Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Герман Вейль. Симметрия
от 22.01.07
  
Мысли


Симметрия устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне никак не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности - Дж. Ньюмен Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности - В.И. Вернадский. 1927

Зазеркалье
Если я не ошибаюсь, в нашем повседневном языке слово симметрия употребляется в двух значениях. В одном смысле симметричное означает нечто, обладающее хорошим соотношением пропорций, уравновешенное, а симметрия обозначает тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в единое целое. Красота тесно связана с симметрией...В этом смысле идея симметрии никоим образом не ограничивается пространственными объектами; ее синоним гармония в гораздо большей степени указывает на акустические и музыкальные приложения идеи симметрии, чем на геометрические (с.35)
Симметрия - в широком или узком смысле в зависимости от того, как вы определите значение этого понятия, - является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство (с.37)
р.1Образ весов является естественным связующим звеном, которое подводит нас ко второму смыслу, в котором слово симметрия употребляется в наше время: зеркальная симметрия, симметрия левого и правого, столь заметная в строении высших животных и, в особенности, человеческого тела. Здесь зеркальная симметрия - строго геометрическое и - в отличие от рассматривавшегося до сих пор расплывчатого представления о симметрии - вполне точное понятие. Тело (пространственный образ) симметрично относительно данной плоскости Е, если оно переходит в себя при отражении от плоскости Е. Возьмем какую-нибудь прямую l, перпендикулярную плоскости Е, и на этой прямой - произвольную точку р (рис.1). Тогда существует одна и только одна точка р' на прямой l, находящаяся на таком же расстоянии от плоскости Е, что и точка р, но по другую сторону от этой плоскости. Точка р' совпадает с точкой р только в том случае, если она принадлежит плоскости Е.
Отражение от плоскости Е является отображением S: p -> p' пространства на себя, переводящим произвольную точку р в ее зеркальный образ р' относительно Е. Отображение определено, если установлено правило, по которому каждой точке р ставится в соответствие ее образ р'.
Другой пример: поворот вокруг перпендикулярной оси, например на 30°, переводит каждую точку р пространства в некоторую точку р' и, таким образом, определяет отображение. Фигура обладает поворотной симметрией относительно оси l, если она переходит сама в себя при всех поворотах вокруг l.
Зеркальная симметрия, таким образом, выступает перед нами как первый случай геометрического понятия симметрии, относящийся к таким операциям, как отражение или вращение. Пифагорейцы считали на плоскости - окружность, а в пространстве - сферу, в силу их полной поворотной симметрии, наиболее совершенными геометрическими фигурами, а Аристотель
приписывал сферическую форму небесным телам, так как, по его мнению, всякая другая форма лишила бы их божественного совершенства (с.36-37)
Эти лекции построены следующим образом. Сначала мы несколько более подробно рассмотрим зеркальную симметрию и ее роль в искусстве, в живой и неживой природе. Затем мы постепенно обобщим это понятие в направлении, указанном нашим примером вращательной симметрии; при этом вначале мы будем оставаться в рамках геометрии, но затем выйдем за ее пределы и с помощью процесса математической абстракции вступим на путь, который в конце концов приведет нас к математическому
понятию огромной общности, к платоновской идее, стоящей за всеми частными проявлениями и приложениями симметрии. Описанная схема в известной степени характерна для всего теоретического познания: мы начинаем с некоторого общего, но туманного принципа (симметрия в первом смысле этого слова); затем находим важный частный случай, рассмотрение которого позволяет придать нашему понятию конкретный и точный смысл ((зеркальная симметрия); далее, отправляясь от этого частного случая, мы постепенно вновь поднимаемся к общему, - причем руководствуемся уже не философскими призраками, а опираемся на математическое построение и математическую абстракцию и, если это нам удается, в конце концов доходим до понятия, носящего не менее общий характер, чем то, с которого мы начали. Может оказаться, что при этом мы потеряем значительную часть эмоциональной окраски исходного понятия, однако новое понятие будет в области мышления обладать такой
же, - если не большей - силой обобщения и, кроме того, будет точным, в отличие от первоначального туманного понятия.
р.2
Я начну рассмотрение зеркальной симметрии с греческой скульптуры четвертого века до н.э.- со статуи молящегося мальчика (рис.2), - с тем, чтобы это прекрасное произведение сыграло для вас роль символа, выражающего то огромное значение, которое этот вид симметрии имеет в жизни и в искусстве. Может возникнуть вопрос, зависит ли эстетическое значение симметрии от ее значения в жизни. Иначе говоря, в природе ли художник открывает симметрию, - ту симметрию, которой творения природы наделены в силу каких-то ее внутренних законов, - и затем лишь копирует и доводит до совершенства то, что природа дала в несовершенном виде; или же эстетическое значение симметрии имеет независимый источник? Вместе с Платоном я склонен думать, что в обоих случаях общим источником является математическая идея: математические законы, управляющие природой, являются источником симметрии в природе, а интуитивная реализация этой идеи в творческом духе художника служит источником симметрии в искусстве, - хотя я и готов допустить, что в искусстве дополнительно сказывается факт зеркальной симметрии человеческого тела в ее внешнем проявлении.
р.3
Из всех древних народов строгая зеркальная, или геральдическая, симметрия была, по-видимому, особенно излюблена шумерами. В этом отношении типичным является рисунок на известной серебряной вазе царя Энтемены, правившего в городе Лагаше около 2700г. до н.э.; на рисунке изображен орел с львиной головой и распростертыми крыльями; в когтях у него с каждой
стороны по оленю; на оленей в свою очередь нападают львы (на нижнем рисунке вместо оленей изображены козлы) (рис.3). Перенесение точной симметрии, присущей орлу, на других животных, заставляло, очевидно, удваивать изображения. Несколько позже орла стали изображать с двумя головами, смотрящими в разные стороны, и, таким образом, формальный признак симметрии полностью восторжествовал над принципом подражания природе.
Этот геральдический мотив можно затем обнаружить в Персии, в Сирии, позднее в Византии, а всякий живший до первой мировой войны помнит двуглавых орлов на гербах царской России и Австро-Венгерской монархии.
