Ю.Л. Климонтович. Турбулентное движение и структура хаоса от 03.11.06		Доклады
Новый подход к статистической теории открытых систем. - М. Наука. 1990. 320с. Боже, еще одна книга по статистической физике! Предисловие Поясним прежде всего название книги. Подзаголовок обьединяет три ключевых понятия: открытые системы, статистическая теория, новый подход. Открытые системы в отличие от идеализированных замкнутых (изолированных) систем могут обмениваться с окружающими телами как энергией и веществом, так и информацией. Благодаря этому в открытых системах возможны, в частности, и процессы самоорганизации, в результате которых возникают более сложные и одновременно более совершенные структуры. Все рассматриваемые в книге открытые системы являются макроскопическими, т.е. состоят из очень большого числа обьектов, принимаемых за - элементарные -. Их роль могут играть атомы и молекулы в физике и химии, клетки и микроскопические живые существа в биологии, высокоорганизованные организмы в социологии, планеты и звезды в астрономии. Таким образом, спектр открытых систем чрезвычайно широк. В силу макроскопичности рассматриваемых открытых систем, а также в силу возможной динамической неустойчивости движения отдельных - элементарных - обьектов (элементов) и неполной контролируемости внешних условий, достаточно полное и адекватное описание открытых систем в подавляющем числе случаев может быть проведено лишь на основе статистической теории. В слова - новый подход - вкладывается двойной смысл. Во-первых, многие идеи и методы описания неравновесных процессов являются либо относительно новыми, либо получили существенное развитие в недавнее время. Во-вторых, существенно и другое. Движения и процессы в макроскопических открытых системах настолько сложны, что в настоящее время лишь сравнительно немногое можно изложить с достаточной полнотой и последовательностью. Во многих случаях при выборе новых способов анализа экспериментальных данных и математических моделей рассматриваемых процессов приходится в большой мере полагаться на физическую интуицию. Поднимемся теперь на ступеньку выше - поясним основной заголовок. Понятие - ламинарное - и - турбулентное - движение (течения) возникли в гидродинамике. С тех пор эти понятия, однако, существенно расширились, и ламинарное и турбулентное движения рассматриваются на всех уровнях описания неравновесных процессов в открытых системах от кинетического до реакционно-диффузионного. При этом во всех случаях одной из основных характерных черт турбулентного движения является наличие большого числа развитых макроскопических степеней свободы. По этой причине турбулентное движение является чрезвычайно сложным и его поведение непредсказуемым. Во многих случаях необходима оценка относительной степени упорядоченности ламинарных и турбулентных, а также различных турбулентных движений между собой. Без такой оценки невозможно, например, выявление наличия процесса самоорганизации при переходе от одного турбулентного движения к другому. До последнего времени доминирующей, и кажущейся почти очевидной, была точка зрения, согласно которой турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное. В книге рассматривается и другая точка зрения, согласно которой турбулентное движение - турбулентная жизнь - открытых систем может быть более богатой и более высокоорганизованной. В этой связи и возникает проблема выявления - структуры хаоса -. Раскрытие приведенных понятий приводит к необходимости решения целого ряда связанных в единый узел проблем: связь динамического и статистического описания сложных движений; конструктивную роль динамической неустойчивости движения отдельных элементов системы при переходе от уравнений движения к необратим уравнениям для макроскопических характеристик; конкретизация определения ансамбля Гиббса при описании неравновесных процессов; формулировка и сравнительный анализ различных критериев относительной степени упорядоченности неравновесных состояний, критериев самоорганизации. Книга в значительной мере представляет итог многолетних исследований автора по различным вопросам статистической теории неравновесных процессов в различных системах. Главное внимание здесь уделяется не деталям расчетов, а изложению основных идей и методов современной статистической теории открытых систем на различных уровнях