Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Куда же спряталась самая свободная геометрия?
от 07.08.06
  
Мысли


Се ТрГлаве молiхомь Влiце а Мале

Надобно понимать и внушать ученикам, что наш язык один сохранил дух древних, тогда как языки новые приложили члены к именам существительным. Отсюда происходит, что наш язык, определенный не порядком слов, но в их окончаниях, дозволяет расположение с плавностью и силою. В иностранных новых языках, особенно во французском, бедность этимологии, условные выражения вне всяких грамматических правил и непрестанное повторение однозвучных членов лишает силы, мужественного достоинства, стройности, затрудняя насильственным расположением слов - Н.И. Лобачевский

Пусть речь, словно вестник, странствует между двумя мирами! - РигВеда I, 173.3

РигВеда I, 164. Гимн-загадка

Группа гимнов I, 140-164 приписывается Диргхатамаса (dirghatamas - букв. погруженный в глубокий мрак, т.е. слепой), сына Учатхьи (aucathya)
Знаменитый гимн представляет собой собрание так называемых брахмодья (brahmodya) - аллегорий и загадок о происхождении вселенной, об удивительных явлениях природы, о времени, богах, человеческой жизни, ритуале, поэтической речи и пр. Отгадки, как правило, не даются. Вопросы оставляются без ответа. Аллегории туманны и допускают различные толкования. Хотя толкованию этого гимна посвящена целая литература: от Саяны до современных работ, многое в его содержании остается неясным. Заслуживает внимание концепция Н. Брауна, который считает, что гимн - не случайное собрание загадок, а связанное изложение риши Диргхатамасом своего вИдения

6 Незрячий - зрячих провидцев об этом
Я спрашиваю, несведущий - чтобы ведать.
Что ж это за Одно в виде нерожденного, - (Одно - ekam - В поздних спекулятивных гимнах РВ нередко выступает как первопричина, из которой, как из зародыша, развивается вселенная (ср. X,129.2)
Который установил порознь эти шесть пространств? - (шесть пространств? - Три неба и три земли)

39-42 Да будешь ты счастлива...- Возвеличение божественной Речи, принимающей различные облики

39 Кто не знает того слога гимна
На высшем небе, на котором боги все восседают,
Что же он поделает с гимном?
А кто его знает, те сидят (здесь) вместе.

40 Да будешь ты счастлива, пасясь на тучном пастбище! - (Обращение к божественной Речи в образе дойной коровы)
Да будем счастливы также и мы!
Ешь траву постоянно, о невредимая!
Пей чистую воду, приходя (на водопой)!

41 Буйволица замычала, создавая потоки воды,  - (Наложение друг на друга образов буйволицы; грозовой тучи, из которой хлынул дождь; божественной Речи)
Став одноногой, двуногой, четырехногой,
Восьминогой, девятиногой,
Тысячесложной на высшем небе.

42 Из нее моря вытекают. - (Из нее...- т.е, из божественной Речи...вытекает непреходящее - ksaraty aksаram - Звукопись, содержащая намек на слово слог - aksаra)
Этим живут четыре стороны света.
Оттуда вытекает непреходящее.
Им живет все.

45 На четыре четверти размерена речь.
Их знают брахманы, которые мудры.
Три тайно сложенные (четверти) они не пускают в ход.
На четвертой (четверти) речи говорят люди.

Атхарваведа IX,10.21

21 Вот корова замычала (gаur in mimaya), создавая потоки воды (Наложение друг на друга образов коровы и грозовой тучи, из которой хлынул дождь).
Она одноногая, двуногая, четырехногая.
Она стала восьминогой, девятиногой,
С тысячей слогов, множеством существований (bhuvanasya panktim - слово pankti - означает: число пять, группа из пяти; толпа, множество).
Из нее моря вытекают.