р.4
Посмотрите теперь на эту шумерскую картину (рис.4). Два человека с орлиными головами почти симметричны, однако их симметрия не полная. Почему? В геометрии на плоскости отражение от вертикальной прямой l можно осуществить также и поворотом плоскости в пространстве вокруг оси l на 180°. Если вы посмотрите на руки чудовищ, которые изображены на рисунке, то увидите, что чудовища получаются одно из другого с помощью такого поворота; эта особенность изображения, характеризующая их положение в пространстве, нарушает зеркальную симметрию плоского изображения. Все же художник имел в виду симметрию, придавая обеим фигурам полуоборот по отношению к зрителю, а также располагая соответствующим образом их ноги и крылья: у левой фигуры опущено правое крыло, а у правой - левое (с.38-41)
По контрасту с восточным, западное искусство, как и сама жизнь, склонно уменьшать, ослаблять, видоизменять, даже разрушать строгую симметрию. Но редко асимметрия - это просто отсутствие симметрии. Даже в асимметричных рисунках чувствуется симметрия, как норма, от которой уклоняются под влиянием сил неформального характера (c.45)
Теперь, прежде чем перейти от искусства к природе, задержимся на несколько минут и поразмыслим над тем, что можно назвать математической философией левого и правого. С точки зрения научного мышления между левым и правым не существует той полярной противоположности, того внутреннего различия, какое имеется, например, между мужским и женским или между передним и задним концами тела животного. Чтобы определить, что является левым, а что правым, требуется произвольный акт выбора. Но после того, как этот выбор сделан для одного тела, понятия левого и правого определены для всех тел. Мне придется несколько пояснить это. В пространстве различие между правым и левым связано с ориентацией винта. Если вы говорите о повороте налево, вы подразумеваете при этом, что направление, в котором вы поворачиваетесь, вместе с направлением вверх, от ног к голове вашего тела, образует левый винт. Суточное вращение Земли вместе с направлением от Южного полюса к Северному образует левый винт; если же вы зададите ось в противоположном направлении, то это же движение образует правый винт. Существуют некоторые кристаллические вещества (называемые оптически активными), которые обнаруживают внутреннюю асимметрию своего строения, поворачивая плоскость поляризации пропускаемого через них поляризованного света влево или вправо; говоря так, мы, естественно, имеем в виду, что то направление, в котором совершается поворот плоскости поляризации, когда свет проходит в определенном направлении, образует вместе с этим последним, соответственно, левый или правый винт. Следовательно, когда мы говорили выше - и повторяем сейчас, пользуясь терминологией Лейбница, - что левое и правое неразличимы, мы хотим сказать, что внутренняя структура пространства не позволяет нам отличить левый винт от правого иначе, как с помощью произвольного выбора (с.48-49)
Пространство как таковое изучается геометрией. Но пространство также служит средой всех физических явлений. Структура физического мира проявляется во всеобщих законах природы. Последние формулируются в терминах некоторых основных величин, являющихся функциями пространства и времени. Если бы эти законы не были во всех случаях инвариантными относительно отражения, то мы заключили бы, что, говоря фигурально, структура пространства содержит винт. Мах (Ernst Mach) рассказывает о том духовном потрясении, которое он испытал, узнав еще мальчиком, что магнитная стрелка отклоняется в oпределенную сторону, влево или вправо, если ее подвесить параллельно проводнику, по которому в определенном направлении проходит электрический ток. Так как вся эта геометрическая и физическая конфигурация, состоящая из проводника с током и северного и южного полюсов магнитной стрелки, по всей видимости симметрична относительно плоскости Е, проходящей через проводник и стрелку, то последняя должна была бы как будто вести себя подобно Буриданову ослу между двумя одинаковыми охапками сена и не делать выбора между правым и левым, точно так же как чаши весов, на которые положены равные грузы, не наклоняются ни в ту, ни в другую сторону, а остаются в горизонтальном положении. Однако видимость иногда обманчива. Дилемма, перед которой оказался юный Мах, явилась результатом слишком поспешного предположения относительно результата отражения от плоскости Е для системы, состоящей из проводника с током и положительного и отрицательного полюсов магнитной стрелки: ведь если мы а priori знаем, что происходит с геометрическими объектами при отражении, то как ведут себя физические величины - это мы должны узнать у природы. И вот что мы обнаруживаем: при отражении от плоскости E электрический ток сохраняет свое направление, но южный и северный магнитные полюсы меняются местами. Конечно, этот выход из положения, вновь восстанавливающий эквивалентность левого и правого, возможен лишь в силу одинаковой природы положительного и отрицательного магнетизма. Все сомнения рассеялись, когда обнаружили, что магнитные свойства стрелки возникают благодаря молекулярным электрическим токам, циркулирующим вокруг оси стрелки; очевидно, что при отражении от плоскости Е эти токи меняют свое направление. В итоге мы получаем, что во всей физике не имеется ничего, что указывало бы на внутреннее различие между левым и правым. Левое и правое эквивалентны так же, как все точки и все направления в пространстве. Положение, направление, левое и правое являются относительными понятиями (с.50-51)
В науке убеждение в эквивалентности левого и правого удерживается даже перед лицом некоторых биологических фактов, о которых мы сейчас упомянем; последние наводят на мысль об отсутствии указанной эквивалентности в гораздо более сильной степени, чем факт отклонения магнитной стрелки, столь поразивший юного Маха.