описания... Введение Основные проблемы Цель книги - изложение основных идей, методов и закономерностей современной статистической теории макроскопических открытых систем. Такие системы могут обмениваться с окружающими телами энергией, веществом и что, не менее важно, информацией. В них в силу этого возможно образование различных структур, возможны процессы самоорганизации. Процессы самоорганизации занимаю особое место среди разнообразных процессов в открытых системах. Они возможны лишь в нелинейных системах, так как только в них существуют разнообразные и сложные движения, необходимые для возникновения и развития процессов самоорганизации. Существенно также, что процессы самоорганизации происходят только в диссипативных системах. Это кажется. На первый взгляд, удивительным, так как диссипация проявляется обычно в затухании движения, в рассеянии энергии, в потере информации. Однако диссипация играет в процессах самоорганизации конструктивную роль. Без ее участия невозможно образование устойчивых пространственно-временных структур, последовательности которых и составляют процесс самоорганизации. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство И. Пригожин ввел емкое и точное название - диссипативные структуры. В макроскопических открытых системах, которые будут рассматриваться, имеются широчайшие возможности для возникновения коллективных (кооперативных) явлений. С целью подчеркнуть роль коллектива, роль кооперации в процессах самоорганизации Г. Хакен ввел специальный термин - Синергетика. Синергетика не является новой наукой, но может быть определена как новое обьединяющее  направление в науке. Цель синергетики - выявление общих идей, общих методов и общих Естественно, что возникновение теории самоорганизации - синергетики было подготовлено трудами многих выдающихся ученых. Это, в первую очередь, Л. Больцман и А. Пуанкаре - основоположники статистической и динамической теории сложных движений; А.М. Ляпунов - один из создателей теории устойчивости движения, лежавшей в основе теории самоорганизации; А.Н. Колмогоров, который ввел, в частности, понятие метрической энтропии для характеристики степени хаотичности сложных движений в динамических системах. Существенную роль в развитии статистической и термодинамической теории открытых систем сыграли работы Л.И. Мандельштама, А.А. Андронова, Н.С. Крылова, Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова, А.А. Власова, Л.Д. Ландау, Я.Б. Зельдовича, Д.А. Франк-Каменецкого. К числу основоположников теории самоорганизации относится, несомненно, и Владимир Иванович Вернадский - создатель учения о ноосфере - учения о роли человека в развитии биосферы и всей природы в целом. Выделим основные проблемы статистической теории открытых систем, которые здесь рассматриваются. В.1. Критерий относительной степени упорядоченности различных неравновесных состояний в открытых системах Мы уже несколько раз использовали термин - процессы самоорганизации -, но не дали ответа на вопрос: что такое самоорганизация? И это не случайно. Известно много различных примеров, когда наличие самоорганизации представляется очевидным. Можно, и это делается в очень многих работах, предложить и математические модели для описания таких процессов. Трудно, однако, дать общее определение понятия самоорганизация. Такого определения нет фактически ни в книге Г. Николиса и И. Пригожина - Самоорганизация в неравновесных системах -, которая является первым систематическим изложением теории самоорганизации, ни в книге Г. Хакена - Синергетика (1980). Нет этого определения и в более поздних книгах (Пригожин, Стенгерс, 1986: Хакен, 1985). Можно обратиться к более ранним (дофизического периода) работам, посвященным проблемам самоорганизации. Они собраны, например, в книге Принципы самоорганизации - под редакцией А.Я. Лернера (1966). Приведем слова из предисловия редактора сборника:... самоорганизация остается на протяжении многих веков, пожалуй, самым загадочным явлением, самой сокровенной тайной природы. - И дальше:…читатель не найдет в нем (в сборнике - Ю.