Узлы, косы, деревья
от 23.10.06
|
|
Мысли |
|
Красивые и наглядные понятия узла и косы сейчас в
центре внимания современной математики и физики (любой
физический узел - это замкнутая математическая коса).
Бифуркационная
диаграмма - это самый любопытный математический объект,
к которому сегодня приковано внимание математиков,
естествоиспытателей, философов и даже богословов,
интересующихся последними достижениями точных и опытных
наук
Если мы знаем что-либо о Вселенной, о ее прошлом
существовании и о законах ее развития,..это значит,
что между этой Вселенной и нашим мозгом, нашей нервной
системой и нашим организмом вообще существует сходство
структуры (П. Кропоткин)
6.4. Примеры Фундаментальная группа узла -
трилистник - имеет представление {x,y | xyx = yxy}.
Покажем, что эта группа представима в виде нетривиального
свободного произведения с обьединением.
{x,y | xyx = yxy} -> {x,y,a,b | xyx = yxy, a = xy,
b = xyx} -> {x,y,a,b | xyx = yxy, a3 =
b2, a = xy, b = xyx, x = a-1b,
y = b-1a2} -> {x,y,a,b | a3
= b2, x = a-1b, y = b-1a2}
-> {a,b | a3 = b2}
О.В. Богопольский. Введение в теорию групп. (Москва-Ижевск.
ИКИ. 2002)
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_298.htm
А.Б. Сосинский. Узлы и косы. (М., МЦНМО, 2001)
http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php#book-10
Тема номера: теория узлов в конце XX века
http://www.mccme.ru/free-books/matpros4.html
В.В. Прасолов, А.Б. Сосинский. Узлы, зацепления,
косы и трёхмерные многообразия
http://www.mccme.ru/prasolov/
Пусть n - целое число и n > 2. Мы определим группу
кос с n нитями как группу Bn, порожденную
n-1 образующими b1,...,bn-1
и соотношениями
bibj = bjbi
при |i - j| > 1,
bibi+1bi = bi+1bibi+1
при 1 =< i,j =< n-1
Это соотношение называют уравнением Артина или уравнением
кос, а в последнее время употребляется еще и термин
уравнение Янга-Бакстера. Янг - физик китайского происхождения,
лауреат Нобелевской премии, вывел это уравнение, исследуя
теорию элементарных частиц на прямой. Его уравнение
описывает взаимодействия трех частиц, которые меняются
местами. Бакстер - австралийский математик, специалист
по статистической физике - он рассматривал модели
сплошной среды, изучал процесс превращения воды в
лед, и в своей работе он вывел уравнение, которое
формально выглядит точно также. Никакой связи между
Янгом и Бакстером не было, они занимались совершенно
разными задачами, но это уравнение было получено ими
примерно в одно и то же время, и его стали называть
уравнением Янга-Бакстера. Потом выяснилось, что это
уравнение совпадает с уравнением кос, и вообще теория
кос тесно связана с физикой - квантовой, статистической...
Существует естественное отображение группы Bn
на симметрическую группу Sn, то есть группу
всех перестановок множества {1,…,n}.
Чтобы перейти от копредставления группы Bn
к копредставлению группы Sn , достаточно
лишь добавить новые соотношения
b2i = 1 (i = 1,…,n-1).
Существенное отличие симметрических групп от групп
кос состоит в том, что симметрические группы конечны,
а группы кос бесконечны. Более того, группа Bn
не имеет кручения, то есть все неединичные элементы
имеют бесконечный порядок
К. Кассел, М. Россо, В. Тураев. Квантовые группы
и инварианты узлов (Москва, ИКИ, 2002)
http://www.rsd.ru
Рисунок на деревянной фишке из Любшанской крепости
откопанной в устье Волхова близ поселка Старая Ладога
экспедицией Е. Рябинина в 1997 году
Древо жизни. Псковская губ.
 Я вижу призрак Световита
Меж облаков,
Кругом него - святая свита
Родных Богов...
Константин Бальмонт
Из дальних Сварога садов
Плывет пресветлый Бог богов!
Николай Клюев
Даждьбогъ на струзъ своемъ бiяшетъ въ Сварзъ премоудръ,
йякова есте сiня, а струго тый сiяшетъ, а сряще то,
яко злат ОгнеБогом роспаленесть...ТоГо доуханiе жiвотъ
есте вскiя тваре а прiбъжiщiе. ...Вск муж Благ о ТъГъ
вiдъте можаше то, а нiже зъло, кii Богомо не доба.
Тыi пребуде, яко слъпо, да не iмеше съ нымi щасте,
якожо всяко до злы iдущо со оны до кънце пребудетъ
Дощечка 38б
|
|
|