Атхарваведа XIII,1.42

42 Одноногая, двуногая она, четырехногая.
Став восьминогой, девятиногой,
(Она) - пятичастный поэтический размер мироздания
из тысячи слогов. Из нее моря вытекают

РигВеда VIII, 100 К Индре и Ваю

10 Когда Речь, говоря непонятные (слова)
Повелительница богов опустилась сладкозвучная,
Она дала надоить из себя в четыре (струи) питательную силу (и) молоко.
Куда же пошла ее основная часть?

11 Богиню Речь породили боги.
На ней говорят животные всех обликов.
Эта наша сладкозвучная дойная корова Речь,
Доящаяся отрадой, питательной силой, пусть придет к нам, прекрасно восхваленная!

РигВеда. Мандалы I-X. перевод Т.Я. Елизаренковой
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_863.htm
Атхарваведа (Шаунака). Т.1-3. перевод Т.Я. Елизаренковой
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_605.htm
Богиня Священной Речи - Вач (Бхарати)
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_826.htm

RP^1 "= S^1
CP^1 "= S^2
HP^1 "= S^4
OP^1 "= S^8
...
PSL(2;R) "= SO(2;1)
PSL(2;C) "= SO(3;1)
PSL(2;H) "= SO(6;1)
PSL(2;O) "= SO(9;1)

Кажется, трудность понятий увеличивается по мере их приближения к начальным истинам в природе: так же как она возрастает в другом направлении, к той границе, куда стремится ум за новыми познаниями
...Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным - не должно верить
...Новая (неэвклидова) Геометрия, основание которой уже здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем вооображении и, оставаясь без употребления для измерений на самом деле, открывает новое, обширное поле для взаимных применений Геометрии и Аналитики
Н.И. Лобачевский. О началах геометрии
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_201.htm
Принцип двойственности Хлебникова
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_420.htm
Куда же спряталась самая свободная алгебра?
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_179.htm

В ряду предметов точного познания геометрия занимает первое место по простоте математических оснований критики ея начал. Она, по признанию всех философов и математиков, легче всего может послужить для раскрытия природы точного критического познания...геометрическое познание должно считаться не с одним только наблюдением, но и с внутренним глазом, мерно и автономно судящим, и это внутреннее мерило вещей должно играть не менее важную законодательную роль и в остальных координациях познаваемого мира точного критическаго познания...Нет познания без предпосылок теории познания, координирующей материалы знания в систему. Избрать хорошую теорию познания значит наметить себе хороший путь получать знания. Возможных теорий познания много, и в выборе той или другой теории познания, как в выборе пути, играет роль воля, которая, таким образом, участвует в познавательном процессе. Воля подчиняется то разуму, то чувству и темпераменту, а потому все свойства и способности духа и тела вовлекаются в познавательный процесс. Просвещенная благая воля ставит себя в связь с высшею теорией познания и несет с собою истину и благо. Воля, отдавшаяся плохой теории познания, служит в той или другой мере заблуждению и кумирам. От доброй воли и способностей познающего зависит раскрыть широко свой познающий глаз или сузить его
П.А. Некрасов. Московская философско-математическая школа и её основатели. Математический сборник: журнал. М., 1904. Т.25(1). с.12-14
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=6621&option_lang=rus

Феликсу Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований. Например, классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации; ей соответствует группа, содержащая вращения, переносы и их сочетания. Проективная геометрия может изучать конические сечения, но не имеет дела с кругами или углами, потому что круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях.  

Непрерывными группами являются такие группы преобразований геометрических пространств, как группы движений евклидова и неевклидовых пространств, группы вращений этих пространств вокруг точки, группа переносов евклидова пространства, группа подобий этого же пространства, группа аффинных преобразований, группы коллинеаций и более общих проективных преобразований. Группы вращений и переносов являются подгруппами группы движений евклидова пространства, причем группа переносов - инвариантная подгруппа. Группа движений - подгруппа группы подобий, группа подобий (например, фрактальная геометрия, изучающая степенные законы-инварианты) - подгруппа группы аффинных преобразований, а эта последняя группа - подгруппа группы коллинеаций...