К.) ни одной работы, которая претендовала бы на раскрытие тайн самоорганизации. - Эти слова написаны около четверти века назад. За это время мы значительно продвинулись в понимании принципов самоорганизации и постараемся это показать. И все же здесь гораздо больше нерешенных проблем, как принципиальных, так и более частных. Одной из них является проблема определения сравнительной степени упорядоченности или, напротив, хаотичности различных неравновесных состояний открытых систем. Итак, одна из основных задач книги - описание и сравнительная оценка различных критериев относительной степени упорядоченности различных состояний, отвечающим разным значениям управляющих параметров. Таким образом, мы не ставим задачу дать общие определения понятий самоорганизации, порядок, хаос. Эти определения и не являются необходимыми. Надо ответить на вопрос: какое из рассматриваемых сложных движений в процессе эволюции (во времени или в пространстве управляющих параметров) является более упорядоченным? Ответ необходим, чтобы можно было сделать заключение о наличии процесса самоорганизации. При решении этой общей проблемы возникают и более частные вопросы, например, о правильности выбора управляющих параметров, об оптимизации поиска наиболее упорядоченных или (в зависимости от задачи) наиболее хаотических состояний. Решение общей проблемы можно, разумеется, начать с решения более частных задач. Как сравнить степень упорядоченности состояний в генераторе когерентных колебаний или. Напротив, в генераторе шума? Является ли переход от стационарного ламинарного течения жидкости в трубе к стационарному турбулентному течению процессом самоорганизации, или. Другими словами. Какое из двух стационарных течений - ламинарное или турбулентное, является более упорядоченным? Ответ на первый вопрос кажется очевидным. Именно, по мере увеличения значения положительной обратной связи - параметра порядка - состояние генератора становится более упорядоченным. Зачастую, однако, очевидность является обманчивой. Действительно, почти в любой, взятой наугад книге по турбулентности можно найти утверждение, что турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное. Имеются, однако, и исключения. Так, например, на с. 195 книги И. Пригожина и И. Стенгерс высказывается противоположная точка зрения: Долгое время турбулентность отождествлялась с хаосом или шумом. Сегодня мы знаем, что это не так...Множество пространственных и временных масштабов, на которых разыгрывается турбулентность, соответствует когерентному поведению миллионов и миллионов молекул. С этой точки зрения переход от ламинарного течения к турбулентному является процессом самоорганизации. Часть энергии системы, которая в ламинарном течении находилась в тепловом движении молекул, переходит в макроскопическое организованное движение. - Аналогичная точка зрения была высказана ранее в нашем курсе - Статистическая физика (1982). В работе (Климонтович, 1984) эта позиция была подтверждена конкретным расчетом. Этот пример показывает, сколь трудно при сложных движениях отличить порядок от хаоса. По этой причине и возникает необходимость введения количественных критериев относительной степени упорядоченности различных неравновесных состояний открытых систем. Об относительной степени упорядоченности можно судить по различным критериям: по значениям показателей Ляпунова и энтропии Крылова-Колмогорова-Синая (К-энтропии), по размерности эффективного фазового пространства, по значениям энтропии Больцмана-Гиббса-Шеннона, перенормированным к заданному значению средней эффективной энергии - эффективной функции Гамильтона открытой системы. Сравнительный анализ различных критериев и детальный анализ последнего из них и составляет одну из основных задач книги. Здесь отметим следующее. Первоначальные расчеты относительной степени упорядоченности по значениям энтропии Больцмана-Гиббса-Шеннона базировались на конкретных математических моделях. Это давало возможность определения вида соответствующей эффективной функции Гамильтона. В работе (Климонтович, 1988) показана возможность оценки относительной степени упорядоченности открытых систем непосредственно по экспериментальным данным, т.