Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Апология математика
от 24.10.06
  
Мысли


Самое важное заключается в том, что математик контактирует с действительностью гораздо ближе, чем физик


Общее предуведомление
Людей можно разделить лишь на три категории:
к первой относятся те, что обрели Бога и служат Ему;
ко второй - те, что, не обретя, ищут Его;
к третьей - те, что существуют, не обретя и не утруждая себя поисками.
Первые разумны и счастливы,
третьи безумны и несчастны,
те, что посередине - несчастны и разумны

Различие между познанием математическим (буквально - геометрическом уме - l'esprit de geometrie) и непосредственным
Начала математического познания вполне отчетливы, но в обыденной жизни неупотребительны, поэтому с непривычки в них трудно вникнуть, зато всякому, кто вникает, они совершенно ясны, и только совсем уж дурной ум не способен построить правильного рассуждения на основе столь самоочевидных начал.
Начала непосредственного познания, напротив, распространены и общеупотребительны. Тут нет нужды во что-то вникать, делать над собой усилие, тут потребно всего лишь хорошее зрение, но не просто хорошее, а безупречное, ибо этих начал так много и они так разветвлены, что охватить их сразу почти невозможно. Меж тем пропустишь одно - и ошибка неизбежна: вот почему нужна большая зоркость, чтобы увидеть все до единого, и ясный ум, чтобы, основываясь на столь известных началах, сделать потом правильные выводы.
Итак, обладай все математики зоркостью, они были бы способны и к непосредственному познанию, ибо умеют делать правильные выводы из хорошо известных начал, а способные к непосредственному познанию были бы способны и к математическому, дай они себе труд пристально вглядеться в непривычные для них математические начала.
Но такое сочетание встречается нечасто, потому что человек, способный к непосредственному познанию, даже и не пытается вникнуть в математические начала, а способный к математическому большей частью слеп к тому, что у него перед глазами; к тому же, привыкнув делать заключения на основе хорошо им изученных точных и ясных математических начал, он теряется, столкнувшись с началами совсем иного порядка, на которых зиждется непосредственное познание. Они еле различимы, их скорее чувствуют, нежели видят, а кто не чувствует, того и учить вряд ли стоит: они так тонки и многообразны, что лишь человек, чьи чувства утонченны и безошибочны, в состоянии уловить и сделать правильные, неоспоримые выводы из подсказанного чувствами; притом зачастую он не может доказать верность своих выводов пункт за пунктом, как принято в математике, ибо начала непосредственного познания почти никогда не выстраиваются в ряд, как начала познания математического, и подобного рода доказательство было бы бесконечно сложно. Познаваемый предмет нужно охватить сразу и целиком, а не изучать его постепенно, путем умозаключений - на первых порах, во всяком случае. Таким образом, математики редко бывают способны к непосредственному познанию, а познающие непосредственно - к математическому, поскольку математики пытаются применить математические мерки к тому, что доступно лишь непосредственному познанию, и приходят к абсурду, ибо желают во что бы то ни стало сперва дать определения, а уж потом перейти к основным началам, меж тем для данного предмета метода умозаключений непригодна. Это не значит, что разум вообще от них отказывается, но он их делает незаметно, непринужденно, без всяких ухищрений; внятно рассказать, как именно происходит эта работа разума, никому не под силу, да и ощутить, что она вообще происходит, доступно очень немногим.
С другой стороны, когда перед человеком, познающим предмет непосредственно и привыкшим охватывать его единым взглядом, встает проблема, ему совершенно непонятная и требующая для решения предварительного знакомства со множеством определений и непривычно сухих начал, он не только устрашается, но и отвращается от нее.
Что касается дурного ума, ему равно недоступно познание и математическое, и непосредственное.
Стало быть, ум сугубо математический будет правильно работать, только если ему заранее известны все определения и начала, в противном случае он сбивается с толку и становится невыносим, ибо правильно работает лишь на основе совершенно ясных ему начал.