***
Ф. Клейн. Лекции о развитии...

Мёбиус четко осознал идею точечного соответствия между двумя пространствами и с ее помощью создал представление о простейших, систематических расположенных ступенях родства: равенство, теперь обычно называемое конгруэнтностью, подобие, аффинность (название, идущее от Эйлера), коллинеарность; последним термином он называет самый общий тип родства, при котором прямые снова переходят в прямые. Хотя Мёбиус еще и не располагал понятием группы в современной его формулировке, тем не менее. Понятие родства давало ему некоторый эквивалент этого понятия; Мёбиус является поэтому одним из предшественников Эрлангенской программы (с.135)
Геометрии, рассматриваемые нами до сих пор (проективную, аффинную и метрическую), можно кратко охарактеризовать (см. мою Эрлангенскую программу 1872г.) указав группы преобразований, оставляющие инвариантными основные отношения этих геометрий. Оказывается, что:
1. проективную геометрию характеризуют общие дробно-линейные преобразования, которые в неоднородной записи имеют вид
x' = (ax + by + cz  + d)/ (a"'x + b"'y + c"'z  + d"')
y' = (a'x + b'y + c'z  + d')/ (a"'x + b"'y + c"'z  + d"')
z' = (a"x + b"y + c"z  + d")/ (a"'x + b"'y + c"'z  + d"')
2. аффинную геометрию характеризуют аналогичные преобразования, но без знаменателя
x' = (ax + by + cz  + d)
y' = (a'x + b'y + c'z  + d')
z' = (a"x + b"y + c"z  + d")
3. для метрической геометрии сюда присоединяется условие, что матрица
a b c
a' b' c'
a" b" c"
этого преобразования должна быть, как говорят, ортогональной, что равносильно требованию инвариантности суммы квадратов координат:
x'^2 + y'^2 + z'^2 = x^2 + y^2 + z^2
при этом некоторая тонкость заключается в том, будем ли мы ограничивать себя рассмотрением только тех преобразований, определители которых равны +1, или же допустим и определители = -1.
Вид этих форм наводит на мысль о почти само собой напрашивающемся обобщении - а именно, о том, чтобы вместо трех переменных x, y, z - взять n измерений...
Современному поколению развитие такого рода кажется настолько естественным, что представляется почти что скромностью ограничиваться при этом обобщении каким-либо числом переменных. Поэтому я должен несколько более подробно рассказать о тех трудностях и о том упорном сопротивлении, которые эти идеи встречали еще долгое время после того, как они возникли впервые.
И здесь опять-таки именно философы создавали трудности на пути формирования этих понятий. Им нехватало ни понимания присущего математическим теориям имманентного смысла, ни понимания той силы, которая на первых порах отодвигает в сторону вопрос о транзиентном применеии этих теорий. По-видимому, всему, что представляет собой в науке истинный прогресс, уготована судьба в процессе критических дискуссий в первую очередь столкнуться с недовольством прочно обоснованной и строгой правоверности. И все же тайна поступательного движения заключается непосредственно в творчестве, которое из чистой радости, доставляемой предметом занятий, создает то, к чему толкает его дух (с.189-191)
Место метрической геометрии, внутри проективной (или выражаясь в терминах Кэли - дескриптивной) и основополагающее значение этой последней Кэли выражает следующей фразой, стоящей того, чтобы ее запомнить: Metrical geometry is thus a part of destriptive geometry and destriptive geometry is all geometry - Таким образом, метрическая геометрия  - это часть дескриптивной, а дескриптивная геометрия - это вся геометрия в целом. Всякая метрическая геометрия представляет собой теорию инвариантов каких-то наперед заданных геометрических образов, к которым добавлена некоторая поверхность второго порядка; в частности, обычная метрическая геометрия получается из проективной присоединением сферической окружности.
Теперь нужно было детально продумать и реализовать эту фундаментальную идею. Мое собственное участие в даннной работе началось именно с этого.
Основная задача состояла в детальном изучении мероопределения Кэли для всех случаев, т.е. для всех проективно различных образов второго порядка. Если ограничиться образами, задаваемыми уравнениями с действительными коэффициентами, то это будут
а) Невырожденные поверхности второго порядка:
1. действительные линейчатые (однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид);
2. действительные нелинейчатые (эллипсоид, эллиптический параболоид, двуполостный гиперболоид);
3. мнимые поверхности.
б) Невырожденные кривые второго порядка:
1. действительные (эллипс, гипербола, парабола);
2. мнимые.
в) Пары точек:
1. действительные;
2. мнимые.
г) Двойная точка.
Если в качестве фундаментального конического сечения - Кэли называет его абсолютом - взять сферическую окружность, т.е. иметь дело со случаем б.2, то получится обычная метрика. А случаи а.2 и а.3 приводят как раз к тем двум разновидностям неэвклидовой геометрии, которые были обнаружены Гауссом, Лобачевским и Бойяи, с одной стороны, и Риманом - с другой; они получаются из обычной геометрии в зависимости от того, какой мы считаем сумму углов треугольника - меньшей или больше pi. Таким образом, эти системы тоже встраиваются в проективную геометрию и тем самым теряют свою парадоксальность. Путь Кэли наиболее простым образом позволяет оценить все своеобразие этих неэвклидовых геометрий и убедиться в их непротиворечивости.
Можно, конечно, реализовать и другие случаи, и они приведут к занятным и странным системам мира. Случай
x^2 + y^2 + z^2 - t^2 = 0
в четырехмерном пространстве или более общий случай
dx^2 + dy^2 + dz^2 - dt^2 = 0
где, чтобы остаться в трехмерном пространстве, нужно все координаты считать однородными, в последнее время приобрел особое значение в связи с физической теорией относительности (с.170)
Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии: в 2-х томах. Т.I: Перевод с нем. Н.М. Нагорного (при подготовке повторного перевода Лекций...Клейна основное внимание было уделено по возможности более точной передаче клейновской мысли и сохранению в неприкосновенности - без модернизации и видоизменений - общего духа его сочинения). Под ред. Постникова. М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989
***
Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Пер. с немецкого Б.Лившица, А.Лопшица, Ю.Рабиновича, Л.Тумермана. М.-Л., ГОНТИ, 1937, 432с.
http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/razvitie.djvu
Ф. Клейн. Неевклидова геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936, 356 с (нем.: Vorlesungen uber Nichteuklidische Geometrie, mit Walther Rosemann)
http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neeuclid.htm