е. без использования математических моделей рассматриваемых процессов. Тем самым существенно расширяются возможности практического применения расматриваемого критерия. В.2. Связь статистического и динамического описаний движения в открытых системах. Конструктивная роль динамической неустойчивости движения Начиная с классических работ Л. Больцмана и А. Пуанкаре, описание сложных движений в нелинейных диссипативных системах проводится двумя способами: методами кинетической теории (статистической теории неравновесных процессов), одним из основателей которой и является Л. Больцман, а также методами динамической теории, развитой первоначально для гамильтоновых систем; один из ее основателей - А. Пуанкаре. До недавнего времени статистическая и динамическая теории сложных движений в нелинейных диссипативных системах развивались практически независимо и, более того, противопоставлялись одна другой. Необходимость синтеза этих двух теорий особенно остро ощущается в последние годы в связи с развитием статистической теории открытых систем, особенно теории самоорганизации. Выявление взаимного влияния этих двух теорий и составляет одну из основных задач книги. Мы увидим, в частности, что динамическая неустойчивость движения, например атомов газа Больцмана, играет конструктивную роль в обосновании кинетической теории. Складывается, казалось бы, парадоксальная ситуация. Действительно, движение атомов газа Больцмана динамически неустойчиво. Согласно динамической теории это ведет к динамическому хаосу. В то же время, в частности, в теории самоорганизации используются кинетические уравнения для макроскопических (усредненных микроскопических) распределений. Тем самым из хаотического движения атомов выделяются относительно простые движения больших совокупностей атомов. Именно так поступают на всех уровнях описания - кинетическом, гидродинамическом, диффузионным - неравновесных процессов. Разрешение этого кажущегося парадокса состоит в том, что динамическая неустойчивость движения атомов играет конструктивную роль в том смысле, что определяет саму возможность более грубого описания неравновесных процессов на основе уравнений для макроскопических функций, т.е. для коллективных переменных... В.3. Переход от обратимых уравнений к необратимым. Ансамбль Гиббса в статистической теории неравновесных процессов Эта проблема также относится к числу основных, поскольку все уравнения статистической теории открытых систем являются диссипативными и, следовательно, необратимыми. Вопрос о переходе от обратимых уравнений движения - уравнений Гамильтона элементарных обьектов системы (например, атомов газа) - к необратимым тесно связан с вопросом о выборе ансамбля Гиббса при описании неравновесных процессов в открытых системах. Здесь снова возникает проблема взаимосвязи статистического и динамического описаний, и не только на микроскопическом уровне, но и на всех уровнях макроскопического описания процессов в открытых системах В.4. Роль флуктуаций на различных уровнях описания. Флуктуациооно-диссипативные соотношения В статистической теории неравновесных процессов в открытых системах используется иерархия уравнений для макроскопических - коллективных переменных: кинетические уравнения для распределения в 6-мерном фазовом пространстве; гидродинамические уравнения; реакционно-диффузионные уравнения; уравнения химической кинетики; уравнения для квазистатических процессов в термодинамике. На всех перечисленных уровнях описания задача сводится к решению уравнений для усредненных по ансамблю Гиббса соответствующих микроскопических характеристик - уравнением для первых моментов соответствующих случайных функций. Такие уравнения можно назвать динамическими уравнениями для диссипативных систем (диссипативными динамическими уравнениями). Естественно, что уравнения для первых моментов не дают полного описания - необходим учет флуктуаций. Это утверждение является общим, поскольку в статистической теории существуют так называемые флуктуационно-диссипационные соотношения (ФДС). Тем самым флуктуации являются неизбежными для любой диссипативной системы. Весь вопрос сводится к тому, какова же роль флуктуаций или, напротив, какова область справедливости диссипативных динамических уравнений. Здесь мы вступаем в новую область - область флуктуационной диффузии. В соответствии с этим возникает проблема установления ФДС на различных уровнях описания для самых разных состояний - как близких к равновесному, так и далеких от него, как при малой диссипации, так и для сильно диссипативных систем. ФДС позволяют проследить за ростом флуктуаций при приближении к тем или иным критическим точкам - точкам неравновесных фазовых переходов, ведущих к образованию новых диссипативных структур в процессах