Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Рождение предельного цикла
от 11.04.07
  
Мысли


А.А. Андроновым и его учеником Н.Н. Баутиным была решена трехмерная нелинейная задача о движении самолета, снабженного автопилотом

Автоволна выглядит, как раскручивающаяся спираль, точнее - такие спирали являются центрами автоволн. Каждая из них посылает волны, которые, встречаясь друг с другом, претерпевают разрывы. Места этих разрывов сами становятся центрами новых спиралей, таким образом обеспечивается автоволновой режим. Наличие в среде многих центров самоподдерживающихся волн позволяет рассматривать автоволновые процессы как синергетические, кооперативные...спиральные вращающиеся волны встречаются в самых различных средах. Они обнаружены в сердце, и на сетчатке глаза, и при изучении волн эпидемий, а вместе с тем по форме напоминают снимки спиралевидных галактик

Алатырь - бел-горюч камень - всем камням отец
http://kirsoft.com.ru/mir/KSNews_263.htm
 
РигВеда III, 60. К Рибху (и Индре)

Автор - Вишвамитра. Размер - джагати (четыре двенадцатисложные пады). Рибху - rbhu букв. искусный, класс полубогов, сыновей Судханвана (букв. хорошего лучника), удивительных мастеров, получивших за свое искусство долю в жертвоприношении
1 - Автор говорит о том, каким путем его предки - Ушиджи пришли к знанию историй о божественных мастеровых Рибху: с помощью размышления manasa, фамильных традиций banduhuta - букв. родственные связи, и с помощью знания традиционных сюжетов vedasa
2a - См. I, 161, 2
2b - См. I, 161, 7
3b - Рибху сделали себе из одного коня еще другого, запрягли его в колесницу и отправились к богам. Как отмечает Гельднер, выражение отпрыски Ману подчеркивает то, что первоначально Рибху были смертными, поскольку от Ману происходят именно смертные
3d...способные созидатели - с помощью способностей к созиданию sukrtah sukrtyaya
4b - Имеется в виду то, что благодаря своему удивительному мастерству Рибху добились, чего хотели: они стали бессмертными богами с правом на долю в жертвоприношении
7a…состязаясь vajayan - Это слово содержит звуковой намек на имя Ваджа

1 То здесь, то там размышлением, родственной связью, о мужи,
(Наконец,) наукой Ушиджи постигли те ваши
Силы чудесных превращений, благодаря которым (меняющие) облик по (своему) побуждению
Сыновья Судханвана до(бились) доли в жертвоприношении.

2 (Те) силы, которыми вы разукрасили чаши (для сомы),
(Та) поэтическая мысль, которой вы воссоздали корову из шкуры,
(То) размышление, которым вы вытесали пару буланых коней, -
С помощью (всего) этого вы полностью добились состояния богов, о Рибху.

3 Рибху полностью добились дружбы Индры.
Помчались отпрыски Ману, (искусные) мастера.
Сыновья Судханвана приобрели бессмертие,
Потрудившись изо (всех) сил, способные созидатели, - с помощью способности к созиданию.

4 Вы ездите вместе с Индрой на одной колеснице к выжатому (соме):
Так вас сопровождает блеск (сбывшихся) желаний.
Вашим способностям к созиданию невозможно подражать, о жрецы,
О Рибху - сыновья Судханвана, и (вашим) героическим подвигам.

5 О Индра, вместе с Рибху, (или) с Ваджами, вливай в себя
Сому, окропленного (водой), выжатого в руках.
Приведенный в движение поэтической мыслью, о щедрый, в доме почитателя
Опьяняйся вместе с мужами - сыновьями Судханвана!

6 О Индра, сопровождаемый Рибху, или Ваджами, опьяняйся здесь у нас
На этом выжимании в (полную) силу, о многовосхваляемый!
Эти пастбища (сомы) предназначаются тебе -
(Таковы) заветы богов и (обеты) человека вместе с (естественными) установлениями.

7 О Индра, состязаясь здесь с Рибху, или Ваджами,
Приезжай на жертвенное восхваление певца
С сотней деятельных намерений для Аю,
Зная тысячу путей для возливания жертвы!