В 1859г. А. Кэли в Шестом мемуаре о формах показал, что евклидову плоскость можно рассматривать как проективную плоскость с выделенной бесконечно удаленной прямой и двумя мнимыми циклическими точками на ней, в которых эта прямая пересекается со всеми окружностями плоскости. Кэли доказал, что эллиптическую плоскость, т.е. сферу с отождествленными диаметрально противоположными точками, можно представить как ту же проективную плоскость, на которой задано мнимое коническое сечение, и пришел к выводу, что - метрическая геометрия является, таким образом, частью проективной геометрии и проективная геометрия представляет собой всю геометрию

Интересно одно сочинение Кэли - Шестой мемуар о формах (1859). Кэли заметил, что евклидовы перемещения выделяются из всех проективных преобразований тем, что сохраняют циклические точки. В результате, с использованием циклических точек, все объекты евклидовой геометрии (расстояния, величины углов и т.д.) можно определить через проективные понятия (сохраняющиеся при проективных преобразованиях). Кэли называет проективную геометрию дескриптивной, а евклидову - метрической и пишет: Метрическая геометрия есть, таким образом, часть дескриптивной, а дескриптивная геометрия - вся геометрия. Следует иметь в виду, что раньше положение казалось прямо противоположным, а именно, что проективная геометрия - сравнительно бедная часть евклидовой. Далее Кэли замечает, что исходя из проективной геометрии можно ввести расстояния, отличные от евклидова, каждое такое расстояние на плоскости связывается с некоторой кривой второго порядка (вещественной или мнимой), так что это расстояние не меняется при всех проективных преобразованиях, сохраняющих рассматриваемую кривую.

