Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Принцип двойственности Хлебникова
от 03.03.07
  
Мысли


Вам непонятно?

Я умер
И засмеялся.
Просто большое стало малым, малое большим.
Просто во всех членах уравнения бытия знак - да - заменился знаком - нет -.
Таинственная нить уводила меня в мир бытия, и я узнавал вселенную внутри моего кровяного шарика.
Я узнавал главное ядро своей мысли как величественное небо, в котором я нахожусь.
Запах времени соединял меня с той работой, которой я (не верил) перед тем как потонул, увлеченный ее ничтожеством.
Теперь она висела, пересеченная тучей, как громадная полоса неба, заключавшая (текущие) туманы и воздух и звездные кучи.
Одна звездная куча светила, как открытый глаз атома.
И я понял, что все остается по-старому, но только я смотрю на мир против течения.
Я вижу, как нетопырь своего собственного я.
Я полетел к родным.
Я бросал в них лоскуты бумаги, звенел по струнам.
Заметив колокольчики, привязанные к ниткам, я дергал за нитку.
Я настойчиво кричал ау из-под блюдечка, но никто мне не отвечал; тогда закрыл глаза крыльями и умер второй раз, прорыдав: как скорбен этом мир!
1922 Велимiр Хлъбников. Я умер и засмеялся
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_199.htm
Пусть на могильной плите прочтут (24.XI.904)
О пяти и более чувств(ах) (24.XI.1904)

http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_163.htm
Роль инволюций
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_330.htm

Тогда как свойства фигур, с которыми имеет дело Евклидова геометрия, являются метрическими (конкретные величины углов, отрезков, площадей), а эквивалентность фигур равнозначна их конгруэнтности (т.е. когда фигуры могут быть переведены одна в другую посредством движения с сохранением метрических свойств), существуют более глубоко лежащие свойства геометрических фигур, которые сохраняются при преобразованиях более общего типа, чем движение
прямая есть объект проективной геометрии
коническое сечение есть объект проективной геометрии
Что такое проективная геометрия (по простому)
http://px-pict.com/10/3.html
Проективная геометрия занимается изучением свойств фигур, инвариатных при классе проективных преобразований, а также самих этих преобразований.
Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности. Двойственными утверждениями в проективной геометрии на плоскости являются известные теоремы Паскаля и Брианшона. Теорема Брианшона утверждает, что во всяком шестистороннике, описанном около линии 2-го порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке. Теорема Паскаля утверждает, что во всяком шестивершиннике, вписанном в линию 2-го порядка (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой. Впервые сформулирована и доказана Блезом Паскалем (19 июня 1623 - 19 августа 1662), в возрасте 16 лет как обобщение теоремы Паппа (Теорема Паппа является вырожденным случаем в теореме Паскаля: если заменить в теореме Паскаля вписанный в конику шестиугольник на вписанный в пару пересекающихся прямых, то она станет эквивалентной теореме Паппа. Сам Паскаль считал пару прямых коническим сечением (то есть считал теорему Паппа частным случаем своей теоремы)). Эту теорему Паскаль взял за основание своего трактата о конических сечениях. Сам трактат пропал и известно лишь его краткое содержание по письму Лейбница, который во время своего пребывания в Париже имел его в своих руках, и краткое изложение основных теорем этого трактата, составленное самим Паскалем (Опыт о конических сечениях. Приложение: Письмо Лейбница к Перье…племяннику г. Паскаля. Историко-математические исследования. М., 1961).
...
Блез Паскаль (1623-1662), исключительный гений и глубокий философ, обнаружил удивительно раннее развитие в геометрии, и в возрасте 16 лет написал Трактат о конических сечениях, т.е. о кривых, изучавшихся древними как плоские сечения круглого конуса и играющих важную роль в теории движения планет Кеплера.
Паскаль использовал труды своего современника Дезарга, одного из наиболее крупных французских геометров, который, наряду с самим Паскалем, был одним из предвестников проективной геометрии. Отправляясь, как и Дезарг, от перспективы, Паскаль смог установить поистине чудесное свойство этих кривых, которое сам Паскаль называл мистической гексаграммой, состоящее в том, что если в коническое сечение вписан шестиугольник, то точки пересечения трех пар его противоположных сторон лежат на одной прямой. Эта первая работа Паскаля показала, что он является великим геометром.
После того как Паскаль создал этот геометрический труд, он стал основоположником теории вероятностей...Соединяя, - говорил
он, - строгость математических доказательств с ненадежностью случайности, новая наука может по праву получить поразительное название геометрии случайностей - Э. Картан. Роль Франuии в развитии математики
...
Первую самостоятельную научную работу - усиление, а затем и обобщение закона двойственности Александера, Л.С. Понтрягин делает в 1927, в возрасте 19 лет
Лев Семёнович Понтрягин. Теорема двойственности и топологическая алгебра
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_322.htm