Та же проблема эквивалентности возникает и по отношению к прошлому и будущему, которые меняются местами при изменении направления времени, а также по отношению к положительному и отрицательному электричеству. В обоих этих случаях - и особенно во втором из них - становится, по-видимому, более ясным (чем в случае левого и правого), что для решения вопроса
недостаточно априорной очевидности, необходимо учитывать эмпирические факты. Несомненно, что роль, которую прошлое и будущее играют в нашем сознании, могла бы служить указанием на присущее им различие - прошлое может быть познано, но его нельзя изменить, будущее неизвестно, но его можно изменять решениями, принимаемыми в данный момент, - и можно было бы ожидать, что это различие основывается на естественных законах природы. Однако те законы, которыми мы с полным основанием можем гордиться, поскольку они содержат определенные знания, инвариантны относительно обращения времени, точно так же как и относительно взаимной замены левого и правого. Лейбниц показал, что модусы времени - прошлое и будущее - связаны с причинной структурой мира. Даже если верно то, что точные волновые законы, сформулированные квантовой физикой, не изменяются, если заставить время протекать в обратном направлении, все же метафизическая идея причинности, а вместе с ней и однонаправленный характер времени могут войти в физику через статистическую интерпретацию этих законов в терминах вероятностей и частиц. Современное состояние наших физических знаний оставляет еще большую неопределенность
в вопросе об эквивалентности или неэквивалентности положительного и отрицательного электричества. Представляется затруднительным придумать физические законы, по отношению к которым оба эти вида электричества не вели бы себя аналогично; однако отрицательный двойник положительно заряженного протона до сих пор остается неоткрытым.
Этот полуфилософский экскурс был для нас необходим как база для рассмотрения симметрии правого и левого в природе; мы должны были осознать, что симметрия этого рода присуща общей организации природы. Не следует, однако, ожидать, что эта симметрия будет проявляться в законченной форме в каждом отдельном объекте природы. И все же удивительно, до какой степени она распространена. Для этого должна быть какая-то причина, и ее нетрудно отыскать: состояние равновесия должно быть, по-видимому, симметричным. Точнее говоря, при наличии условий, которые определяют единственное в своем роде состояние - равновесие, к этому состоянию должна приводить симметрия условий (c.54-55)
Именно поэтому теннисные мячи и звезды имеют сферическую форму; Земля также была бы сферой, если бы не вращалась вокруг своей оси. Вращение сплющивает ее у полюсов, но поворотная, или цилиндрическая, симметрия относительно оси сохраняется. Особенностью, требующей объяснения, является поэтому не поворотная симметрия ее формы, а отклонения от этой симметрии, проявляющиеся в неравномерном распределении суши и воды и в слабых морщинках гор на ее поверхности. Именно
поэтому Вильгельм Людвиг в своей монографии о проблеме левого и правого в зоологии почти ничего не сказал о происхождении зеркальной симметрии, преобладающей в животном царстве, начиная с иглокожих, но зато весьма подробно разобрал все виды вторичной асимметрии, налагающейся на основной симметричный план. Привожу дословно: Человеческое тело, так же как и тело
других позвоночных, в основе своей построено зеркально симметрично. Все встречающиеся нарушения симметрии носят вторичный характер; более важные из них, затрагивающие внутренние органы, обусловлены главным образом необходимостью увеличения поверхности кишечника, непропорционального развитию всего тела; это привело к асимметричным складкам кишок и к их закручиванию. В процессе филогенетической эволюции эти первые нарушения симметрии, относящиеся к пищеварительной системе и связанным с ней органам, вызвали асимметрию других систем органов -.
р.16Хорошо известно, что сердце млекопитающих является асимметричным винтом, как показано на схематическом его изображении (рис.16).
Если бы все в природе было закономерно, то в каждом явлении находила бы отражение полная симметрия таких всеобщих законов природы, как те, которые формулируются теорией относительности. Уже сам факт, что дело обстоит совсем не так, доказывает, что случайность является существенной особенностью нашего мира.
Кларк в своем спорее Лейбницем допускал лейбницевский принцип достаточного основания, но добавлял, что достаточное основание зачастую состоит просто в воле бога. Я думаю, что рационалист Лейбниц здесь определенно ошибался, а Кларк находился на правильном пути. Однако было бы более честно в целом отвергнуть принцип достаточного основания, вместо того чтобы возлагать на бога ответственность за всё в мире, не имеющее основания. С другой стороны, Лейбниц в споре с Ньютоном и Кларком был прав, поскольку он понимал принцип относительности. Истина - в том виде, в каком она представляется нам в настоящее время, - состоит в следующем. Законы природы не определяют единственным образом тот мир, который действительно существует, - даже если допустить, что два мира, получающихся один из другого путем автоморфного преобразования, т.е. преобразования, сохраняющего всеобщие законы природы, следует рассматривать как один и тот же мир.
Если для некоторого комка материи вся симметрия, вытекающая из законов природы, подчиняется лишь ограничениям, связанным с ее положением Р, носящим случайный характер, то следует допустить, что этот комок материи примет форму шара с центром в Р. Действительно, низшие формы животных - мелкие организмы, взвешенные в воде, - имеют более или менее  
шарообразную форму. Для форм, живущих на дне океана, направление силы тяжести является важным фактором, ограничивающим множество автоморфизмов: множество всех поворотов вокруг центра Р сужается до множества всех поворотов вокруг некоторой оси. Для животных, обладающих способностью самостоятельно передвигаться в воде, в воздухе или по земле, решающее влияние оказывает как сила тяжести, так и то направление (от заднего к переднему концу тела), в котором движется животное.