Александр Александрович Андронов
Александр Александрович Андронов - 29 марта (11 апр.) 1901, Москва - 31 окт. 1952. Ниж. Новгород
Рождение предельного цикла. 1928
Начало статьи А.А. Андронова, содержащее краткое изложение его диссертационной работы, опубликованное в Докладах IV сьезда русских физиков. М., 1928. с.28
Рождение предельного цикла
спиральные вращающиеся волны встречаются в самых различных средах. Они обнаружены в сердце, и на сетчатке глаза, и при изучении волн эпидемий, а вместе с тем по форме напоминают снимки спиралевидных галактик
Рождение предельного цикла
Из лекции N I, прочитанной А.А. Андроновым 10 февраля 1950г.
http://www.rf.unn.ru/rus/mus/andronov/index.html
р.11.5Типичный фазовый портрет нелинейной системы изображен на рис.11.5. Здесь имеются следующие особые точки: точка А - устойчивый фокус, точка В - неустойчивый узел и точка С - седло. В соответствии с этим сепаратрисы разделяют фазовый портрет на четыре области: 1 - затухающих колебаний, 2 - автоколебаний, 3 и 4 - неустойчивых апериодических процессов
Т.Я. Лазарева, Ю.Ф. Мартемьянов. Основы теории автоматического управления. Учебное пособие. 2004
http://window.edu.ru/resource/622/21622/files/lazarev1.pdf
что такое автоволны. Под этим словом понимают самоподдерживающиеся волны в так называемых активных средах, таких, где есть источники энергии. Среда внутри химического реактора с необходимыми для реакции реагентами - хороший пример, но не единственный. Лауреат Ленинской премии В.И. Кринский в своем докладе привел такую иллюстрацию: примером активной восстановительной среды, то есть среды, в которой источники энергии возрождаются вновь и вновь, может служить степь - волна горения во время степного пожара проходит по ней, но за год вырастает новая трава. Это - пример природный. Но в лаборатории легко построить установку, составив вместе много горелок: волна проходит по ним, выбирая масло из фитиля, но масло вновь поднимается из масленки, и возникает новая волна. За счет источников в среде автоволны сохраняют постоянными свои характеристики. Едва они были открыты и начали изучаться, как оказалось, что такие образования физики встречают при изучении горения, медики - эпидемий, экологи - при анализе изменения численности популяций, физиологи - стараясь понять механизмы передачи возбуждения в нервных и мышечных волокнах. Автоволны оказались поистине вездесущими
Н. Климонтович. Синергетика-на-Оке. Знание-Сила 1983(12). Конференция Синергетика-83, г. Пущино
http://spkurdyumov.narod.ru/Oka.htm
Спиральные волны и ведущий центр в среде с реакцией Белоусова Жаботинского
Спиральные волны и ведущий центр в среде с реакцией Белоусова-Жаботинского. Преимущества этой системы состоят в том, что автоволновые структуры в ней имеют макроскопические размеры (порядка нескольких миллиметров), а процессы эволюции структур являются достаточно медленными (с характерными временами порядка минуты). В отличие от ведущих центров, спиальные волны не связаны с присутствием каких-либо посторонних включений, их обычно получают путем разрыва сложного фронта волны возбуждения. Все спиральные волны имеют одинаковую частоту. Поэтому, как видно из рис., спиральные волны сосуществуют между собой, но гасят ведущий центр, являющийся более медленным автоволновым источником. Спиральные волны предтавляют собой главный тип элементарных самоподдерживающихся структур в однородных возбудимых средах. Подобно вихрям в сверхпроводнике или в сверхтекучем гелии, они чрезвычайно устойчивы.
А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. Введение в синергетику (Спиральные волны в распределенных возбудимых средах)
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_745.htm
В 1929 году Андронов публикует в Париже небольшую статью, в которой снова обращает внимание на возможность использования теории Пуанкаре для исследования автоколебании. Для нас эта публикация интересна еще и тем, что в ней есть ответ на вопрос о посвященности физиков в химические колебания. В качестве примеров автоколебании в ней называются колебания струны, переменных звезд цефеид, маятника Фроуда, лампового генератора, и далее: в химии - периодические реакции. И Андронов ссылается на брошюру Р.К. Кремана - Периодические явления в химии (Штутгарт, 1913). Этого, наверное, вполне достаточно для заключения, что Андронов был в курсе химических колебаний
Б. Вольтер. Легенда и быль о химических колебаниях. Знание-Сила 1988(4)
http://spkurdyumov.narod.ru/Ximiya.htm
Автоколебания занимали А.А. Андронова не только в связи с техникой. Он давно интересовался астрофизикой и еще будучи аспирантом высказал предположение, что цефеиды (звезды с периодически меняющимся блеском) являются автоколебательными системами. В 1941г. он предложил одному из своих аспирантов, С.А. Жевакину, заняться теоретическим исследованием механизма колебаний цефеид. Эта работа была прервана войной и возобновлена в 1946г. Недавно С.А. Жевакиным была предложена теория самовозбуждения колебаний в цефеидах. Интерес А.А. Андронова к астрофизическим вопросам стал еще более активным в связи с развитием радиоастрономии
Памяти А.А. Андронова. (Г.С. Горелик. УФН Т. XLIX. вып.3 март 1953)
http://ufn.ru/ufn53/ufn53_3/Russian/r533d.pdf
Рождение предельного цикла (А.А. Андронов, С.А. Жевакин)
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_509.htm
В жизни часто приходится слышать, что сердце здорового человека работает как часы. За этим неявно подразумевается, что сердечно-сосудистая система человека есть автоколебательная система, функционирующая в режиме периодических колебаний. С научной точки зрения здесь пока еще нет полной ясности. То, что сердце демонстрирует автоколебательный процесс, сейчас ни у кого не вызывает сомнений. Доказательством может служить факт, что изолированное сердце человека или животных вне организма продолжает сокращаться! Это означает, что колебания сердца не есть результат неавтономного (внешнего) воздействия на него со стороны какой-либо подсистемы организмы. Более сложный вопрос о периодичности колебаний. Эксперименты свидетельствуют, что колебания сердца не являются строго периодическими и характеризуются - вариабельностью ритма
В.С. Анищенко. Динамика сердечного ритма
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_331.htm
Строки биографии. Все плохое сократится, все хорошее останется (А.А. Витт)
1901 год - родился в Москве.
