Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Явление притяжения (странные атракторы)
от 24.08.06
  
Мысли


В действительности это отражает только нечувствительность к начальным условиям и обеднение информации, так как многие начальные состояния вне аттрактора, эволюционируя, оседают на аттракторе. Но когда речь идет о забывании начальных условий в хаотическом режиме, мы понимаем под этим нечто другое: множество незначительно различающихся начальных состояний на аттракторе порождает непредсказуемым образом многие конечные состояния. Таким образом, информация в этом случае не теряется, а в определенном смысле приобретается. В отличие от временной потери информации из-за притяжения к аттрактору на самом аттракторе происходит непрестанный процесс производства информации

Глава VI. Странные аттракторы
VI.1. Диссипация и аттракторы
VI.1.1. Явление притяжения

Диссипативные динамические системы (а мы рассматриваем только такие системы) характеризуются притяжением всех траекторий, проходящих через некоторую область фазового пространства, к геометрическому обьекту, называемому аттрактором. Проиллюстрируем это на простом примере: маятник под действием вынужденной силы. Энергия, подводимая к маятнику извне, компенсирует затраты энергии и, таким образом, диссипируется системой. Когда колебания маятника достигают амплитуды, при которой энергия, подводимая за один цикл, в точности равна энергии, диссипируемой за один цикл, устанавливается стационарное состояние. Режим периодический: амплитуда колебаний постоянна, а траектория в фазовом пространстве есть предельный цикл С.

В притягивающем характере цикла мы убедимся, слегка сместив систему с предельного цикла. Например, возмутим маятник толчком, придав ему амплитуду Q1 и скорость Q1' для предельного цикла. По прошествии некоторого времени диссипация вынудит траекторию быстро  приблизиться к предельному циклу С, на котором диссипация компенсируется подводимой энергией. Аналогично временное торможение маятника, находящегося под действием вынуждающей силы. Уменьшит амплитуду его колебаний и скорость до Q2 и скорость Q2', но затем траетория снова приближается к С (последнее утверждение нуждается в уточнении: наматывается на С любая траетория, исходящая из окрестности предельного цикла С, образующей его область притяжения)

Сказанное о предельном цикле можно обобщить следующим образом. В фазовом пространстве решения системы n обыкновенных дифференциальных уравнений
d/dt X(t) = F(X(t)),   X Rn,
образуют поток ф, который для диссипативной системы имеет аттрактор. По определению аттрактором А называется компактное множество в фазовом пространстве, обладающее следующими свойствами:
1) А инвариантен относительно действия потока, т.е. фА = А;
2) А имеет нулевой обьем в n-мерном фазовом пространстве (см. следующий разд.);
3) А содержится в области В ненулевого обьема, которая является областью притяжения аттрактора. По определению областью притяжения называется множество точек, таких, что выходящие из них траектории при t к бесконечности стремятся к А.
Мы видим, что аттрактор А есть асимптотический предел решений, начальные точки которых принадлежат его области притяжения В. Заметим, что даже если А - простой геометрический обьект, то В может иметь очень сложную форму.
VI.1.2. Два следствия из сокращения площадей
Обратимся снова к примеру с предельным циклом, чтобы исследовать две очень важные характеристики притяжения: потерю памяти о начальных условиях и то, что из этого проистекает для размерности аттракторов.
Рассмотрим множество начальных условий на фазовой плоскости (Q, Q'), занимающее область размером Г.

Вследствие диссипации поток приводит к сокращению площадей. Следовательно, поверхность Г под действием потока вырождается до линейного отрезка на аттракторе С. Стало быть, происходит потеря информации относительно взаимного расположения точек, первоначально принадлежавших поверхности Г; по достижении аттрактора информация утрачивается необратимо. Этот вывод опирается исключительно на сокращение площадей и на одновременное существование аттрактора. Следовательно, вывод остается в силе независимо от типа аттрактора. Именно поэтому информация о начальных условиях теряется и в двоякопериодическом режиме, траектории которого эволюционируют в фазовом пространстве размерности не меньше трех и стремятся к тору Т2. Потерю памяти о точных начальных условиях мы продемонстрируем на примере с маятником. Сначала (т.е. вдали от предельного цикла) для задания состояния динамической системы необходимы координаты Q и Q', а поэтому для описания системы требуется двумерное фазовое пространство, или поверхность. После затухания промежуточных режимов и выхода на асимптотический режим остается только одна траетория - кратная С. Для задания точки достаточно одной криволинейной координаты вдоль С. Это иллюстрирует общий принцип: размерность d аттрактора меньше размерности n фазового пространства, т.е. меньше числа степеней свободы динамической системы.
d < n.
В дальнейшем мы увидим, что разность между d и n  не обязательно равна единице и даже целому числу.
П. Берже, И. Помо, К. Видаль. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности М., Мир, 1991. Перевод Ю.А. Данилова
В.Н. Белых. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем
http://sins.xaoc.ru/pdf/articles/articles_r028.pdf
Велимiр Хлъбников. Есть закон неизменности чисел
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_231.htm
Странный атрактор
http://www.ispras.ru/~3D/koi/problems/attractor/attractor.htm

  


СТАТИСТИКА