Принцип двойственности в абстрактной теории множеств. Пусть дано множество М. Рассмотрим систему всех его подмножеств А, В, С и т. д. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества М, которая формулируется лишь в терминах операций суммы, пересечения и дополнения, то верна также и теорема, получающаяся из данной путём замены операции суммы и пересечения соответственно операциями пересечения и суммы, пустого множества О - всем множеством М, а множества М - пустым множеством О. При этом дополнение суммы заменяется пересечением дополнений, а дополнение пересечения - суммой дополнений.

***

РигВеда I, 154. К Вишну

1 Я хочу сейчас провозгласить героические деяния Вишну
Который измерил земные пространства,
Который укрепил верхнее общее жилище,
Трижды шагнув, (он,) далеко идущий.

2 Вот прославляется Вишну за героическую силу,
Страшный, как зверь, бродящий (неизвестно) где, живущий в горах,
В трех широких шагах которого
Обитают все существа.

3 Пусть к Вишну идет (этот) гимн-молитва,
К поселившемуся в горах, далеко шагающему быку,
Который это обширное, протянувшееся общее жилище
Измерил один тремя шагами.

4 (Он тот,) три следа которого, полные меда,
Неиссякающие, опьяняются по своему обычаю,
Кто триедино землю и небо
Один поддерживал - все существа...

5 Я хотел бы достигнуть этого милого убежища его,
Где опьяняются мужи, преданные богам:
В самом деле, ведь там родство широко шагающего.
В высшем следе Вишну - источник меда.

6 Мы хотим отправиться в эти ваши обители,
Где (находятся) многорогие неутомимые коровы.
Ведь именно оттуда мощно сверкает вниз
Высший след далеко идущего быка.

РигВеда. Мандалы I-X. перевод Т.Я. Елизаренковой
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_863.htm
Куда же спряталась самая свободная алгебра?
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_179.htm
Куда же спряталась самая свободная геометрия?
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_303.htm
Л.С. Понтрягин. Из глубины разума
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_505.htm
Самое свободное число
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_111.htm
 
***

Проективная геометрия - освященный веками предмет, восходящий к исследованиям перспективы живописцами Возрождения. Для наших глаз параллельные прямые - например, железнодорожные рельсы - представляются сходящимися на бесконечности. Если сменить точку наблюдения, расстояния и углы оказываются другими, но точки остаются точками и прямые остаются прямыми. Эти факты наводят на мысль о модификации евклидовой планиметрии, основанной на понятиях множества точек, множества прямых и отношении, посредством которого точка лежит на прямой, и удовлетворяющей следующим аксиомам:
Для любых двух разных точек имеется единственная прямая, на которой лежат они обе.
Для любых двух разных прямых имеется единственная точка, лежащая на них обоих.
Существуют четыре точки такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой.
Существуют четыре прямые, никакие три из которых не имеют точки, лежащей на всех трјх
этих прямых.
Структура, удовлетворяющая таким аксиомам, называется проективной плоскостью. Часть обаяния этого определения заключается в том, что оно самодуально: если мы поменяем друг на друга слова точка и прямая (и то же сделаем с отношением кто на ком лежит), определение останется тем же самым.