1918 год - окончил в Москве трудовую школу. Работал на заводе Пулемет браковщиком.
1919 год - работал в военно-продовольственном отряде Латвийской Советской республики, на электростанции в качестве монтера, в политотделе Троицкого укрепленного района в качестве лектора.
1920 год - вернулся в Москву. Поступил в Высшее техническое училище (МВТУ) на электротехнический факультет.
1921 год - начал слушать лекции в Московском университете (МГУ)
1923 год - перевелся из МВТУ в МГУ.
1925 год - окончил физмат МГУ по специальности Теоретическая физика. Поступил в аспирантуру научно-исследовательского института при МГУ. Начал работу под руководством Леонида Исааковича Мандельштама, избранного в этом же году профессором теоретической физики Московского университета.
1926 год - опубликовал совместно с М.А. Леонтовичем первую научную работу по теоретической оптике.
1927 год - опубликовал совместно с М.А. Леонтовичем работу О колебаниях систем с периодически меняющимися параметрами.
1928 год - закончил свою фундаментальную работу Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний, представленную в качестве диссертации. Краткое содержание доклада об этой работе опубликовано в книге VI съезд русских физиков. А.А. Андронов вводит термин автоколебания. Опубликована работа К теории адиабатических инвариантов (с М.А. Леонтовичем и Л.И. Мандельштамом).
1929 год - окончил аспирантуру. Работа Предельные циклы Пуанкаре и теория автоколебаний опубликована в докладах Парижской академии наук.
1930 год - начало цикла работ по применению теории к задачам радиотехники. Опубликовано совместно с А.А. Виттом пять работ по теории автоколебаний, о квазипериодических движениях, о методе Ван-дер-Поля (на немецком языке), о мультивибраторе, о теории захватывания. Вышла книга Лаплас, жизнь, мировоззрение, место в истории науки (с Е.А. Леонтович-Андроновой).
1924-1931гг. - преподавал в Московском пединституте.
1928-1931гг. - работал во Всесоюзном электротехническом институте, а потом в НИИ физики при МГУ.
1931 год - переезд в Н. Новгород (Горький). Работал в Горьковском физико-техническом институте, а потом в Горьковском государственном университете в качестве заведующего кафедрой теоретической
физики и теории колебаний (до 1945 года).
1933 год - опубликовал четыре работы об устойчивости по Ляпунову (с А.А. Виттом), о статистическом рассмотрении динамических систем (с Л.С. Понтрягиным и А.А. Виттом). На Всесоюзной конференции по колебаниям сделал доклад Математические проблемы теории автоколебаний.
1934 год - опубликовал работу К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы (с А.А. Виттом). А.А. Андронову присуждено звание профессора.
1935 год - опубликовал работу о применении теории Пуанкаре о точках бифуркаций и смене устойчивости к простейшим автоколебательным системам (с А.Г. Любиной). Опубликовал Отчет о последних исследованиях в области нелинейных колебаний (совместно с Л.И. Мандельштамом,
Н.Д. Папалекси, А.А. Виттом, С.Э. Хайкиным). А.А. Андронову присуждена степень доктора физико-математических наук.
1936 год - вышла книга Новые исследования в области нелинейных колебаний (совместно с Л.И. Мандельштамом, Н.Д. Папалекси, А.А. Виттом, Г.С. Гореликом, С. Э. Хайкиным).