***

Понятие группы, как я уже отмечал, является организующим и цементирующим началом всех математических произведений Клейна, определяя своеобразие его методики и мастерства. Группы, скрытые феноменом симметрии, появились вначале не в науке, а в искусстве, прежде всего в орнаментике, достигшей высокого совершенства в древнем Египте. Проблема правильных тел явилась существенным стимулом греческой геометрии. Кеплер воспользовался симметрией - этим древнейшим символом совершенства - для проникновения в скрытую гармонию небесных сфер. Законы симметрии господствуют в царстве кристаллов. Симметрия выражается в группе преобразований, переводящих заданную фигуру как целое в себя. В данном пространстве допустимы не все преобразования фигур - плоских орнаментов, правильных тел, кристаллов, а лишь подобные отображения, оставляющие неизменными все связи, присущие самому пространству. За этими дискретными следуют непрерывные группыё изоморфных преобразований пространства в себя, устанавливающие точный смысл понятия однородности пространства. Пространство и время как формы материального содержания мира именно однородностью противопоставляются явлениям; благодаря своей однородности они становятся принципами индивидуализации, допуская существование разных индивидов с одинаковыми свойствами. Проблему уточнения характера однородности пространственно-временного мира мы обозначаем сегодня термином теория относительности. В своей Эрлангенской программе Клейн установил ту группу изоморфных преобразований, которая в области формализованной математики может считаться подлинным принципом классификации различных геометрий.
Также и в алгебре господствует понятие группы. Проблему разрешимости уравнений n-й степени можно сформулировать так: пусть n чисел или точек комплексной числовой плоскости заданы вместе, без учета их порядка, требуется выделить из этого набора отдельную точку. Объектом релятивистской проблемы является здесь не непрерывная область, состоящая из бесконечного количества точек, а этот набор из n чисел: возможно ли отличить какое-нибудь одно из этих чисел от остальных, руководствуясь объективными алгебраическими признаками?
Разумеется, теперь, в противоположность ситуации, имеющей место в однородном пространстве, числовая область характеризуется тем, что каждый ее член является индивидуумом, отличающимся от всех остальных своими объективными
свойствами; именно на этом основывается употребление в континууме чисел в качестве координат, т.е. символов для различения. Но в алгебре имеют силу лишь свойства и отношения, зависящие от алгебраических операций + или х, а отношения больше, меньше - для величин из рассмотрения исключаются. При аксиоматическом основании имеется не одно царство чисел, а бесконечно много числовых образований, каждое из которых является самостоятельным миром; в таком случае мы нуждаемся в насильственном отказе от указанных отношений, поскольку числа этих абстрактных систем вовсе не связаны подобными отношениями. Показывается, однако, что в чистой алгебре имеются числа, которые утрачивают значительную часть своей индивидуальности, и теория Галуа есть не что иное, как теория относительности числовых полей, или, например, рассмотренных выше наборов из n чисел. В основаниях проективной геометрии исключительно красивой оказывается относительность, выявляющая единство алгебры и геометрии. Простейшая аксиома инцидентности без какого-бы то ни было требования непрерывности дает числовую систему в смысле абстрактной алгебры, относящуюся к проективному пространству. Относительность таких проективных пространств проявляется двояко: во-первых, в произвольности выбора системы проективных координат, состоящей из любых пяти точек, из которых никакие четыре не лежат в одной плоскости; во-вторых, в группе изоморфных преобразований числового поля в себя, которые приводят к своеобразному преобразованию пространства, оставляющему систему координат на месте. Если это поле является континуумом всех вещественных или комплексных чисел, то они совпадают, о чем и говорит так называемая основная теорема проективной геометрии.
Введением понятия автоморфной функции Клейн подчинил теорию функций диктату группы. Если область существования некоторой аналитической функции односвязна, то, как показал Риман, ее можно считать внутренностью круга. Дробно-линейное преобразование - единственное конформное, т.е. сохраняющее аналитичность, отображение, переводящее внутренность круга в себя. Поэтому автоморфной функцией можно считать функцию такую, которая инвариантна относительно группы линейных преобразований независимых переменных.
Под это понятие подпадают важнейшие функции: показательные, эллиптические, модулярные, - оно подчеркивает одну из существеннейших их особенностей. Каждая фигура со специальными свойствами симметрии порождает определенный класс автоморфных функций, если ее сделать той почвой, на которой произрастают автоморфные функции. А теорема униформизации Клейна раскрывает еще большую значимость понятия автоморфной функции. Корень этой значимости - в той роли, которую играет понятие группы в топологии - дисциплине, изучающей свойства непрерывного, сохраняющиеся при всех возможных деформациях.
Г. Вейль. Феликс Клейн и его место в современной математике - Понятие группы преобразований обнаруживает общую связь, которая охватывает все разновидности геометрии и одновременно выявляет своеобразие каждой из них, принципиально ставит вопрос: Что такое геометрия? - и отвечает на него
http://librarum.org/book/9339/388