RP^1 "= S^1
CP^1 "= S^2
HP^1 "= S^4
OP^1 "= S^8
...
PSL(2;R) "= SO(2;1)
PSL(2;C) "= SO(3;1)
PSL(2;H) "= SO(6;1)
PSL(2;O) "= SO(9;1)
...
проективное пространство:
Для любых двух разных точек p; q имеется единственная прямая pq, на которой лежат они обе.
Для любой прямой имеются как минимум три точки, лежащие на этой прямой.
eсли a; b; c; d являются разными точками и имеется точка, лежащая одновременно на ab и cd, то существует точка, лежащая одновременно на ac и bd.
...
Проективная геометрия была модной в 1800-х годах, когда в нее внесли значительный вклад такие знаменитости, как Понселе, Брайансон, Штайнер и фон Штаудт. Позже она была оставлена в тени другими формами геометрии. Однако, работа над этой темой продолжалась, и в 1933 Рут Муфанг сконструировала замечательный пример недезарговой проективной плоскости, используя октонионы. Как мы увидим, эта проективная плоскость заслуживает наименования OP^2.
...концепция октонионного проективного пространства OP^n имеет смысл только для n <= 2, в силу неассоциативности O. Это означает, что различные структуры, связанные с действительными, комплексными и кватернионными проективными пространствами, имеют октонионные аналоги только для n <= 2.
Простые алгебры Ли являются прекрасным примером этого феномена. Существует 3 бесконечных семейства классических простых алгебр Ли, которые проистекают из групп изометрий проективных пространств RPn, CPn и HPn. Существуют еще 5 исключительных простых алгебр Ли. Они были открыты Киллингом и Картаном в конце 1800-ых. В то время смысл этих исключений был покрыт тайной: они не могли появиться как группы симметрий известных структур. Только позже стала ясной их связь с октонионами. Оказалось, что 4 из них проистекают из групп изометрий проективных плоскостей над O, O х C, O х H и O х O. Оставшаяся пятая - есть группа автоморфизмов октонионов!
Октонионы являются 8-мерной алгеброй с базисом 1; e1; e2; e3; e4; e5; e6; e7 и их умножение задано
О семь!
Это - плоскость Фано, маленькое приспособление (gadget) с 7 точками и 7 линиями. Линии - это стороны (равностороннего) треугольника, его высоты и окружность, содержащая все середины сторон. Каждая пара различных точек лежит на уникальной линии. Каждая линия содержит три точки и каждая из этих троек имеет циклическую упорядоченность, показанную стрелками. Если e(i); e(j) и e(k) циклически упорядочены этим способом, то
e(i)e(j) = e(k); e(j)e(i) = - e(k):
Вместе со следующими правилами:
1 - единица по умножению,
e(1);:::; e(7) - квадратные корни -1,
плоскость Фано полностью описывает алгебраическую структуру октонионов. Удвоение индексов соответствует вращению картинки на треть полного угла.
Это, конечно, лаконичная мнемоника, но не скрывается ли за этим нечто более глубокое?
***

РигВеда X, 72. К Богам

8 Восьмеро сыновей у Адити,
Которые рождены из (ее) тела.
С семерыми она присоединилась к богам,
Мартанду отбросила прочь.