1937 год - опубликовал совместно с Л.С. Понтрягиным работу Грубые системы. Вышла книга А.А. Андронова и С.Э. Хайкина Теория колебаний.
1938-1939гг. - опубликовал совместно с Е.А. Леонтович работы К теории изменений качественной структуры разбиения плоскости на траектории  и Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметра.
1944 год - опубликовал совместно с А.Г. Майером первую работу по теории регулирования - Задача Мизеса в теории прямого регулирования и теория точечных преобразований поверхностей и работу об автопилоте (с Н.Н. Баутиным). На сессии отделения физико-математических наук АН СССР прочитал доклад Теория точечных преобразований Пуанкаре-Брауера-Биркгофа и теория нелинейных колебаний. За работы, выполненные во время Великой Отечественной войны, А.А. Андронов награжден орденом Красной Звезды.
1945 год - в Горьковском госуниверситете организован первый в Советском Союзе радиофизический факультет. А.А. Андронов - один из его организаторов - становится во главе кафедры теории колебаний и автоматического регулирования. Напечатана статья - Л.И. Мандельштам и теория нелинейных колебаний. Опубликованы работы об автопилоте (с Н.Н. Баутиным), об автоколебаниях простейшей схемы, содержащей автоматический винт изменяемого шага (с Н.Н. Баутиным и Г.С. Гореликом), о прямом регулировании (с Н.Н. Баутиным), о резонансных явлениях при движениях релятивистской частицы в циклотроне (с Г.С. Гореликом). Опубликована статья А.А. Андронова и А.Г. Майера - О задаче Вышнеградского в теории прямого регулирования.
1946 год - А.А. Андронов избран академиком АН СССР по отделению технических наук. Опубликованы работы о линейных системах с запаздыванием (с А.Г. Майером), о часах (с Ю.И. Неймарком), о теории непрямого регулирования (с Н.Н. Баутиным и Г.С. Гореликом).
1947 год - А.А. Андронов избран депутатом в Верховный Совет РСФСР и членом Президиума Верховного Совета РСФСР.
Появилась статья: А.А. Андронов. А.Г. Майер - Задача Вышнеградского в теории прямого регулирования. Сообщение 1. Теория регулятора прямого действия при наличии кулоновского и вязкого трения. В УФН напечатан обзор Некоторые исследования в области теории нелинейных колебаний, проведенные в СССР, начиная с 1935 года (совместно с Н.Д. Папалекси, Г.С. Гореликом, С.М. Рытовым). Под редакцией А.А. Андронова вышла книга - А. Пуанкаре: О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.
1948 год - в книге Люди русской науки опубликован очерк Иван Алексеевич Вышнеградский.
1949 год - опубликовал статью И.А. Вышнеградский и его роль в создании теории автоматического регулирования. В серии Классики науки вышла книга Теория автоматического регулирования. В этой книге опубликована статья А.А. Андронова - О работах Д.К. Максвелла, И.А. Вышнеградского и А. Стодолы в области регулирования машин.
1950 год - А.А. Андронов избран депутатом Верховного Совета СССР. Подготовлены к печати работы: О влиянии кулоновского трения в золотнике на процесс непрямого регулирования (с Н.Н. Баутиным), Теория устойчивости в большом параллельной работы синхронных машин и проблема Хилла.
31 октября 1952 года А.А. Андронов в возрасте 51 года умер от тяжелой формы гипертонии.
***
в конце аспирантуры творческие силы А.А. Андронова сосредоточиваются на вопросах генерации колебаний, поставленных в порядок дня радиотехникой в связи с появлением электронной лампы. Этим вопросам была посвящена его диссертация. Почти всё дальнейшие исследования А.А. Андронова явились развитием идей, содержащихся в этой диссертации.
Для того чтобы понять значение первых работ А.А. Андронова по теории колебаний, необходимо иметь в виду, что почти вся колебательная культура, которой располагали в 1920-х годах физики и инженеры (в том числе и радиоинженеры), была линейной - она была связана с вопросами, решаемыми при помощи принципа суперпозиции и линейных дифференциальных уравнений. Сюда относится, в частности, обычная теория переменных токов, а также теория связанных колебаний в контурах, сопротивление которых подчиняется закону Ома. Между тем, процессы генерации колебаний могут быть поняты только при помощи нелинейных дифференциальных уравнений. Это видно хотя бы из следующего замечания: для лампового генератора характерно, что в нем устанавливаются незатухающие колебания с вполне определенной амплитудой, не зависящей от начальных условий; в системе же, описываемой линейными дифференциальными уравнениями, либо не может быть (без переменного внешнего воздействия) незатухающих колебаний, либо возможны незатухающие колебания произвольной амплитуды, целиком зависящей от начальных условий...
