Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Узлы, косы, деревья
от 23.10.06
  
Мысли


Красивые и наглядные понятия узла и косы сейчас в центре внимания современной математики и физики (любой физический узел - это замкнутая математическая коса). Бифуркационная диаграмма - это самый любопытный математический объект, к которому сегодня приковано внимание математиков, естествоиспытателей, философов и даже богословов, интересующихся последними достижениями точных и опытных наук Если мы знаем что-либо о Вселенной, о ее прошлом существовании и о законах ее развития,..это значит, что между этой Вселенной и нашим мозгом, нашей нервной системой и нашим организмом вообще существует сходство структуры (П. Кропоткин)

Начельник. Владимиро-Суздальский музей-заповедник
Колты
6.4. Примеры Фундаментальная группа узла - трилистник - имеет представление {x,y | xyx = yxy}. Покажем, что эта группа представима в виде нетривиального свободного произведения с обьединением.
{x,y | xyx = yxy} -> {x,y,a,b | xyx = yxy, a = xy, b = xyx} -> {x,y,a,b | xyx = yxy, a3 = b2, a = xy, b = xyx, x = a-1b, y = b-1a2} -> {x,y,a,b | a3 = b2, x = a-1b, y = b-1a2} -> {a,b | a3 = b2}
О.В. Богопольский. Введение в теорию групп. (Москва-Ижевск. ИКИ. 2002)
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_298.htm
А.Б. Сосинский. Узлы и косы. (М., МЦНМО, 2001)
http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php#book-10
Тема номера: теория узлов в конце XX века
http://www.mccme.ru/free-books/matpros4.html
В.В. Прасолов, А.Б. Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия
http://www.mccme.ru/prasolov/
Пусть n - целое число и n > 2. Мы определим группу кос с n нитями как группу Bn, порожденную n-1 образующими  b1,...,bn-1 и соотношениями
bibj = bjbi при |i - j| > 1,
bibi+1bi =  bi+1bibi+1 при 1 =< i,j =< n-1
Это соотношение называют уравнением Артина или уравнением кос, а в последнее время употребляется еще и термин уравнение Янга-Бакстера. Янг - физик китайского происхождения, лауреат Нобелевской премии, вывел это уравнение, исследуя теорию элементарных частиц на прямой. Его уравнение описывает взаимодействия трех частиц, которые меняются местами. Бакстер - австралийский математик, специалист по статистической физике - он рассматривал модели сплошной среды, изучал процесс превращения воды в лед, и в своей работе он вывел уравнение, которое формально выглядит точно также. Никакой связи между Янгом и Бакстером не было, они занимались совершенно разными задачами, но это уравнение было получено ими примерно в одно и то же время, и его стали называть уравнением Янга-Бакстера. Потом выяснилось, что это уравнение совпадает с уравнением кос, и вообще теория кос тесно связана с физикой - квантовой, статистической...
Существует естественное отображение группы Bn на симметрическую группу Sn, то есть группу всех перестановок множества {1,…,n}.
Чтобы  перейти от копредставления группы Bn к копредставлению группы Sn , достаточно лишь добавить новые соотношения  
b2i = 1 (i = 1,…,n-1).
Существенное отличие симметрических групп от групп кос состоит в том, что симметрические группы конечны, а группы кос бесконечны. Более того, группа Bn не имеет кручения, то есть все неединичные элементы имеют бесконечный порядок
К. Кассел, М. Россо, В. Тураев. Квантовые группы и инварианты узлов (Москва, ИКИ, 2002)
http://www.rsd.ru
Физикам из Университета Чикаго впервые удалось создать в лаборатории трехлепестковый узел из вихря воды и наблюдать за его эволюцией и распадом (Работа опубликована в журнале Nature Physics март 2013)
трехлепестковый узел
Гидродинамическое кольцо (образуется подобно колечку дыма при курении) и узел
Для создания водного узла ученым понадобился пропеллер особой формы, который им удалось создать при помощи 3D-принтера. Наблюдать за движением воды, вызванным этим пропеллером, физикам помогли мелкие пузырьки воздуха. Во время эксперимента они следовали за движениями воды. Положение подсвеченных лазером пузырьков 76 тысяч раз в секунду отслеживалось прибором, напоминающим компьютерный томограф.
В результате, ученым удалось рассмотреть, как образуются, движутся и распадаются узлы, образованные движением жидкости. Ранее возможность существования подобных узлов уже была доказана теоретически, однако до сих пор никому не удавалось их получить в лабораторных условиях.

Изучение узлов имеет важное значение не только для гидродинамики, но и, например, для изучения Солнца. Недавно ученые установили, что на Солнце перенос энергии от поверхности к короне может быть опосредован особыми торнадо, сплетающимися в косы.
http://physics.com.ua/news.php?id=2043
Вологодское кружево
Илья Муромец с Добрыней на Соколе-корабле
Рисунок на деревянной фишке из Любшанской крепости откопанной в устье Волхова близ поселка Старая Ладога экспедицией Е. Рябинина в 1997 году
Вышивка - Древо Жизни. Псковская губ.
Древо жизни. Псковская губ.
Птицы, Кони, Ладьи

Я вижу призрак Световита
Меж облаков,
Кругом него - святая свита
Родных Богов...

Константин Бальмонт
Из дальних Сварога садов
Плывет пресветлый Бог богов!

Николай Клюев


Даждьбогъ на струзъ своемъ бiяшетъ въ Сварзъ премоудръ, йякова есте сiня, а струго тый сiяшетъ, а сряще то, яко злат ОгнеБогом роспаленесть...ТоГо доуханiе жiвотъ есте вскiя тваре а прiбъжiщiе. ...Вск муж Благ о ТъГъ вiдъте можаше то, а нiже зъло, кii Богомо не доба. Тыi пребуде, яко слъпо, да не iмеше съ нымi щасте, якожо всяко до злы iдущо со оны до кънце пребудетъ
Дощечка 38б

  


СТАТИСТИКА