самоорганизации. Несмотря на то, что первые ФДС установлены более шестидесяти лет назад (формула Эйнштейна в теории броуновского движения для коэффициента диффузии, формула Найквиста для интенсивности источника случайной ЭДС в электрической цепи), в этой области еще много нерешенных вопросов, особенно для открытых систем. В.5. Броуновское движение в открытых системах. Молекулярные и турбулентные источники флуктуаций Цель книги - дать единое изложение основных идей, методов и закономерностей современной статистической теории открытых систем. Поэтому прослеживается переход от обратимых уравнений к необратимым, который на всех уровнях описания ведет к уравнениям для флуктуирующих микроскопических переменных: функций распределения в кинетической теории, гидродинамических и термодинамических функций на гидродинамическом и диффузионном уровне описания. Все эти величины в обобщенном смысле можно рассматривать как обьекты броуновского движения - броуновские частицы. В связи с этим возникает необходимость изложения ряда вопросов теории броуновского движения в открытых системах. Как мы увидим, существует целая иерархия различных броуновских движений, начиная с наиболее быстрых движений в кинетической теории и кончая наиболее медленными, при которых по мере уменьшения частоты спектральная плотность возрастает по закону 1/w - фликкер-шум. Кроме того, характер броуновского движения сильно меняется по мере удаления от равновесного состояния, когда становятся существенными нелинейные процессы. Это приводит к новым проблемам при использовании уравнений Ланжевена и Фоккера-Планка, в частности, наряду с молекулярными, приходится вводить и турбулентные источники флуктуаций в уравнения Ланжевена. В.6. Ламинарное и турбулентное движение В зависимости от относительной роли флуктуационного и упорядоченного движений, а также от числа макроскопических степеней свободы, можно выделить три группы движений. Это, во-первых, хаотическое тепловое движение. В этом случае усредненные макроскопические параметры постоянны, а наличие флуктуаций характеризует - молекулярную - структуру системы. Флуктуации макроскопических характеристик малы и во многих случаях, за исключением, например, броуновского движения малых частиц в жидкости, могут не приниматься во внимание. Ко второй группе можно отнести ламинарное движение, или ламинарные пространственно-временные диссипативные структуры. Они возникают на фоне теплового движения и характеризуются небольшим числом макроскопических степеней свободы. Роль флуктуаций здесь особенно существенна около критических точек перехода от одних диссипативных структур к другим, или, иными словами. При неравновесных фазовых переходах. Наконец, к третьей группе можно отнести турбулентное движение, которое определяется большим числом макроскопических степеней свободы. Турбулентное движение очень разнообразно и может возникать на всех уровнях описания - от кинетического до диффузионного или диффузионно-реакционного. Оно характеризуется большим числом пространственных и временных масштабов. На фоне мелкомасштабного турбулентного движения могут выделяться и когерентные пространственно-временные структуры. При анализе ламинарного и турбулентного движения существенна оценка их относительной степени упорядоченности. В работе (Климонтович, 1984) такая оценка проведена по значениям перенормированной к заданному значению средней эффективной энергии, энтропии Больцмана-Гиббса-Шеннона по критерию S-теоремы. По этому критерию усредненное турбулентное движение оказывается более упорядоченным, чем ламинарное. Это лишь один из аргументов в пользу высказанной в работах (Климонтович, 1982, 1984; Эбелинг, Климонтович, 1984; Пригожин, Стенгерс, 1984, 1986; Климонтович, Энгель-Херберт, 1984) точки зрения, согласно которой переход от ламинарного движения к турбулентному в ряде случаев может рассматриваться как неравновесный фазовый переход к более упорядоченному состоянию и, следовательно, как пример процесса самоорганизации. Таким образом, турбулентное движение представляется как очень сложное движение в открытых системах, возникающее из менее упорядоченного движения - физического хаоса... Глава 1. Эволюция энтропии и производство энтропии в открытых системах Во введении были перечислены основные проблемы, анализ которых является целью настоящей книги. К числу основных была отнесена проблема установления и сравнительного анализа критериев относительной степени упорядоченности неравновесных состояний открытых систем. К числу основных, как показано ниже, относится также рассмотрение критерия, базирующегося на сопоставлении перенормированных к определенным условиям значений энтропии и производства энтропии. 