А.А. Андронов сумел осветить вопросы генерации колебаний светом большой науки, указав адекватный этим вопросам общий математический аппарат. Начало было весьма скромным. А.А. Андронов составил простейшие, идеализированные до предела теоретические модели часов и лампового генератора. В модели генератора характеристика лампы была составлена из двух горизонтальных полупрямых (зет-характеристика). Дифференциальные уравнения этих моделей, хотя и нелинейны, настолько просты, что А.А. Андронов смог без труда их проинтегрировать и построить полную картину интегральных кривых на фазовой плоскости. Эта картина такова: фазовая плоскость заполнена вложенными друг в друга спиралями, накручивающимися изнутри и снаружи на замкнутую кривую. Замкнутая кривая соответствует незатухающим колебаниям, спирали - процессам установления. Еще раньше (Андронов это знал) аналогичная картина была получена Ван дер Полем при помощи метода изоклин для лампового генератора при идеализации характеристики лампы кубической параболой.
Здесь произошло то, что определило весь дальнейший научный путь А.А. Андронова: он усмотрел тождество замкнутых кривых на фазовой плоскости, изображающих незатухающие колебания часов и лампового генератора, с предельными циклами. Свою аспирантскую диссертацию он озаглавил Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний.
Предельным циклом называется замкнутая интегральная кривая нелинейного дифференциального уравнения, к которой асимптотически приближаются соседние интегральные кривые. Предельные циклы были открыты и исследованы Пуанкаре вне всякой связи с физикой в его работе 1881г. О кривых, определяемых дифференциальным уравнением. Эта работа явилась началом качественной (топологической) теории дифференциальных уравнений, ставящей себе целью выяснение общего характера поведения интегральных кривых. До работ А.А. Андронова математики, занимавшиеся качественной теорией дифференциальных уравнений, не подозревали, что предельные циклы имеют отношение к физике и технике, а физики и инженеры, занимавшиеся исследованием процессов, связанных с генерацией колебаний, не знали, что математический аппарат, нужный для создания общей теории этих процессов, уже существует.
А.А. Андроновым была также установлена связь между теорией генерации колебаний и теорией устойчивости А.М. Ляпунова, изложенной в его знаменитой работе Общая задача об устойчивости движения (1892г.).
То, что было сказано о предельных циклах, нуждается в уточнении. Предельные циклы могут быть устойчивыми или неустойчивыми: изображающая точка движется по соседним интегральным кривым в сторону приближения к предельному циклу или удаления от него. Собственно процессам генерации колебаний соответствуют устойчивые предельные циклы (неустойчивые предельные циклы имеют другой физический смысл, также разъясненный Андроновым: они служат границей между областями начальных условий, из которых система стремится к различным устойчивым состояниям). А.А. Андронов показал, что движение, отображаемое устойчивым предельным циклом, обладает тем типом устойчивости, который получил название устойчивости по Ляпунову (отклонение изображающей точки на фазовой плоскости от движения, устойчивого по Ляпунову, достаточно малое в начальный момент, остается, по определению, сколь угодно малым в течение любого времени).
Для обозначения незатухающих колебаний, генерируемых системами, обладающими трением (сопротивлением) подобно часам или ламповому генератору, А.А. Андронов ввел новый термин, прочно вошедший в науку, термин автоколебания, и дал автоколебаниям точное математическое определение. Согласно А.А. Андронову автоколебания - это движения, отображаемые на фазовой плоскости (в случае систем с одной степенью свободы) устойчивыми предельными циклами.
Итак, А.А. Андронов был тем, кто дал автоколебаниям их название и математическое определение, кто связал их теорию с качественной теорией дифференциальных уравнений, а потому и с топологией, а также с общей теорией устойчивости движения. Его работы способствовали больше, чем чьи-либо другие, превращению учения об автоколебаниях и о родственных им явлениях из набора немногих отрывочных результатов и расчетных рецептов в новую, прекрасную главу теории колебаний.
Цит. по книге Памяти Александра Александровича Андронова, Москва: Изд. АН СССР, 1955  
http://cardio.avmoskalenko.ru/ArtLib/Andron01/index.htm
Самая пылкая фантазия не могла привести меня к мысли, что гомологическая теория размерности может понадобиться для каких-нибудь практических целей. А именно о них, т.е. о практическом применении математики, я и мечтал. К таким же мыслям одновременно пришли многие математики университета, и общественное мнение стало высказываться за переход к приложениям. Я был среди тех, кто довольно бесплодно говорил об их необходимости. Но вот, в это время, наверное, это было около 1932 года, ко мне внезапно пришёл Александр Александрович Андронов, молодой, талантливый, энергичный, блестящий физик с предложением начать совместную научную работу. Он пришёл ко мне прямо из родильного дома, где родился первый его ребёнок - старшая дочь. Поэтому можно точно установить дату его визита. Он рассказал мне о предельных циклах Пуанкаре, о рекуррентных траекториях и тому подобных вещах! Также сказал, что всё это имеет практические приложения. К сожалению, о самих практических приложениях он мне ничего не рассказал...
