htm

Подгруппы
Linear group
2хA5. A5 = L2(4) = L2(5). Order = 60 = 22.3.5.
L2(11). Order = 660 = 223.5.11
23:7:3 = F168
19:6 = F114
11:10 = F110
D6хD10
7:6 = F42

< a, b | a^2 = b^3 = (ab)^7 = (ab(abab^(-1))^3)^5 = (ab(abab^(-1))^6abab(ab^(-1))^2)^2 = 1 >
http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/spor/J1/

Строго вещественными спорадическими конечными простыми группами являются только группы Янко J1 и J2, причём J1 = CC1 для класса C сопряжённых в J1 инволюций и некоторого его подмножества C1 мощности не больше 867, а множество элементов группы J2 нельзя представить ни как произведение двух её классов сопряжённых инволюций, ни как квадрат каждого из них, но если A - класс сопряжённых инволюций группы J2, то каждый её элемент равен произведению трёх инволюций из A
А.В. Тимофеенко. О строго вещественных элементах конечных групп
http://mech.math.msu.su/~fpm/ps/k05/k052/k05214.pdf
http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=27942

  


СТАТИСТИКА