О Душе Геометрии: Симметрия выражается в группе преобразований, переводящих заданную фигуру в себя как целое

куда же спряталась самая свободная геометрия?

РигВеда I,152. К Митре-Варуне

Тема - Митра и Варуна. Размер - триштубх. Этот гимн выделяется глубиной мысли и совершенством художественной
формы. Митра и Варуна прославляются как Адитьи, управляющие вселенским законом (rtа-), который противопоставляется беззаконию, хаосу (аnrta-) (стих 1).
Проявления вселенского закона представлены в виде загадок, истолкование которых может быть неоднозначным (стихи 2-6). Параллельно развивается тема сакральной речи - способа постижения вселенского закона, и подчеркивается, что ею владеют только посвященные. Гимн заканчивается молитвой с просьбой о ниспослании благ (стих 7).
1а-b...одежды из жира (vаstrаni pivasа). - Подразумевается дождь. Символическая интерпретация этой темы вновь возникает в конце гимна (7d). В строке b образ дождя приобретает новое развитие: мысли - непрерывные потоки.
lb...мысли - mаntavah
2а...из них...- т.е. богов.
2b...высказывание - mantrа
2с Грозный четырехгранник побивает трехгранник (?) - trirасrim hanti cаturaсrir ugro

1 Вы оба одеваетесь в одежды из жира.
Ваши непрерывные мысли - непрерывные потоки.
Вы подавили все беззакония.
О Митра-Варуна, вы следуете закону.

2 Не каждый из них поймет это.
Истинно произнесенное поэтами потрясающее высказывание:
Грозный четырехгранник побивает трехгранник.
Первыми состарились хулители богов
...
7 Я хотел бы, о Митра-Варуна, с помощью поклонения (и вашего) содействия
Повергнуть вас, о двоица богов, к наслаждению (моими) жертвенными возлияниями.
Наше священное слово да одержит верх в состязаниях!
Нам (пусть будет) небесный дождь, ведущий к успеху!

Проективная геометрия впервые вносит порядок в хаос геометрических построений, и в ней все размещается самым естественным образом - Я. Штейнер. Систематическое развитие зависимости геометрических образов друг от друга