После установления передне-задней, спинно-брюшной, а тем самым и лево-правой осей произвольным остается лишь различие между правым и левым, и на этом этапе никаких более высоких типов симметрии, чем зеркальная, ожидать не приходится. Действие факторов филогенетической эволюции, стремящихся вызвать в организме наследственное различие между левым и правым, тормозится, вероятно, за счет тех преимуществ, которые животное извлекает из зеркально-симметричного расположения своих органов движения - ресничек или мышц и конечностей: в случае асимметричного их развития естественно получилось бы винтовое, а не прямолинейное движение. Это может нам объяснить, почему наши конечности подчиняются закону симметрии более строго, чем внутренние органы (c.55-57)
Наиболее поразительным примером симметрии в неорганическом мире являются кристаллы. Газообразное и кристаллическое состояния являются двумя четко разграниченными состояниями вещества, которые физике удается сравнительно легко объяснить. Состояния, промежуточные между этими двумя крайностями, - такие как жидкое и пластичное - труднее поддаются теории. В газообразном состоянии молекулы свободно движутся в пространстве, имея независимые случайные скорости
и положения. В кристаллическом состоянии атомы колеблются около положений равновесия так, как если бы они были привязаны к ним упругими нитями. Эти положения образуют стационарную правильную конфигурацию в пространстве. Что мы понимаем под правильной конфигурацией и каким образом из правильного расположения атомов возникает видимая нами симметрия кристаллов - это будет предметом нашего рассмотрения в одной из последующих лекций. Хотя большинство из тридцати двух геометрически возможных систем симметрии кристаллов включает в себя зеркальную симметрию, все же не все из них ею обладают. Если зеркальная симметрия не имеет места, то возможны так называемые энантиоморфные кристаллы, существующие в левой и правой формах, каждая из которых, подобно левой и правой руке, является зеркальным образом другой. Можно ожидать, что оптически активное вещество, т.е. вещество, вращающее плоскость поляризованного света влево или вправо, кристаллизуется в таких несимметричных формах. Если в природе существует левая форма, то можно предполагать, что существует также и соответствующая ей правая форма и что в среднем обе формы встречаются одинаково часто. В 1848г. Пастер открыл, что если растворенную в воде натриево-аммониевую соль оптически неактивной виноградной кислоты подвергнуть кристаллизации при низкой температуре, то из водного раствора выпадает осадок, состоящий из мельчайших кристаллов двух родов, причем кристаллы одного рода являются зеркальными образами кристаллов другого рода. Эти кристаллы были тщательно отделены друг от друга, и оказалось, что кислоты, получающиеся из кристаллов каждого вида в отдельности, обладают тем же химическим строением, что и виноградная кислота, но одна из этих двух кислот оптически активна и вращает плоскость поляризации влево, а другая - оптически активна и вращает плоскость поляризации вправо. Как обнаружили, последняя из них совпадает с винной
кислотой, получающейся при брожении виноградного сока, а первая никогда не наблюдалась в природе. Ф.М. Егер в своих Лекциях о принципе симметрии и его приложениях к естествознанию - говорит: Редкое научное открытие имело столь далеко идущие последствия, как это.
Совершенно очевидно, что какие-то случайности должны определять, какая из форм кристаллов - правая или левая - возникает в данном месте раствора, и таким образом, в согласии с симметричным и оптически нейтральным характером всего раствора в целом и законом случая, количество вещества, отложившегося в одной форме, в любой момент процесса кристаллизации
равно, или почти равно, количеству вещества, отложившегося в другой форме. В то же время природа, поднеся нам чудесный дар - виноград, столь веселивший когда-то Ноя, - создала только одну разновидность кристаллов, предоставив Пастеру создать другую. Безусловно, это странно. Установлено, что большинство многочисленных углеродистых соединений встречается в природе только в одной - левой или правой - форме. Направление, в котором закручена раковина улитки, носит наследственный характер, точно так же как и левостороннее расположение сердца и закручивание кишечника у вида Homo sapiens. При этом не исключены случаи, когда расположение органов обратно обычному; например, situs inversus кишечника у человека встречается с частотой 0,02%, к чему мы еще вернемся! Точно так же более глубокое ознакомление с химическим строением человеческого тела показывает, что мы содержим винт, направление которого одно и то же в каждом из нас. Например, наше тело содержит правовращающую форму глюкозы и левовращающую форму фруктозы. Страшным проявлением этой генотипной асимметрии является нарушение обмена веществ, называемое фенилкетонурией, которое приводит к умопомешательству; болезнь возникает, когда к пище человека добавляется небольшое количество левой формы фенилаланина, в то время как правая форма не вызывает столь печальных последствий.
За счет асимметрии химического состава живых организмов следует отнести успех пастеровского метода разделения левых и правых форм веществ посредством энзиматического действия бактерий, плесени, дрожжей и т.п.
Например, Пастер обнаружил, что раствор соли виноградной кислоты, первоначально оптически активный, постепенно становился левовращающим, когда на нем выращивали культуру серо-голубой плесени (PeniciIlium glaucum). Очевидно, что организм отбирал в пищу ту форму молекул винной кислоты, которая наилучшим образом соответствовала его собственному несимметричному химическому составу. Эту особенность жизнедеятельности организмов обычно поясняют, используя образ ключа и замка.
Если учесть упомянутые факты, а также провал всех попыток чисто химическим путем активировать оптически неактивный материал (В настоящее время известен один точно установленный случай - реакция нитрокоричной кислоты с бромом, когда свет, подвергшийся круговой поляризации, производит оптически активное вещество), становится понятным, почему Пастер придерживался того мнения, что производство оптически активных соединений в одной-единственной форме является исключительной привилегией жизни. В 1860г. он писал: В этом и состоит, по-видимому, единственная четкая разграничительная линия, которую в настоящее время можно провести между химией живой и неживой природы (с.58-60)
Однако тут налицо одно существенное затруднение: почему природа должна производить только одну из двух разновидностей столь многочисленных энантиоморфных форм, источник которой, несомненно, кроется в живом организме? Паскуаль Йордан (Pascual Jordan) указывает на этот факт как на подтверждение своего мнения о том, что происхождение жизни связано не со случайными событиями, которые могут постоянно повторяться то в одном, то в другом месте, поскольку достигнута определенная ступень эволюции, а с событием совершенно особым, которое произошло когда-то случайно, но привело к тому, что число подобных случаев стало лавинообразно нарастать за счет того, что одно событие влекло за собой несколько таких же. Действительно, если бы асимметричные протеиновые молекулы растительных и животных организмов возникали в разных местах и в различное время независимо друг от друга, то относительное количество их левых и правых разновидностей должно было бы быть примерно одинаковым. Дело выглядит так, как будто в мифе об Адаме и Еве имеется некоторая доля истины, касающаяся,
правда, не происхождения человеческого рода, а возникновения первичных форм жизни. Именно эти биологические факты и имелись в виду, когда выше я говорил о том, что если рассматривать данные биологии с их внешней стороны, то они наводят на мысль о внутреннем различии между левым и правым, - по крайней мере, поскольку речь идет о строении органического мира. Однако можно быть уверенным в том, что ответ на нашу загадку кроется не в каких-то всеобщих биологических законах, а в
случайностях возникновения мира организмов. Один выход указывает Паскуаль Йордан; хотелось бы найти менее радикальное решение вопроса, - например, на пути сведения асимметрии земных обитателей к какой-то внутренней, хотя и случайной, асимметрии самой Земли или же к асимметрии падающего на Землю солнечного света. Но ни вращение Земли, ни совместное действие магнитных полей Земли и Солнца не могут оказать в этом отношении непосредственной помощи. Другая возможность состоит в предположении, что развитие на самом деле началось с равномерного распределения энантио-морфных форм, но что такое распределение представляет собой неустойчивое равновесие, нарушающееся при самом незначительном случайном внешнем воздействии.