Бг ДiдДубСноп наш
http://kirsoft.com.ru/skb13/KSNews_382.htm

***
Восьмерица - первый действительный куб. Как произведение четного числа 2 дважды на самого себя восьмерица являет необычайную слаженность и потому называется пангармонической. Не случайно следы восьмерицы обнаруживаются в космическом устройстве: существует восемь звездных сфер, а также восемь астрономических кругов (зодиак, горизонт, круг равноденствия, круг, проходящий через полюса, и т.д.). Из-за пронизывающей ее четности восьмерицу именуют матерью и Реей, поскольку Рея - мать богов и ее числами являются 2 и 8. По совсем прихотливой причине восьмерицу называют Евтерпой: восьмерица - eytreptos (поворотливая), а это слово по своему звучанию напоминает Евтерпу - А.Ф. Лосев. История античной эстетики. т.7. М.: Искусство, 1980. Аритмология Ямвлиха в тр. Теологумены арифметики. с.414
***
Да! Плоскость Фано является проективной плоскостью над 2-элементным полем Z(2). Другими словами, она состоит из линий, проходящих сквозь начало координат в векторном пространстве Z(2)^3.
Поскольку каждая такая линия содержит единственный ненулевой элемент, можно также думать о плоскости Фано, как состоящей из семи ненулевых элементов Z(2)^3. Если начало координат в Z(2)^3 соответствует 1 из O, мы получим следующую картину октонионов:
пример, наименьшей из всех, проективной плоскости
Заметим, что плоскости, проходящие через начало координат этого 3-мерного векторного пространства, дают подалгебры O, изоморфные кватернионам; линии, проходящие через начало координат, дают подалгебры, изоморфные комплексным числам, а само начало координат дает подалгебру, изоморфную действительным числам.
Что в действительности мы имеем здесь - это описание октонионов как закрученной групповой алгебры (twisted group algebra). Задана любая группа G, групповая алгебра R[G] состоит из всех конечных формальных линейных комбинаций элементов G с действительными коэффициентами. Это - ассоциативная алгебра с произведением, полученным из произведения группы
G. Можно использовать любую функцию f
f: G^2 --> {+1,-1}
для кручения этого произведения, определяющего новое произведение *
*: R[G] х R[G] --> R[G]
посредством:
g * h = f(g,h) gh;
где g, h из G и R[G]. Можно записать уравнение, включающее f, которое обеспечит ассоциативность этого нового произведения. В этом случае назовем f - 2-коциклом. Если f удовлетворяет определенному дополнительному уравнению, произведение * будет также коммутативным и мы назовем f - стабильным 2-коциклом. Например, групповая алгебра R[Z(2)] изоморфна произведению 2 копий R, но мы можем закрутить (twist) ее посредством стабильного 2-коцикла для получения комплексных чисел. Групповая алгебра R[Z(2)^2] изоморфна произведению 4 копий R, но можно закрутить ее с помощью 2-коцикла и получить кватернионы. Аналогично, групповая алгебра R[Z(2)^3] есть произведение 8 копий R, и что действительно мы сделали в этом разделе, -
это описали функцию f, которая позволяет закручивать эту групповую алгебру для получения октонионов. Так как октонионы неассоциативны, эта функция не является 2-коциклом. Однако, ее кограница есть - стабильный 3-коцикл, который позволяет определить новый ассоциатор и сплетение (braiding) для категории Z(2)^3 -градуированных векторных пространств, превратив
ее в симметричную моноидальную категорию (monoidal category) [Helena Albuquerque and Shahn Majid, Quasialgebra structure of the octonions, preprint math.QA/9802116.]. В этой симметричной моноидальной категории октонионы являются коммутативным моноидным объектом. В менее технических терминах: эта категория обеспечивает контекст в котором октонионы являются коммутативными и ассоциативными! До сих пор эта идея только начала разрабатываться.
Октонионы. Баэз Джон С. (Калифорнийский Университет. John Baez, The Octonions. Bull. Amer. Math. Soc. 39, 2002, с.145-205)
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/286/ru/pdf/main-05.pdf c.120-176
http://www.ams.org/journals/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/home.html
http://www.modcos.com/articles.php?id=167

Евгений Иванович Кубышкин. Октавы и наш восьмимерный мир. Модель пространства-времени на основе алгебры октав. 2013. 256с.
http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=172023
http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=171944

Со спутанной головой,
руки опустив,
некто заушения ждет
на краю скалы серебряной в тумане.
Сине-черная тьма
вьется причудливо,
в складки ложась,
либо струями звонкими синими падает отвесно
вниз,
где пропасть виднеется.
С опущенными руками заушения
ждет.
Изогнувшись, два мака
в очи глядят вам.
Красно-черно, запекшейся крови,
на ножках узорных,
на поле мерцающем синем.
Синим зраком, там,
где туманная пропасть.
Ало-черной запекшейся крови,
на поле мерцающем синем.
В очи глядят вам упорно,
насмешливо, страстно
и беззвучно дрожат их губы,
колеблемые смехом.
Тонкие губы дрожат: миг -
и все потрясет хохот безумный,
веселый.
Либо в складки легла,
либо, звеня синими струями,
падает вниз по отвесному камню
и
замолкает,
слабея,
внизу,
где пропасть туманная стелется.
Либо синими ручьями звенят,
падая вниз.
Очи подымает тогда василек у ног лежащей,
долго будет глядеть.
Ножки узорные.
- Вам непонятно? -
гневно я крикну.
Красный след зачерти от угла до угла.
Но слаба, холодна страница,
возьми красный след, зачерти страницу.
И пусть от него веет страданием,
хохотом, ужасом диким, призраками,
что грезятся там, где кровью полита земля.
4.VIII.1905 (в возрасте 19 лет)
ВелиМир Хлебников (28 X. 1885-1922)

  


СТАТИСТИКА