Проективная геометрия - освященный веками предмет, восходящий к исследованиям перспективы живописцами Возрождения. Для наших глаз параллельные прямые - например, железнодорожные рельсы - представляются сходящимися на бесконечности. Если сменить точку наблюдения, расстояния и углы оказываются другими, но точки остаются точками и прямые остаются прямыми. Эти факты наводят на мысль о модификации евклидовой планиметрии, основанной на понятиях множества точек, множества прямых и отношении, посредством которого точка лежит на прямой, и удовлетворяющей следующим аксиомам:
Для любых двух разных точек имеется единственная прямая, на которой лежат они обе.
Для любых двух разных прямых имеется единственная точка, лежащая на них обоих.
Существуют четыре точки такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой.
Существуют четыре прямые, никакие три из которых не имеют точки, лежащей на всех трјх
этих прямых.
Структура, удовлетворяющая таким аксиомам, называется проективной плоскостью. Часть обаяния этого определения заключается в том, что оно самодуально: если мы поменяем друг на друга слова точка и прямая (и то же сделаем с отношением кто на ком лежит), определение останется тем же самым.
Октонионы. Баэз Джон С. (Калифорнийский Университет. John Baez, The Octonions. Bull. Amer. Math. Soc. 39, 2002, с.145-205)
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/286/ru/pdf/main-05.pdf c.120-176
http://www.ams.org/journals/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/home.html