От проблем филогенеза левого и правого перейдем, наконец, к проблемам онтогенеза левого и правого. Здесь возникают два вопроса. Во-первых, фиксирует ли первое деление оплодотворенного яйца животного на две клетки плоскость симметрии так, что из одной клетки развивается левая, а из другой - правая половина тела? Во-вторых, чем определяется плоскость первого деления? Начну со второго вопроса. В яйце всякого животного, более высокого по своему развитию, чем простейшие, с самого
начала имеется некоторая полярная ось, соединяющая те части яйца, из которых должны развиться анимальный и вегетативный полюсы бластулы. Эта ось вместе с тем местом, где сперматозоид при оплодотворении проникает в яйцо, определяет некоторую плоскость; было бы совершенно естественно предположить, что это и есть плоскость, вдоль которой происходит первое деление. И в самом деле, очевидно, что дело обстоит именно так во многих случаях. Современные взгляды, по-видимому, клонятся к предположению, что первоначальная полярность, так же как и последующая зеркальная симметрия, обусловливается внешними факторами, приводящими в действие потенциальные возможности, заложенные в данной наследственной структуре. Во многих случаях направление этой полярной оси очевидным образом определяется местом прикрепления яйцеклетки к стенкам яичника,
а точка проникновения оплодотворяющего сперматозоида является, как мы уже говорили, по крайней мере одним - причем часто наиболее важным - из факторов, определяющих плоскость симметрии. Однако положение полярной оси и направление плоскости симметрии может также обусловливаться и другими факторами. У морской водоросли фукуса на положение полярной оси могут влиять световое воздействие, электрические поля или градиент концентрации химических веществ, а у некоторых
насекомых и головоногих плоскость симметрии определяется, по-видимому, воздействиями, испытывавшимися яйцом до оплодотворения (Гексли (Julian S. Huxley) и де Беер (G. R. de Beer) в своих классических Элементах эмбриологии (Elements of embryology, Cambridge University Press, 1934) утверждают следующее (гл. XIV, резюме, с.438): На самых ранних стадиях развития яйцо обладает однородной структурой типа градиентного поля, отличающейся тем, что изменения количественных характеристик одного или нескольких родов простираются в веществе яйца по одному или нескольким направлениям. Для каждого данного яйца такой характер строения определяет способность яйца создавать градиентное поле некоторого частного вида; однако локализация самих градиентов не предопределена и обусловливается воздействиями, внешними по отношению к яйцу). Основную конституцию, на которую действуют эти факторы, некоторые биологи видят в исходной неоформленной структуре, о которой у
нас еще нет ясных представлений. Так, например, Конклин (Conklin) говорит о губчатоплазменном каркасе, другие - о клеточном скелете, и поскольку у биохимиков в настоящее время имеется сильная тенденция сводить структурные свойства к различного рода волокнам, настолько сильная, что Нидем (Joseph Needham) в своих лекциях на чтениях в честь Терри Порядок и жизнь (Order and life, 1936) рискнул высказать афоризм, что биология в основном изучает волокна, - можно ожидать обнаружения того, что внутренняя структура яйца является каркасом, состоящим из удлиненных протеиновых молекул или жидких кристаллов.
Несколько больше можно сказать о первом из поставленных выше вопросов, - о том, приводит ли первый митоз клетки к разделению ее на левую и правую части.
В силу фундаментального характера зеркальной симметрии гипотеза о том, что дело обстоит именно так, кажется достаточно правдоподобной. Однако ответ на этот вопрос не может представлять собой безоговорочного утверждения. Даже если эта гипотеза справедлива для случая нормального развития, мы, - благодаря экспериментам, которые впервые проделал Дриш (Hans Driesch) над морским ежом, - знаем, что один бластомер, изолированный от своего партнера на двухклеточной стадии
развития, превращается в целую гаструлу; последняя отличается от нормальной лишь несколько меньшими размерами.
р.17
Я привожу известные рисунки Дриша, относящиеся к его опытам с зародышем морского ежа: на рис.17а изображены нормальная гаструла и нормальный зародыш; на рис.17б - полугаструла и полузародыш, которые предполагал получить Дриш; на рис.17в -
маленькие, но целые гаструла и зародыш, которые он в действительности получил. Следует допустить, что так получается не со всеми видами. Открытие Дриша привело к различению между действительным и потенциально возможным ходом развития отдельных частей яйца.
Сам Дриш говорит о перспективном значении (prospektive Bedeutung), противопоставляя его перспективной потенции (prospektive Potenz); последняя шире первой, но сужается в ходе развития. Я проиллюстрирую этот важный момент на другом примере, на опытах по определению зародышей конечностей у земноводных. Гаррисон (R.G. Harrison) проводил эксперименты по пересадке срезов с внешней стенки тела, являющихся зачатками будущих конечностей. Согласно Гаррисону, передне-задняя ось к моменту пересадки была уже определена, однако спинно-брюшной и средне-боковой осям еще можно было придать обратное направление; таким образом, на этой стадии противоположность левого и правого относится еще к числу перспективных потенций
срезов и зависит от воздействия окружающих тканей, за счет чего эти потенции и реализуются.