А ум, познающий непосредственно, не способен терпеливо доискиваться первоначал, лежащих в основе чисто спекулятивных, отвлеченных понятий, с которыми он не сталкивался в обыденной жизни и ему непривычных.
Блез Паскаль. Апология христианской религии (The Apology of Christian Religion. 1657-58 - главный труд жизни. После смерти, в руках его друзей, задумавших издать Апологию, оказалось двадцать семь папок с записями (около 400), а также еще около шестисот отдельных фрагментов, которые необходимо было систематизировать. Никаких указаний относительно плана книги в его бумагах не нашлось. Выяснилось, что примерно пятая часть всех сохранившихся записей Паскаля прямого отношения к замыслу Апологии не имеет, и это создавало (и до сих пор создает) определенные сложности в классификации текстов. И прежде всего потому, что для самого Паскаля проблема эта была принципиально важной: Пусть не корят меня за то, что я не сказал ничего нового. Ново уже само расположение материала!).
Блез Паскаль. Мысли. Составление, послесловие и комментарии И. Бабанова, перевод Э. Линецкой (за основу конструкции текста Мыслей взято французское издание Pascal. Oeuvres completes. Paris, 1954...Паскаль не был теологом; не был он и философом...Основы своей Апологии он строил самостоятельно - и обращался к неискушенному читателю, к его сердцу и разуму; он апеллировал не к теологическим познаниям или философским представлениям человека, но к его здравому смыслу. И на этом пути Паскаль все чаще прибегал не к проповеди, а к исповеди - но исповедь и требует непосредственного живого отклика). СПб.: Северо-Запад,1995
http://www.gumer.info/bogoslov_Buks/Philos/pask/intro.php
Блез Паскаль (19.6.1623, Клермон-Ферран, - 19.8.1662, Париж)
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_125.htm
Блез Паскаль. Мысли
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_392.htm
Блез Паскаль (1623-1662), один из основателей проективной геометрии:
в 12-летнем возрасте самостоятельно доказал 32-ю теорему Евклида (300 г. до н.э.) о сумме углов треугольника;
в 16 лет сформулировал и доказал т.н. теорему Паскаля - если вершины шестиугольника лежат на некотором коническом сечении, то три точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны, лежат на одной прямой (обобщение теорем Паппа (320г. н.э.) и Аполлония Пергского (III век до н.э.);
в 17 лет - первое печатное произведение - Опыт о конических сечениях (см. Аполлоний Пергский (262 до н.э.-190 до н.э.) - древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н.э. Аполлоний прославился в первую очередь монографией Конические сечения (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто сечениями конуса. Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата).
в 19 лет - создатель первой счетной десятичной машины. Первые варианты имели пять зубчатых колёс, позднее их число увеличилось до шести или даже восьми, что позволяло работать с большими числами, вплоть до 9999999.
В 1654 опубликовал одну из самых популярных своих работ  - Трактат об арифметическом треугольнике. Теперь его называют треугольником Паскаля, хотя оказалось, что он был известен еще в Древней Индии (также встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга Яшмовое зеркало четырёх элементов - китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя).  Джемшид Гиясэддин Каш, самаркандский матем. 15 века - Знай, что элемент показателя степени квадрата есть одно число - два, для куба это два числа - три и три, для каждого показателя степени количество их увеличивается на единицу в силу прибавления рядом и соответственно увеличиваются числа на концах. Если мы сложим любые два соседних элемента показателя степени. мы получим среднее число следующего показателя. На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. Михаил Штифель, нем. матем. 1544 - Целостная математика, биноминальные коэф-ты до 17 степени. Бригг,  анг. матем. 1624, Ферма, фр. матем. 1636). Строки в треугольнике Паскаля в пределе стремятся к функции нормального распределения.
В 1654 в письме Парижской академии он сообщает, что готовит фундаментальный труд под названием Математика случая
***