Влияние Андронова на мои научные взгляды нельзя переоценить. Оно огромно. После знакомства с ним я начал регулярно изучать работы А. Пуанкаре, Дж. Биркгофа, М. Морса и других. Впрочем, с работами Морса я познакомился уже раньше под влиянием Шнирельмана. Мы с небольшой группой моих товарищей собирались у меня на квартире и читали этих авторов. Это продолжалось, пожалуй, до 37-го года, когда собираться группами на квартирах стало опасным. Приобретённые тогда знания пригодились мне впоследствии. Особенно работы Пуанкаре и Морса. Работы Биркгофа не нашли никакого применения у меня. Александр Александрович Андронов не только выдающийся учёный, но и замечательный человек. Он, как никто другой, чувствовал ответственность за всё происходящее в стране, обладал в этом смысле величайшей гражданственностью и служил для меня высшим образцом человека. Могу без преувеличения сказать, что человека столь замечательного в этом смысле я больше не встретил. Будучи аспирантом Московского университета, Андронов всячески старался направлять молодёжь, оканчивающую аспирантуру, в провинцию и сам по окончании аспирантуры уехал в Горький, где основал школу, которая сейчас широко известна...
Научные интересы Андронова относились к электронике и к теории регулирования. В электронике ему принадлежит замечательное открытие: он установил, что ламповый генератор работает на предельном цикле Пуанкаре. До этого пытались построить линейную теорию работы лампового генератора, и, конечно, это было невозможно. В теории регулирования Андронова занимала работа регулятора Уатта. Он старался изучить работу этого регулятора и в том случае, когда имеется не только вязкое трение, но также и трение твёрдого тела, которое представляет собой разрывную функцию скорости движения, а это делает задачу математически более трудной!
Жизнеописание Льва Семёновича Понтрягина, математика, составленное им самим. М., 1998
http://ega-math.narod.ru/LSP/ch2.htm
1945 год - в Горьковском госуниверситете организован первый в Советском Союзе радиофизический факультет. А.А. Андронов - один из его организаторов, становится во главе кафедры теории колебаний и автоматического регулирования. Напечатана статья Л.И. Мандельштам и теория нелинейных колебаний. Опубликованы работы об автопилоте Автоколебания простейшей схемы, содержащей автоматический винт изменяемого шага (с Н.Н. Баутиным и Г.С. Гореликом), о прямом регулировании (с Н.Н. Баутиным), о резонансных явлениях при движении релятивистской частицы в циклотроне (с Г.С. Гореликом). В Докладах Академии наук опубликована статья А.А. Андронова и А.Г. Майера - О задаче Вышнеградского в теории прямого регулирования
http://webhost.unn.ru/pages/e-library/vestnik/99999999_West_2011_5(3)/1.pdf
Свойства простейших автоколебательных систем
Общей чертой этих систем является их способность совершать автоколебания, т.е. такие колебания, амплитуда которых, с одной стороны, в течение долгого времени может оставаться постоянной, а с другой стороны, вообще говоря, не зависит от начальных условий и определяется не начальными условиями, а свойствами самой системы. К числу таких автоколебательных систем следует помимо рассмотренных нами (часы и ламповый генератор) относить, например, электрический звонок, всевозможные генераторы пилообразных и разрывных колебаний, дуговой генератор электрических колебаний, целый ряд музыкальных инструментов, как-то: духовые и смычковые инструменты и т.д. При известных условиях автоколебания могут возникнуть в передней подвеске автомобиля (так называемое явление шимми колес автомобиля). Автоколебательными системами являются и периодические переменные звезды типа цефеид (Франк-Каменецкий Д.А. Проблема автоколебаний в теории переменных звезд. Сб. памяти А.А. Андронова, с.54-56. Изд. АН СССР, 1955).