1.1. Хаос и порядок. Управляющие параметры. Физический хаос. Эволюция и самоорганизация в открытых системах Понятие - хаос - играло существенную роль в мировоззрении философов древности, в частности представителей школы Платона. Отметим два сформулированных ими положения, которые сохраняют свое значение и в настоящее время. Хаос - состояние системы при удалении всех возможностей проявления ее свойств. Из хаоса возникает все, что составляет мироздание - порядок. В физике понятие хаос, хаотическое движение, порядок - являются фундаментальными, но тем не менее определенными недостаточно четко. Действительно, начиная с классических работ Максвелла, Больцмана и Гиббса. Хаотическим называют движение атомов в состоянии теплового равновесия. Хаотическим, однако, называют и движение, далекое от равновесного, например, в генераторах шума, в турбулентных потоках и т.д. Широкое распространение получил термин - динамический хаос. Он характеризует сложное движение в маломерных гамильтоновых и диссипативных динамических системах. Известным примером служит движение жидкости при развитой тепловой конвекции, которое описывается уравнениями Лоренца (Лоренц, 1963). Итак, термином хаос характеризуют самые различные виды сложных движений. Поскольку во многих случаях хаос трудно отличить от упорядоченного, но очень сложного движения, то возникает необходимость в критериях относительной степени упорядоченности или, напротив, хаотичности движений. При анализе и сопоставлении сложных движений важен выбор управляющих параметров, изменение которых определяет характер процесса. Выбор таких параметров во многих случаях представляет самостоятельную задачу. Он производится, как правило, либо на основе уже имеющейся информации о системе, либо на основе дополнительных исследований, например бифуркационных диаграмм. При этом возможны, естественно, и ошибки, поэтому критерии правильности выбора управляющих параметров должны давать и возможность контроля правильности сделанного выбора. В качестве управляющих параметром могут выступать самые разнообразные параметры. В мультистабильных системах, например, выбор того или иного стационарного состояния может осуществляться путем изменения начальных условий. Управляющим параметром может служить и медленное время, например время наблюдения за здоровьем пациента в процессе лечения. В гидродинамике в зависимости от вида течения роль управляющих параметров играют числа Рейнольдса, Рэлея, Тейлора. При наличии нескольких управляющих параметров возможны поиски оптимальных состояний, например наибольшей упорядоченности в процессах самоорганизации при наибольшей хаотически при конструировании шумовых генераторов. Спектр открытых нелинейных диссипативных систем, при исследовании которых необходима оценка сравнительной степени упорядоченности, чрезвычайно широк: от физического вакуума, который характеризуется, по-видимому, максимальной возможной степенью хаотичности, до Вселенной, от газа бесструктурных частиц до биологических и социологических систем. Обозначим через а = (a1,...,an) набор параметров, выбранных в качестве управляющих. Выделим два состояния, отвечающие значениям управляющих параметров: a0, a0 + Da. Управляющие параметры всегда могут быть определены таким образом, что более упорядоченному состоянию отвечают положительные значения Dai > 0. При этом условии для более упорядоченного состояния а = a0 + Da,  Dai > 0, i = 1,2,...n. Состояние при Dа = 0 назовем состоянием физического хаоса. При сравнении относительной степени упорядоченности двух выбранных состояний, состояние физического хаоса можно принять за начало отсчета изменения относительной степени хаотичности. Слово физический введено в термин с целью подчеркнуть физический характер рассматриваемых ниже критериев. При этом существенно следующее. Во-первых, состояние физического хаоса может существенно отличаться от равновесного состояния. Во-вторых, приведенное определение будет импользоваться при сравнении как далеких. так