Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Роль инволюций
от 27.10.06
  
Мысли


Я умер и засмеялся. Просто большое стало малым, малое большим. Просто во всех членах уравнения бытия знак - да - заменился знаком - нет-. Таинственная нить уводила меня в мир бытия, и я узнавал вселенную внутри моего кровяного шарика. Я узнавал главное ядро своей мысли как величественное небо, в котором я нахожусь В. Хлъбников. Я умер и засмеялся (1922)

Если в группе G есть элементы четного порядка, то в G существуют, очевидно и элементы второго порядка. Всякий элемент порядка 2 называется инволюцией. Особую роль инволюций в периодических группах подметил еще Отто Юльевич Шмидт, который доказал, что всякая артинова (т.е. в которой выполняется условие минимальности для подгрупп, т.е. группа, в которой всякая убывающая цепь ее подгрупп обрывается через конечное число шагов) 2-группа локально конечна. Специфика инволюций состоит в том, что две инволюции всегда порождают небольшую группу.
Лемма 7.4. Пусть группа G порождается двумя различными инволюциями i,j. Тогда:
1) если элемент a = ij имеет порядок n, то G изоморфна группе диэдра D(n);
(если порядок элемента а бесконечен, то G изоморфна группе диэдра D(Бес.))
2) если n четно, то k = а^(n/2) (k = a…a  - где вхождение слова а - n/2 раз) - инволюция, перестановочная с i  и c j;
3) если n нечетно, то все инволюции из G сопряжены в G с помощью различных степеней элемента а.
В данной формулировке под D(2) понимается прямое произведение двух групп порядка 2 - (2х2).
Группа диэдра D(n) порождается двумя инволюциями I и J, где I и J - зеркальные симметрии относительно ОХ и относительно оси с аргументом pi/n, поскольку IJ - поворот на угол 2pi/n вокруг центра по часовой стрелке.
А.Ю. Ольшанский. Геометрия определяющих соотношений в группах (М., Наука, 1989)
6.5. Упражнение
1) Конечная диэдральная группа D(n) имеет копредставление
{a,с | a2 = 1, с2 = 1, (ас)n = 1}
2) Бесконечная диэдральная группа D(Бес) имеет копредставление
{a,с | a2 = 1, с2 = 1}
5.6. Упражнение
1) Конечная диэдральная группа D(n) имеет копредставление
{a,b | a2 = 1, bn = 1, а-1bа = b-1}
2) Бесконечная диэдральная группа D(Бес) имеет копредставление
{a,b | a2 = 1, а-1bа = b-1}
Историческая справка
В 1954 году Ричард Брауэр предложил исследовать группы по централизаторам инволюций. Одной из важных теорем в этом направлении является теорема Брауэра-Фаулера о том, что существует только конечное число конечных простых групп с данным централизатором инволюции.
В 1962 году Джон Томпсон и Уолтер Фейт доказали свою знаменитую теорему, согласно которой любая группа нечетного порядка разрешима (любая конечная неразрешимая группа содержит инволюцию)
О.В. Богопольский. Введение в теорию групп. (Москва-Ижевск. ИКИ. 2002)
Одну из самых важных вех по дороге к границе установил в 40-х и 50-х годах Р. Брауэр своими новаторскими работами, посвящёнными централизаторам инволюций. Поясним, что это такое. В группе, где не все элементы перестановочны между собой, иногда полезно рассмотреть множество всех элементов группы, перестановочных с некоторым заданным элементом a, т.е. множество всех элементов g, для которых a*g совпадает с g*a. Это множество называется централизатором элемента a. Легко проверить, что централизаторы сами являются группами относительно операции в исходной группе, и, значит, они образуют подгруппы данной группы. Тривиальным примером служит централизатор нейтрального элемента e; он всегда совпадает со всей исходной группой, так как одно из условий, определяющих группу, в том и состоит, что каждый элемент группы перестановочен с нейтральным элементом. Более содержательный пример - централизатор элемента (123) в группе вращений тетраэдра: в него входят нейтральный элемент, сам (123) и (132). Идея Брауэра заключалась в том, чтобы сосредоточить внимание на тех элементах a группы, исключая e, для которых групповое произведение a*a равно e. Элементы с таким свойством называются инволюциями. Легко показать, что инволюции есть в каждой группе с чётным числом элементов. Поэтому, согласно теореме Томпсона-Фейта, всякая некоммутативная простая группа содержит инволюции. Брауэр начал с того, что вычислил централизаторы инволюций в некоторых из 18 регулярных семейств, и обнаружил, что они имеют такое же внутреннее строение, как исходная группа, но в зачаточной форме. Тогда Брауэр заинтересовался, можно ли восстановить всю исходную группу, зная только централизаторы инволюций, и через какое-то время пришёл к утвердительному ответу на этот вопрос в некоторых важных частных случаях. Исследования Брауэра не только подготовили почву для открытия многих спорадических групп, но и выработали процедуру, которая позволила разделить путешествие к границе области простых групп на два этапа. Сначала нужно доказать, что централизатор некоторой инволюции в неизвестной простой группе очень похож на централизатор инволюции в одной из известных простых групп. К этому аспекту проблемы классификации относятся пути, проходящие поблизости от центральной точки. Но сходство между централизаторами инволюций в двух группах - далеко не то же самое, что совпадение самих групп: ведь централизатор инволюции - это лишь малая часть всей группы. Поэтому на втором этапе доказательства следует расширить полученную локальную информацию о сходстве централизаторов инволюции до глобальной эквивалентности самих групп, показав, что данная неизвестная простая группа есть не что иное, как одна из известных простых групп. Таким образом, пути, проходящие вблизи точек на границе, относятся к процессу определения известной простой группы на основе сведений о её централизаторах инволюций