Дерзкое вторжение Дриша в область нормального развития доказывает, что первое деление клетки может не фиксировать раз и навсегда левую и правую стороны растущего организма. Но и при нормальном развитии плоскость первого деления может не быть плоскостью симметрии (с.61-65)
с.35
Цветы, нежнейшие создания природы, также достойны внимания благодаря своей окраске и поворотной симметрии. Перед вами ирис (рис.35), обладающий симметрией третьего порядка. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка.
р.36
Следующая страница (рис.36) из книги Геккеля (Ernst Haeckel) Красота форм в природе (Kunstformen der Natur) показывает, что этот вид симметрии не так уж редко встречается и среди низших животных. Но биологи предупредили меня, что внешний вид этих иглокожих из класса офиуров (Ophiodea) является до некоторой степени обманчивым, - их личинки построены в соответствии с
принципом зеркальной симметрии.
р.37
Соображения такого рода не относятся к следующему рисунку из той же кникниги (рис.37), который изображает дискомедузу с
поворотной симметрией восьмого порядка, ибо кишечнополостные в филогенетическом развитии занимают такое место,
когда поворотная симметрия еще не уступила места зеркальной. Необычный труд Геккеля, в котором его интерес к конкретным формам организмов находит свое выражение в бесчисленных рисунках, выполненных с величайшими подробностями, является поистине сводом законов симметрии в природе. Для Геккеля как биолога показательны также тысячи рисунков в его Челленджерской монографии (Challenger Monograph), где он впервые описал 3508 новых видов радиолярий, открытых им во
время экспедиции на судне Челленджер» в 1887г. Об этом вкладе Геккеля в науку не следует забывать при виде тех совершенно умозрительных филогенетических построений, которыми нередко увлекался этот вдохновенный апостол дарвинизма, и его довольно поверхностной материалистической философии монизма, сильно нашумевшей в Германии на рубеже этого века.
Говоря о медузах, я не могу устоять от искушения привести небольшой отрывок из классического труда Д'Арси Томсона О росте и форме - шедевра английской научной литературы, автор которого сочетал в себе глубокое знание геометрии, физики и биологии с гуманитарной культурой и необычайно оригинальным даром проникновения в существо научных проблем.
Томсон описывает физические эксперименты с висящими каплями, которые служили для пояснения, с помощью аналогии, процесса образования медуз. Живая медуза, - говорит Томсон, - обладает настолько бросающейся в глаза правильной геометрической симметрией, что это наводит на мысль о том, что в процессе оформления и роста этих небольших организмов
принимают участие факторы физического или механического характера. Начать с того, что у медузы имеется вихреобразный колокол, или зонтик, с симметричным стеблем. Колокол пересекается радиальными каналами - четырьмя или в числе, кратном четырем; кромка колокола снабжена щупальцами, гладкими или как бы покрытыми бисером, отстоящими друг от друга на равных
расстояниях или упорядоченными по величине; симметрично расположены также чувствительные образования, в том числе твердые уплотнения, или отолиты. Едва появившись, медуза начинает пульсировать, колокол начинает звучать. Почки - миниатюрные копии родительского организма - часто появляются на щупальцах, на стебле, а иногда на кромке колокола; нам кажется, что мы видим, как один вихрь вызывает другой. С этой точки зрения развитие молодых медуз заслуживает специального рассмотрения. Установлено, например, что небольшие медузы Obeliа отпочковываются и принимают завершенную форму с необычайной быстротой; это наводит на мысль об автоматическом и чуть ли не мгновенном акте образования, а не о постепенном процессе разразвития (с.84-90)
Герман Вейль. Симметрия (Из общедоступных лекций, прочитанных в 1951г...Возможность прочесть эти лекции - моя лебединая песнь - дек. 1951). М., Наука, 1968, 192с.
http://ilib.mccme.ru/djvu/weyl-symmetry.htm
Вейль Г. О философии математики. М.-Л., 1934. (Репринт М: КомКнига, 2005)
Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. М: ИЛ, 1947.
Вейль Г. Полвека математики. М: Знание, 1969.
Вейль Г. Избранные труды. Математика. Теоретическая физика. (Серия «Классики науки») М: Наука, 1984.
Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.
Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности. М.: Эдиториал УРСС, 2004.
Герман Вейль. Классические группы. Их инварианты и представления. М: ИЛ, 1947, 404с.
http://www.twirpx.com/file/482986/
Левое и правое. Называя наиболее фундаментальные математические факты, я, вероятно, должен начать с факта, что перечисление элементов некоторого множества приводит к одному и тому же числу, независимо от порядка, в котором их берут, и упомянуть второй факт, что среди перестановок (N>=2) вещей можно различить четные и нечетные. Четные перестановки образуют подгруппу с индексом 2 внутри группы всех перестановок. Первый факт лежит в основе геометрического понятия размерности пространства, второй - в основе понятия его ориентации (sense - здесь подразумевает ориентацию).
Герман Вейль. Philosophy of Mathematics and Natural Science (Философия математики и естествознания, 1926)
Эта книга, цель которой изложить связь между группами и квантами...