и близких неравновесных состояний. При сравнении близких состояний будут использованы локальные формулировки критериев относительной степени упорядоченности. Тогда локальным будет и само определение физического хаоса. Понятие - эволюция - является очень общим. В физике рассматривается, например, эволюция к равновесному состоянию или стационарному (в открытых системах) состоянию. Примером эволюции может служить образование последовательности новых структур в процессах самоорганизации. В биологии, согласно теории Дарвина, образование новых структур происходит путем естественного отбора. Известно, что Людвиг Больцман назвал XIX век веком Дарвина, полагая тем самым, что теория эволюции Дарвина, основанная на принципе естественного отбора, является наиболее значительным открытием прошлого века. Такой вывод может показаться неожиданным. Действительно, ведь XIX век очень богат великими открытиями в естествознании, в частности в физике. XIX век, это - век термодинамики, созданной трудами Сади Карно, Рудольфа Клаузиуса и Вильяма Томсона и других замечательных ученых, это век электромагнитной теории Майкла Фарадея и Джеймса Максвелла. В XIX были заложены и основы современной молекулярно-кинетической теории материи, одним из основателей которой был сам Людвиг Больцман. Именно он предложил первое кинетическое уравнение для описания необратимых процессов в газах, которое описывает, в частности, установление равновесного состояния в газе. Он впервые ввел статистическое определение одной из основных характеристик термодинамики - энтропии. Он доказал знаменитую Н-теорему Больцмана, о возрастании энтропии во внешне замкнутой системе. И все же Больцман определил XIX век как век Дарвина. Главное, что определило такой выбор, эта удивительная научная интуиция Больцмана, глубина которой, да и то не в полной мере, становится очевидной лишь в настоящее время. Во времена Больцмана не существовало каких-либо математических моделей биологической эволюции. Более того, отнюдь не была общепринятой предложенная самим Больцманом теория необратимых процессов, Н-теорема. Напротив, вокруг теории Больцмана бушевали страсти. Среди самых активных его оппонентов был и Анри Пуанкаре. Для иллюстрации характера полемики приведем небольшой отрывок из книги И. Пригожина - От существующего к возникающему, 1985: Пуанкаре в одной из своих работ открыто не рекомендовал изучать труды Больцмана на том основании, что посылки в рассуждениях Больцмана противоречат его, Пуанкаре, выводам! - А. Пуанкаре, основываясь на обратимых уравнениях механики, пришел к выводу, что теория необратимых процессов и механика несовместимы. Основанием служило, в частности, то, что в механики Гамильтона невозможно построить функцию Ляпунова, играющую роль Н-функции (энтропии) в теории Больцмана. Как разительно отличается от оценки А. Пуанкаре оценка работ Людвига Больцмана, данная представителем следующего поколения ученых, одним из основателей квантовой механики - Эрвиным Шредингером. На стр. 161 той же книги Пригожина читаем: Его (Больцмана) направление мышления можно было бы назвать моей первой любовью. Никакие идеи не захватывали меня столь глубоко и вряд ли смогут захватить меня в будущем. - Итак, Больцман назвал XIX век веком Дарвина. В этом проявилась вера Больцмана в то, что развитая им кинетическая теория неравновесных процессов будет служить основой и для описания процессов в открытых физических, химических и биологических(!) системах. По мере развития статистической теории открытых систем мы все больше убеждаемся в правоте Больцмана. Каково же соотношение понятий эволюция и самоорганизация? Говоря о процессах самоорганизации, мы будем иметь в виду процессы, при которых (по приведенным ниже критериям возникают более сложные и более совершенные структуры. При таком подходе возникает вопрос: является ли любой эволюционный процесс процессом самоорганизации? Ответ, естественно, отрицательный, поскольку ни в физических, ни даже в биологических системах не заложено внутреннее стремление к самоорганизации. Действительно, эволюция может вести и к деградации. В физике примером служит переход к равновесному состоянию, которое по Больцману и Гиббсу, является наиболее хаотическим. В биологии происходит деградация биологических структур. Таким образом, самоорганизация - лишь один из возможных путей эволюции. 