Свойство автоколебаний - независимость амплитуды от начальных условий - является весьма характерным их признаком. Однако не всегда автоколебательные системы обладают этим свойством в совершенно чистом виде. Так, например, амплитуда колебаний маятника часов, как мы видели, в известном смысле зависит от начальных условий. Если отклонить маятник мало, то он будет совершать затухающие колебания, часы остановятся. Для того чтобы установились незатухающие колебания (чтобы часы пошли), обычно нужно дать маятнику достаточно большое начальное отклонение или сообщить достаточно большую начальную скорость. Таким образом, целой области начальных условий (начальное отклонение больше данной величины) соответствует одна и та же амплитуда незатухающих колебаний. Как мы увидим в дальнейшем, в некоторых автоколебательных системах может существовать несколько стационарных процессов с различными амплитудами, и тот или другой из них устанавливается в зависимости от начальных условий, хотя и в этом случае целой области начальных условий соответствует одна и та же амплитуда незатухающих колебаний.
Другая типичная черта автоколебаний заключается в следующем: во всякой автоколебательной системе происходит компенсация потерь за счет какого-то источника энергии, и поэтому в автоколебательной системе непременно должен существовать такой источник энергии, причем, так как мы рассматриваем случай автономной системы, т.е. системы, на которую не действуют силы, явно зависящие от времени, то и источник энергии должен создавать силу, которая сама по себе не является заданной функцией времени, а определяется самой системой. Такова, например, анодная батарея в рассмотренном в предыдущей главе примере с ламповым генератором (или заводной механизм в часах); батарея дает некоторое постоянное напряжение, не зависящее от времени, но зато энергия, отдаваемая батареей, будет при колебаниях периодически изменяться. Так же как и для случая лампового генератора, для всех автоколебательных систем является весьма характерной именно такая связь между системой и источником энергии. Сам по себе источник отдавал бы постоянную энергию, но вследствие того, что работа, которую совершает этот источник, зависит от состояния системы (от ее координат и скоростей), действие источника энергии может стать периодическим, причем этот период определяется свойствами самой автоколебательной системы. Таким образом, автоколебательная система представляет собой устройство, которое из постоянного источника энергии периодически черпает известные порции энергии, т.е. за счет непериодического источника энергии создает периодический процесс. С точки зрения этого определения сразу видно, что, например, паровая машина является автоколебательной системой (с.230-31)
А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний (перв. издание 1937)
http://books4study.org.ua/kniga2681.html
А.А. Андронов, Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. 1967. 488с.
http://ua.bookfi.org/book/790838
За последние десять лет положение в области нелинейных колебаний существенно изменилось. Если до того времени область
нелинейных колебаний, несмотря на пионерские работы Ван дер Поля, Эппльтона и других исследователей, была еще мало развита и известна, то в настоящее время можно смело сказать, что необходимость применения нелинейной теории и нелинейной трактовки для самых разнообразных колебательных задач, возникающих в различных областях современной техники, получила широкое признание не только в научных, но и в инженерных кругах. Наряду с радио и акустикой, теория нелинейных колебаний получила права гражданства в электротехнике, в авиатехнике и в технике автоматического регулирования, о которой речь будет итти особо.
Именно это расширение области применения теории нелинейных колебаний является наиболее яркой чертой исследований последних лет. Несомненно, что находящееся в нашем распоряжении теоретическое вооружение стало более совершенным и эффективным по сравнению с 1935г., но принципиально новых идей оно не содержит.
Перечислим кратко основные элементы этого вооружения.
1. Качественная (топологическая) теория дифференциальных уравнений, созданная А. Пуанкаре, и даваемые ею геометрические образы (в фазовом пространстве) различных типов движений динамических систем, как, например, предельный цикл, изображающий установившиеся колебания. Исследование автоколебаний с помощью этой теории привело к новому
математическому понятию - грубых систем.
2. Теория разложения в ряд по малому параметру, развитая в связи с проблемами небесной механики (Эйлер, Лагранж; Пуассон, Тиссеран, Линдштедт, Пуанкаре и др.), которая позволяет вычислять периодические движения, а также и метод медленно меняющихся коэффициентов (или метод ван дер Поля, который первый применил его к радиофизическим задачам).
Эти количественные методы применимы в самой простой их форме в наиболее важном для радиофизики случае почти синусоидальных колебаний.
3. Методы исследования устойчивости движения, основанные на работах Пуанкаре и Ляпунова.
4. Метод припассовывания, который заключается в том, что входящая в задачу нелинейная зависимость (характеристика
лампы, сервомотора и т.п.) апроксимируется рядом прямолинейных отрезков и задача сводится к сшиванию, с помощью определённых условий непрерывности, решений различных систем линейных уравнений, справедливых в различных частях фазового пространства.
Этот метод оказался особенно эффективным для трактовки систем, движения которых нельзя считать приблизительно синусоидальными; такие системы представляют особый интерес для теории автоматического регулирования.
5. Наконец - и это является отнюдь не маловажным - новый физический язык, адэкватный свойствам нелинейных систем
и совершенно отличный от обычного линейного языка; новый нелинейный язык вырабатывался одновременно с тем, как физики
овладевали только что перечисленными математическими методами и создавали соответствующие им наглядные представления.