В то время, как квантовая теория может быть прослежена только до 1900 года  (с Планка. Квантовая теория атомных процессов была построена Нильсом Бором в 1913), истоки теории групп затеряны в прошлом, едва ли доступном истории; даже наиболее ранние работы по искусству показывают. Что уже тогда были известны группы симметрии плоских фигур (до 17), хотя их теории была придана определенная форма только в последней части 18 и в 19 столетиях. Феликс Клейн считал понятие группы наиболее характерным для математики девятнадцатого века (Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIХ столетии). До настоящего времени наиболее важным его применением в естественных науках было описание свойств симметрии кристаллов, однако недавно было установлено, что теория групп имеет фундаментальное значение для квантовой теории; она  вскрывает существенные черты, которые не являются следствием ни специальной формы динамических законов, ни специальных предложений о действующих силах. Вполне возможно ожидать, что теория групп - именно та часть квантовой физики, которая займет наиболее прочное положение. Две группы, группа вращений в 3-мерном пространстве и группа перестановок, играют здесь главную роль, по-скольку, во-первых, законы, которым подчиняются возможные конфигурации электронов, сосредоточенных около неподвижного ядра атома или иона, сферически симметричны по отношению к ядру, а, во вторых, так, как различные электроны, входящие в атом или ион, тождественны, то их возможные конфигурации инвариантны относительно перестановки отдельных электронов...(из введения)
Ходили слухи, что групповой бич постепенно вытесняется из квантовой физики. Это, конечно, не верно, по крайней мере в отношении групп Лоренца и вращений, но что касается группы перестановок, то ее, кажется, действительно можно избежать с помощью принципа запрета Паули. Тем не менее эта теория должна сохранить представления группы перестановок как естественное средство  понимать, что происходит при введении спина, даже если пренебречь его специфическим динамическим эффектом (из предисловия ко второму изданию)
Существо новой квантовой механики Гейзенберга-Шредингера-Дирака должно усматриваться в том, что с каждой физической системой  связываются величины, образующие - в смысле математической техники - некоммутативную алгебру, элементы которой суть амии физические величины (из предисловия к первому изданию)
Герман Вейль. Теория групп и квантовая механика. М., Наука, 1986, 496с.(перевод первой в мировой литературе монографии по теории групп в квантовой механике (первое издание вышло в Лейпциге в 1928г., второе - в 1931г.))
http://lib.mexmat.ru/books/66379
Теперь я перехожу к другой части работы Вейля, которая относится к 1929г. и называется теорией двухкомпонентного нейтрино Вейля. Он придумал эту теорию в 1929г. (и изложил ее) в одной из своих очень важных статей (H.Weyl. Z. Phys. 56, 330 1929). Русский перевод: Г.Вейль. Электрон и гравитация, пер. С.П. Демушкина, в кн.: Г.Вейль. Математика. Теоретическая физика. Избранные труды, М., Наука, 1984, с.198 -218), к которой я вернусь позже, как математическую возможность, удовлетворяющую большинству требований физики. Но она была отвергнута им и последующими физиками, так как не удовлетворяла лево-правой симметрии. Когда в 1957г. осознали, что лево-правая симметрия верна лишь приближенно, стало ясно, что эта теория Вейля должна быть немедленно пересмотрена. Так и сделали, и позднее было подтверждено теоретически и
экспериментально, что это теория фактически содержала верное описание нейтрино. Грубо говоря, в обычной теории нейтрино оно состоит из четырех компонентов: левоспиральное (left-handed, леворучное) нейтрино VL, правоспиральное (right-handed, праворучное) нейтрино VR, левоспиральное антинейтрино ^VL и правоспиральное антинейтрино ^VR. В теории Вейля их
только два: левоспиральное нейтрино VL И правоспиральное антинейтрино ^VR. Эта теория не является лево-право-симметричной, потому что если сделать отражение левоспирального нейтрино, оно становится правоспиральным нейтрино, а правоспиральное нейтрино VR не существует в теории
двухкомпонентного нейтрино. Таким образом, само существование нейтрино Вейля нарушает лево-правую симметрию. Мы можем назвать это нарушение слабым, потому что нейтрино очень слабо связано со всеми остальными частицами во Вселенной.
Ч. Янг (Yang Chen Ning). Вклад Германа Вейля в физику (1986). Из книги Г. Вейль. Время, пространство, материя. Берлин, 1918, с.435
http://www.twirpx.com/file/202562/?rand=9038581
Сущность идей Римана (изложенных в его речи О гипотезах, лежащих в  основании геометрии) заключается в следующем. Хорошо известно, что каждая поверхность в трёхмерном пространстве в малом (т.е. в окрестности каждой своей точки M) устроена как обычная (эвклидова) плоскость: её геометрия мало отличается от геометрии плоскости, касательной к поверхности в точке M. (Именно поэтому мы воспринимаем малые участки (сферической!) поверхности Земли как куски плоскости). Вся поверхность в целом может быть реконструирована из отдельных плоских площадок; кривизна поверхности определяется взаимным расположением этих инфинитезимальных (бесконечно малых) площадок друг относительно друга. Б. Риман предложил таким же образом конструировать из локально плоских участков любого числа измерений многомерные искривлённые пространства, ныне называемые пространствами Римана.
В книге Raum, Zeit, Materie (Время, пространство, материя. Берлин, 1918) Г. Вейль развил эту концепцию дальше. Движимый желанием сделать реальный четырёхмерный (пространственно-временной) мир возможно более гибким, он предложил конструировать искривлённые пространства из (многомерных) плоских площадок, устроенных не как обычное пространство Эвклида, а как аффинное пространство, лишённое всякой метрики. Такие пространства (чисто математической их теории посвящена статья Reine Infinitesimalgeotnetrie (Чистая инфинитезимальная геометрия. Mathematische Zeitschrift, 2, 1916, с.384-411, вышедшая в свет почти одновременно с книгой) Г. Вейль назвал пространствами аффинной связности; их важный частный случай, подробно разобранный в книге, навсегда сохранил название пространств Вейля.
Согласно схеме Клейна (Эрлангенская программа - общая концепция геометрии, в основу которой положено учение об автоморфизмах соответствующей геометрической теории), каждое пространство характеризуется своей группой автоморфизмов - совокупностью преобразований, сохраняющих рассматриваемые в этой геометрии свойства фигур. Для эвклидовой геометрии роль таких автоморфизмов играют движения, а для аффинной геометрии - так называемые аффинные преобразования, характеризующиеся тем, что они переводят прямые линии в прямые линии; примерами аффинных преобразований могут служить, например, так называемый сдвиг или сжатие к прямой. Так как преобразования такого рода не сохраняют ни расстояний между точками, ни величин углов, то в аффинной геометрии (а следовательно - и в геометрии аффинной связности) нельзя говорить ни о расстояниях, ни об углах. Однако величина отношения двух заданных на одной прямой отрезков не меняется при аффинных преобразованиях; соответственно этому и в пространстве аффинной связности Вейля можно говорить о величине отношения двух отрезков (двух дуг) одной геодезической линии - линии нулевой искривлённости пространства аффинной связности, играющей в этом пространстве роль прямой.