Проективная геометрия
Геометрия Лобачевского не имеет столь простой и естественной интерпретации, как сферическая геометрия. Для геометрии Лобачевского известно несколько моделей. У каждой из них есть свои достоинства, но и у каждой есть недостатки, т.е. для разных целей бывают удобны разные модели. Все модели геометрии Лобачевского, которые мы будем рассматривать, достаточно тесно связаны с проективной геометрией. Поэтому сначала нужно познакомиться с основными понятиями проективной геометрии.
При проецировании прямой l1 на прямую l2 из некоторой точки О длины отрезков могут не сохранятся. Но если мы для четырех точек A1, B1, C1 и D1 прямой l1 рассмотрим величину
C1A1/C1B1 : D1A1/D1B1, то при проекциях эта величина сохраняется, т.е.
C1A1/C1B1 : D1A1/D1B1 = C2A2/C2B2 : D2A2/D2B2
рис. 1
Величину CA/CB : DA/DB удобно брать со знаком. Для этого нужно на прямой l ввести координаты и вместо, например СА брать с - а, где с и а - координаты С и А.
Величину (с- а)/(с - b) : (d - а)/(d - b) называют двойным отношением четырех точек. В дальнейшем мы будем обычно считать. что величина CA/CB : DA/DB берется со знаком.
Обозначим ее (ABCD).
Двойное отношение четырех точек зависит от порядка точек. При перестановках точек оно меняется по достаточно простым правилам. Очевидно, что (ABCD) =
(ВACD)-1 = (АВDС)-1. Легко проверить также, что
(ABCD) = 1 - (ACBD) (это эквивалентно равенству (с- а)(d - b) = (с - b)(d - а) + (b - а)(d - с)).
Назовем преобразование прямой проективным, если оно сохраняет двойное отношение любых четырех точек. Ясно, что любое преобразование прямой, которое можно представить в виде композиции нескольких проецирований, является проективным преобразованием.
Отображение вида x --> (ax + b)/(cx + d), где ad не равно bc, называют дробно-линейным.
Теорема. 2.1.
Преобразование прямой проективно тогда и только тогда, когда оно дробно-линейно.
В.В. Прасолов. Геометрия Лобачевского. (М., МЦНМО, 2004)
http://www.mccme.ru/free-books
Основные определения - П. С. Александров
Основные определения - П. С. Александров
П.С. Александров. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968
http://px-pict.com/10/3/3/1.html
Квазикристаллы и метрика РигВеды
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_743.htm
Как видно, кроме того, что было ясно выраженной целью работ [Бог1] и [БогМит2], в них можно найти еще некоторое предвосхищение двух идей, которые позднее, выступив в отчетливом и явном виде, сыграли заметную роль в развитии теории динамических систем - идеи о семействах устойчивых и неустойчивых многообразий, связанных с гиперболичностью, и идеи центрального многообразия. Если влияние [Бог1 -  Боголюбов. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: Иэи-во АН СССР, 1945.] и [БогМит2 - Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике // Тр. Между нар. симп. по нелинейным колебаниям. Т.1. Киев: Изд-во АН УССР. 1963. c.93-154.] на дальнейшее развитие того направления, к которому они относятся, было очевидным, то по поводу этих двух идей читатель вправе спросить, в какой степени содержащиеся в [Бог1], [БогМит2] предвосхищения способствовали формированию новых концепций? Ведь у гиперболической теории основными были другие истоки и ее первый провозвестник С. Смейл вначале едва ли много знал о работах Н.Н. Боголюбова, а центральное многообразие, как показывает название первой посвященной ему статьи В. А. Плисса [Пли], "вызревало" в недрах теории устойчивости...
В 1961г. на том же симпозиуме в Киеве С. Смейл сформулировал гипотезу о грубости гиперболических автоморфизмов тора и геодезических потоков на замкнутых многообразиях отрицательной кривизны. К весне следующего года мне удалось ее доказать, и это сыграло заметную роль в формировании гиперболической теории
[Пли] Плисc В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28. ?6. c.1297-1324
[См] Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // УМН. 1970. Т. 25. ?1. c.113-185
[КБ1] Крилов М. М., Боголюбов М. М. Загальна Teopii мiри та ii застосувания до Вiвчения динамитах систем нелiнiй механiнi // Збiрник прапь з нелнiйнiм механiки. Записки кафедри математичнii фiзики Гнституту бушвельшн механiки АН УРСР. Т. 3. 1937. c.55-112
[KB] Kryloff N., Bogoliuboff N. La theorie generale de la mesure dans son application a 1'etude des systemes dynamiques de la mecanique non lineaire // Ann. Math. 1937. V. 38. ?65-113
[КБ2] Крылов H.M., Боголюбов Н.Н. Обшая теория меры в нелинейной механике // Боголюбов Н.Н. Избранные труды. Т. I. Киев: Наукова думка. 1969. c.411-463
Д.В. Аносов. О вкладе Н.Н. Боголюбова в теорию динамических систем. УМН, 1994, т. 49, вып. 5, с.5-20
http://www.mathnet.ru/links/ba56d34bb7418ea56372cc8260f0ee70/rm1233.pdf
Дмитрий Викторович Аносов
http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?personid=8772&option_lang=
Интервью Дмитрия Викторовича Аносова
Д. Насколько я знаю, Вы были участником Международного Математического конгресса в Стокгольме в 1962 году. Это был Ваш первый выезд за границу? И каково было Ваше впечатление от участия в таком престижном математическом форуме?
А. Я не был участником Стокгольмского конгресса. Спасибо участвовавшим в нём В.И. Арнольду и Я.Г. Синаю, которые довели информацию о моей работе (грубость геодезических потоков на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны) до сведения наших загранколлег, включая таких корифеев, как Ю. Мозер и С.Смейл. Благодаря этому я стал как бы заочным участником конгресса.
...
Д. Следующий Международный Математический конгресс состоялся в 1966 году уже в Москве...
А. Насчёт подготовки и проведения конгресса я ничего не могу добавить к тому, что более или менее общеизвестно. Для меня, конечно, очень важным оказался контакт со Смейлом, который, повидимому, впервые в развёрнутом виде изложил общую
концепцию равномерной гиперболичности
Мехматяне вспоминают, Москва, МГУ, 2008
http://www.math.ru/lib/files/pdf/mehmat/mm2.pdf
С.Смейл, Успехи матем. наук 25, 113 (1970)
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=5295&option_lang=rus
Юрий Михайлович Смирнов
(1921-2007)
http://higeom.math.msu.su/people/smirnov/
Гиперболические группы по Громову
http://ium.mccme.ru/f12/verbitskii-f12.html

Я умер
И засмеялся.
Просто большое стало малым, малое большим.
Просто во всех членах уравнения бытия знак - да - заменился знаком - нет -.
Л.С. Понтрягин. Из глубины разума
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_505.htm
Самое свободное число
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_111.htm

  


СТАТИСТИКА