...Внутри всякой простой группы содержатся некие меньшие группы, называемые централизаторами инволюций, которые помогают понять, как устроена исходная группа. В случае групп Ри централизаторы инволюций допускают представление в виде группы квадратных матриц размера 2х2, составленных из элементов конечной числовой системы, размер которой (т.е. число её элементов) равен некоторой нечётной степени числа 3. Например, если 3 возводится в степень 1, то соответствующая конечная числовая система состоит из трёх элементов группы вычетов по модулю 3. Для доказательства одной из ранних частичных классификационных теорем требовалось показать, что группы Ри - это единственные простые группы, обладающие следующим свойством: их централизаторы инволюций допускают представление 2х2-матрицами, составленными из элементов конечной числовой системы размера pm, где p - простое, а m - нечётное число. Первым естественным шагом к достижению этой цели была попытка доказать следующую гипотезу: если некоторая простая группа обладает указанным свойством, то размер конечной числовой системы, из которой берутся элементы 2х2-матриц, равен нечётной степени простого числа 3. Со временем эта гипотеза была проверена для всех случаев, кроме одного: когда pm = 51. Янко приступил к исследованию этого исключительного случая в полной уверенности, что простой группы нужного типа с числовой системой размера 51, т.е. 5, не существует. Однако, несмотря на все усилия, ему не удалось исключить такую возможность и тем самым завершить доказательство гипотезы. Наоборот, потратив немало труда, он сумел показать, что если простая группа такого вида существует, то она состоит в точности из 23х3х5х7х11х19 (т.е. 175 560) элементов
Горенстейн. Грандиозная теорема
http://ega-math.narod.ru/Nquant/Groups.htm
Простая группа Звонимира Янко
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_286.htm
В 1980 г. в Коуровскую тетрадь мной был внесен вопрос 7.30: Какие конечные простые группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны? Группы, обладающие таким свойством, позже были названы (2х2, 2) - группами...
Доказывается следующий результат. Пусть G - одна из 26 спорадических простых групп. Группа G тогда и только тогда не может быть порождена тремя инволюциями, две из которых перестановочны, когда G изоморфна M11, M22, M23 или McL.
В.Д. Мазуров. О порождении спорадических простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны
http://psb.sbras.ru/EMIS/journals/SMZ/2003/01/193.htm
А.В. Тимофеенко. О порождающих тройках инволюций больших спорадических групп. Дискрет. матем., 15:2 (2003),  103-112
http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=27942
За исключением групп Матье M11, M22, M23 и группы Макла-флина McL, для каждой конечной простой спорадической группы число 5 - минимум числа таких порождающих её инволюций, что их произведение равно единице, а для указанных четырёх групп это число равно 6.
А.В. Тимофеенко. О строго вещественных элементах конечных групп. Фундамент. и прикл. матем., 11:2 (2005),  209-218
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_299.htm
Из всех многочисленных работ, перечисленных в начале настоящей главы, наибольший интерес и значение имеют для нас исследования К. Пирсона и Г. Харди. Последний автор в маленькой работке, всего в две страницы, установил чрезвычайно важный для нас закон, характеризующий состояние равновесия при существовании менделевских законов наследственности при наличии свободного скрещивания. Его можно назвать законом равновесия при свободном скрещивании, или законом Харди. Коротко этот закон может быть сформулирован следующим образом: относительная численность гомозиготных (как доминантных, так и рецессивных) и гетерозиготных индивидов в условиях свободного скрещивания и при отсутствии какого бы то ни было вида отбора остается постоянной при условии, если произведение числа гомозиготных индивидов (доминантных на рецессивных) равно квадрату половины числа гетерозиготных форм.
Выражая этот закон генетической формулой и обозначая анализируемое строение сообщества выражением pAA + 2qAa + raa, где p, 2q и r обозначают численности соответственных групп гомозиготных и гетерозиготных индивидов, мы можем состояние равновесия такого свободного скрещивающегося сообщества определить условием
pr = q2
С.С. Четвериков. Геновариации в условиях свободного скрещивания
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_350.htm


Древо химических элементов - турбулентный каскад удвоения периодов
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_320.htm

  


СТАТИСТИКА