1.2. Энтропия Больцмана-Гиббса-Шеннона В статистической теории открытых систем энтропия является одной из важнейших характеристик и может играть три разных роли: служить мерой неопределенности при статистическом описании мерой относительной степени упорядоченности неравновесных состояний открытых систем мерой разнообразия в теории эволюции, без которого становится невозможным естественный отбор... ... 1.17. Энтропия - мера разнообразия в процессах биологической эволюции http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_340.htm ... Заключение Напомним, что во Введении были выделены проблемы, которые мы считали основными на начальном этапе изложения современной статистической теории открытых систем. Перечислим их еще раз, но теперь уже с краткими резюме. Первой была поставлена проблема установления и анализа критериев относительной степени упорядоченности состояний в открытых системах, позволяющих отличить порядок от хаоса. Была продемонстрирована, в частности, эффективность критерия, основанного на сопоставлении значений энтропии Больцмана-Гиббса-Шеннона, перенормированных к заданному значению средней эффективной энергии открытой системы. Вторая проблема - выявление связи статистического и динамического описания сложных движений. При ее рассмотрении особо подчеркивалась конструктивная роль динамической неустойчивости движения. Динамическая неустойчивость из-за перемешивания - экспоненциальной расходимости близких в начальный момент траекторий - определяет неизбежность перехода от необозримо сложных микроскопических уравнений движения к уравнениям для макроскопических - коллективных характеристик системы. Именно благодаря использованию таких уравнений и открываются широкие возможности выявления структур порядка в открытых системах на фоне микроскопического хаоса. В качестве отдельной была сформулирована проблема о роли флуктуаций. Флуктуации, с одной стороны, определяют интегралы столкновений, через которые в уравнения для макроскопических характеристик входит диссипация. Флуктуации, таким образом, ответственны за необратимость используемых кинетических уравнений. Это мелкомасштабные флуктуации. Их выделение неразрывно связано с определением ансамбля Гиббса в статистической теории неравновесных процессов. Именно они определяют степень неполноты задания микроскопических состояний систем ансамбля. Но не менее важна и роль крупномасштабных флуктуаций, которые в силу флуктуационно-диссипативных соотношений связаны с диссипативными характеристиками и, следовательно, с мелкомасштабными флуктуациями. Их учет позволяет подняться над уровнем приближения сплошной среды - приближения первых моментов, и, следовательно, увеличить информацию о системе - приблизить нас к полному описанию. Крупномасштабные флуктуации были условно разделены на два класса: молекулярные и турбулентные. Молекулярные флуктуации определяют броуновское движение частиц разной породы. Наличие турбулентных флуктуаций, как мы видели, вызывает новые проблемы в теории броуновского движения в открытых системах. В процессе изложения мы видели, сколь велика и разнообразна роль энтропии и производства энтропии. Развитие статистической теории открытых систем не только не умалило, но, напротив, подняло роль этих фундаментальных характеристик. Они были широко использованы, в частности, для оценки относительной степени упорядоченности неравновесных состояний в открытых системах. Их роль проявилась также и в другом. На примере генератора Ван дер Поля уравнение баланса энтропии (Н-теорема) было использовано для анализа возможности перехода от описания в непрерывном времени к описанию в дискретном времени, которое неизбежно при использовании численных методов. Это позволило дать оценку максимального значения шага дискретного времени в зависимости от параметров системы, при котором еще не нарушаются фундаментальные свойства системы - сохраняется, например, устойчивость стационарного распределения. Это лишь один пример необходимости использования статистической теории открытых систем в вычислительной математике Ю.Л. Климонтович. Статистическая теория открытых систем http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_231.htm Ю.Л. Климонтович. Турбулентное движение и структура хаоса М.: КомКнига. 2007г., 328 стр http://bgshop.ru/description.aspx?product_no=9038940