Математик, подобно художнику или поэту, создаёт образы. Если его образы долговечнее их образов, то потому, что они состоят из идей. Художник создаёт свои образы из форм и цветов, поэт - из слов.
...Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически.
Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике.
...Не вдаваясь в детали, можно сказать, что математическая идея - значительна, если её можно естественно и просто связать с широким комплексом других математических идей. Таким образом, серьёзная математическая теорема, теорема, которая связывает значительные идеи, весьма вероятно приводит к существенным продвижениям в самой математике и даже в других науках.
...Два качества играют существенную роль: общность и глубина идеи, но ни одно из них не поддаётся определению легко и просто.
Значительная математическая идея, серьёзная математическая теорема должна обладать общностью в каком-то следующем смысле. Идея должна быть составляющей частью многих математических конструкций, используемых в доказательствах многих теорем различного рода. Теорема должна быть такой, что даже если первоначально она сформулирована в весьма частном виде (как теорема Пифагора), она должна допускать существенное обобщение и быть типичной для целого класса теорем аналогичного рода. Отношения, выявляемые в ходе её доказательства, должны связывать многие различные математические идеи. Всё это очень смутно и требует многочисленных уточнений.
...Второе свойство, которое я потребовал от значительной идеи, - её глубина. Определить его ещё труднее. Оно каким-то образом связано с трудностью; более глубокие идеи обычно труднее постичь, но вместе с тем это не одно и то же.
...Я часто использую прилагательное - настоящий - так, как оно употребляется нами в обычном разговоре. Я уже говорил о настоящей математике и настоящих математиках. С тем же успехом я мог бы говорить о настоящей поэзии или настоящих поэтах, и я буду продолжать действовать в том же духе. Но я буду также использовать слово - реальность - в двух следующих различных значениях.
Прежде всего я буду говорить о физической реальности, и при этом я буду снова использовать слово реальность в обычном смысле. Под физической реальностью я понимаю материальный мир дня и ночи, землетрясений и затмений, мир, который пытается описать физическая наука.
До сих пор у меня не возникало опасений относительно того, что у кого-нибудь из моих читателей могут возникнуть трудности с моим употреблением слов, но теперь я вступаю на более зыбкую почву. Для меня и, думаю, для большинства математиков существует другая реальность, которую я буду называть математической реальностью, и среди математиков или философов нет единого мнения относительно природы математической реальности. Одни полагают, что она существует в умах и, что мы, в некотором смысле, конструируем её. Другие считают, что она лежит вне нас и не зависит от нас. Человек, который мог бы дать убедительное описание математической реальности, разрешил бы очень многие из труднейших проблем метафизики. Если бы такой человек мог включить в своё описание и физическую реальность, то он разрешил бы все проблемы метафизики.
Мне не следовало бы обсуждать любой из этих вопросов, даже если бы я был достаточно компетентен для этого, но я изложу свою позицию догматически, чтобы избежать малейшего недопонимания. Я убеждён в том, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция состоит в том, чтобы открывать или обозревать её, и что теоремы, которые мы доказываем и великоречиво описываем как наши творения, по существу представляют собой наши заметки о наблюдениях математической реальности. Эту точку зрения в той или иной форме разделяли многие философы самого высокого ранга, начиная с Платона, и я буду пользоваться языком, естественным для человека, разделяющего эту точку зрения. Читатель, не любящий философию, может изменить язык - это мало что изменит в моих заключениях.
Годфри Харди (1877-1947). Апология математика (A Mathematicians Apology. 1940. Перевод с анг. Ю.А. Данилова. РХД, 2000)
http://lib.rus.ec/b/364256/read
Еще древние называли математику матерью наук. Платон приказал на воротах своей академии сделать надпись: никто, не знающий геометрии, сюда да не входить.
...Не трудно заметить, что безконечное разнообразие явлений нравственного и материального мира обусловливается различием их по величине, форме, напряженности. Величина, количество суть основные понятия нашего разсудка. Будучи наиболее простыми и вместе с теми наиболее общими, они присущи всем представлениям, всем комбинациям нашего ума. Количество, говорит Кеплер, древнее небес; числа, говорит Пифагор, суть начала вещей.
...Основное свойство величины есть ея способность изменяться. Она прежде всего подлежит нашему изучению. Математика есть наука о свойствах, законах и взаимных соотношениях величин, разсматриваемых со стороны этой основной их способности.
Математика занимается таким образом идеями, представляющимися отвлеченно от всякой материальной сущности.
...Итак математические науки суть науки умозрительные. С помощию умозрения в них приобретаются истины наиболее простые и наиболее общие.
Этого достаточно для того, чтобы понять, почему математика в своем развитии далеко опередила все другие науки, и почему истины наук становятся в некоторое зависимое отношение, некоторым образом условливаются математическими истинами.
Это исключительное, особое положение математики достойно полного внимания. Оно заставляет многих считать математику коренным основанием естественной философии. Оно уясняет нам, почему вопрос об отношении математики к другим наукам считался основным вопросом всякой глубокой философской мысли, почему ея состояние служило самою лучшею меркой высоты культурного развития народа, почему ея педагогическое и воспитательное влияние всегда так высоко и так безусловно ценилось
Николай Васильевич Бугаев. Математика как орудие научное и педагогическое. Матем. сб., 3:4 (1868), с.183–216
http://www.mathnet.ru/links/5c871add03ec5931414218f9d938afb6/sm8072.pdf

Iа ЧенслоБг уцте дне нашiя а рещеть Бъговi ченсла сва А быте дне Сврзенiу нiже боте ноще а оусноуте Тоi бо се есе Явскi а Сыi есте во дне Бжьстiем А в носще нiкii есь iножде Бг ДiдДубСноп наш
А ЧислоБог считает дни наши и речет Богу числа свои - да быть дню Сварженьскому или же быть ночи, и уснуть. Этот (день Сварженьский) ведь есть явский (т.е. живой), и сей есть во дне божеском. А в ночи нет никого, лишь бог Дед-Дуб-Сноп наш
Аритмология Московского математического общества
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_299.htm

  


СТАТИСТИКА