Существует ещё одна крайне важная группа преобразований, промежуточная между движениями и аффинными преобразованиями, - это группа преобразований подобия, сохраняющих форму всех фигур, но меняющих их размеры. В геометрии, автоморфизмами которой служат преобразования подобия, имеет смысл понятие угла между линиями, но понятие расстояния лишено смысла (ибо преобразования подобия сохраняют углы, но не расстояния!). Пространства Вейля как раз и характеризуются тем, что локально они устроены как плоское пространство, автоморфизмами которого являются преобразования подобия; в этих (искривлённых) пространствах также нельзя говорить о расстояниях, но имеет смысл понятие угла между линиями.
Заметим, что впоследствии Г. Вейль пошёл ещё дальше, рассмотрев искривлённые пространства, в малом устроенные как плоские площадки, группа автоморфизмов которых задаётся проективными преобразованиями или конформными преобразованиями (инверсиями). Эти построения Вейля были затем глубоко развиты и усовершенствованы знаменитым французским математиком Эли Картаном, научное творчество которого так тесно связано с творчеством Вейля, как это редко бывает у двух разных учёных (см., например, книгу: Э. Картан. Пространства аффинной проективной и конформной связности. Казань, 1962 - http://bookre.org/reader?file=444677 )...
в 1956г. американские физики Чженьин Янг и Цзундао Ли обнаружили, что частицы со слабым взаимодействием не допускают отражения от плоскости или от точки (инверсии), т.е. что зеркальное движение переводит каждую такую частицу в несуществующую в реальном мире частицу. Это наблюдение разрушало один из основных для всей квантовой механики законов симметрии; согласно остроумному замечанию американского физика и популяризатора Кеннета Форда (См. превосходную научно-популярную книгу: Кеннет Форд. Мир элементарных частиц. М., Мир, 1965, уделяющую весьма много места соображениям симметрии, без которых сегодня немыслимо говорить об элементарных частицах даже в книге для начинающих!), из него следует, что гипотетические микросущества, на повседневной жизни которых сказываются слабые взаимодействия, сочли бы зеркальное изображение некоторых реально протекающих в микромире процессов столь же явственно нарушающим физические законы, как сочли бы мы, скажем, процесс поглощения пищи, показанный нам в кино при условии пропускания киноленты через проектор в обратном направлении (в таком кинофильме человек будет извлекать пищу изо рта и класть её на тарелку!). Признанием фундаментального характера открытия Янга и Ли явилось присуждение им в 1957г. Нобелевской премии по физике. Волнение в среде физиков, вызванное открытием Янга и Ли (неужели утеряна Ариаднина нить принципов симметрии?), несколько утихло после высказанных одновременно самими Янгом и Ли, с одной стороны, и Л.Д. Ландау, с другой стороны, предположений о том, что частицы со слабым взаимодействием выдерживают так называемую комбинационную инверсию, т.е. симметрию относительно плоскости или относительно точки с одновременным изменением знака заряда, другими словами - с переходом от частицы к античастице (См. Л.Д. Ландау. О законах сохранения при слабых взаимодействиях. Журнал экспериментальной и теоретической физики, т.32, вып.2, 1957, с.405-406; Ч. Янг. Закон сохранения чётности и другие законы симметрии. Успехи физических наук, т.66, вып.1, 1958, с.79-87; Ц. Ли. Слабое взаимодействие и несохранение чётности. Там же, с.89-97. Таким образом, в этом случае предполагавшийся ранее справедливым «принцип симметрии» был лишь заменён другим.
Мы здесь намеренно ограничиваемся изложением положения дел в том виде, каким оно представлялось в конце 50-х годов. В настоящее время большинство физиков считает, что принцип инвариантности частиц относительно комбинационной инверсии также не выдержал экспериментальной проверки, так что вопрос о принципах симметрии, которым подчиняются частицы со слабым взаимодействием, остаётся открытым (см. по этому поводу превосходный обзор: Ю. Вигнер. Нарушение симметрии в физике. Успехи физических наук, т.89, вып.3, 1966, с.453-456. Вигнер предпослал своему изложению следующее довольно грустное резюме: Из семи зеркал, изобретённых физиками для описания симметрии законов природы, три уже разбились вдребезги; из оставшихся только одно можно считать полностью целым)...
Согласно современным квантовомеханическим представлениям, семейства элементарных частиц отвечают собственным векторам некоторого оператора Шрёдингера; при этом обычно соответствующий оператор Шрёдингера удовлетворяет (хотя бы приближённо) довольно жёстким условиям симметрии, из которых вытекают определённые соотношения между свойствами отвечающих этому оператору элементарных частиц. Так, например, симметрия оператора Шрёдингера относительно группы O(3) вращений трёхмерного пространства согласована с наличием тройки линейно независимых векторов, которым должна отвечать тройка элементарных частиц с близкими свойствами; знание структуры группы O(3) позволяет математически описывать свойства этой тройки частиц. Такое описание было дано на основе отвечающего группе O(3) принципа симметрии» английским физиком Н. Кеммером ещё в 1938г. - а первая из тройки элементарных частиц, полностью удовлетворяющих предсказанным Кеммером свойствам (пионов или пи-мезонов), была открыта англичанином С. Пауэлом лишь в 1947г. - через девять лет после появления работы Кеммера. Существенно при этом, что оператор Шрёдингера для пионов оказался зависящим от некоторой совершенно новой величины (изотопического спина), которую можно рассматривать как вектор в некотором трёхмерном пространстве (не имеющем никакого отношения к реальному трёхмерному пространству, в котором мы живём и в котором наблюдаются элементарные частицы!), и инвариантным относительно вращений в пространстве этого вектора. Характер этого вспомогательного пространства нам совершенно не важен, ибо для применений соображений симметрии важно лишь знание группы автоморфизмов, не меняющих вид оператора Шрёдингера
И.М. Яглом. Герман Вейль и идея симметрии
http://ega-math.narod.ru/Reid/Weyl2.htm


  


СТАТИСТИКА