...
Сильно нелинейные системы
Одна из основных тенденций развития излагаемых здесь исследований состояла в том, что, начав с вопросов радиофизики, они распространились в область, которая, на первый взгляд, кажется весьма от неё далёкой - в область теории автоматического регулирования.
Эта теория представляет широкое поле для применения и развития физических идей и математических методов, ставших обычными для радиофизиков, занимающихся исследованием автоколебаний. Несмотря на большое значение, которое приобрели релаксационные колебания, радиофизика, по совершенно очевидным причинам, больше интересуется почти синусоидальными колебаниями, генерируемыми слабо нелинейными системами. Как уже было сказано выше, теория автоматичеркого регулирования большей частью имеет дело с сильно нелинейными системами, в которых автоколебания, если они существуют, существенно несинусоидальны.
Напомним сначала на простом примере, взятом из области радиофизики, метод сшивания траекторий в фазовом пространстве,
о котором мы уже упоминали во введении. После этого мы сможем кратко рассмотреть некоторые последние работы, относящиеся к нелинейным задачам автоматического регулирования...
сам 44
Укажем ещё одну трёхмерную нелинейную задачу, исследованную методом преобразования плоскости в плоскость: задачу о стабилизации курса самолёта автопилотом (А. Андронов и Н. Баутин, ДАН, 46(1945), 43(1944)).
Пусть углы, характеризующие положение самолёта и его руля будут x и y тогда мы можем написать уравнения в виде
x'' + Mx = - Ny; y' = F(z),
где, M и N - положительные константы и F(z) -характеристика сервомотора. Предполагается, что этот последний управляется линейной комбинацией:
z = x - ay + bx
(a, b - положительные константы). Сервомотор отличается постоянством скорости и зоной нечувствительности. Решение задачи показало, что пространство параметров делится на область, в которой отсутствуют автоколебания самолёта вокруг его курса, вторую область со слабыми автоколебаниями и третью с сильными автоколебаниями
А.А. Андронов, Г.С. Горелик, Н.Д. Папалекси, С.М. Рытов. Некоторые исследования в области нелинейных колебаний, проведённые в СССР, начиная с 1935г.. УФН 33 (11) (1947)
http://ufn.ru/ru/articles/1947/11/
в нашем обсуждении осталась незатронутой одна в высшей степени важная сторона механизма связи биологических явлений с солнечной активностью. К рассмотрению ее мы теперь и переходим. Речь пойдет о принудительной синхронизации биологических ритмов организмов и их сообществ циклическими изменениями факторов внешней среды. Мы уже обращали внимание читателя на то, что контролируемые солнечной активностью параметры нашей среды обитания меняются циклически в очень широком диапазоне периодов. Явление синхронизации по сути дела позволяет многократно усилить первичное слабое воздействие любого экологического фактора, если его циклические изменения происходят в такт с собственным ритмом, характерным для организма (или экосистемы).
Общепризнанно, что все биологические системы на всех уровнях организации функционируют в режиме самоподдерживающихся колебаний (автоколебаний). Биологический смысл такого явления ясен. Это один из способов приспособления организмов к внешней среде, чьи параметры подвержены постоянным изменениям.
Автоколебания внешне проявляются как биологические ритмы - циклические изменения показателей жизнедеятельности организма (таких, как биохимические, физиологические, психические и т.д). В обширной биоритмологической литературе накоплено множество наблюдений над периодическими изменениями разного рода показателей у отдельных органов, организмов и их сообществ.
Колебания существуют в очень широком диапазоне периодов - от тысячных долей секунды до многих лет. Так, колебания биопотенциалов в нервной системе позвоночных происходят с периодами от 10^-2 до 10^4 с (у человека - а-ритм, тета-ритм и т.д. до сверхмедленных колебаний с периодами 80 и около 160 мин). Для колебаний концентраций при биохимических реакциях характерны периоды порядка нескольких минут. Синхронные колебания клеточных органелл имеют периоды в десятки минут.
Если перейти от этих так называемых микроритмов к изменениям с большими периодами, то мы встретимся с наиболее подробно изученными для многих организмов полусуточными и около суточными (циркадными) ритмами. Для физиологических показателей человека давно известен околомесячный период (26-29 сут). Упомянутая ранее цикличность в протекании эпилептических припадков - единичный пример из огромного материала клинических наблюдений над циклическим протеканием заболеваний, что также относится к биоритмологии.
Имеются также данные о наличии у человека ритмических изменений физиологических и психологических показателей и с относительно длительными периодами - макроритмы (0,5, 1, около 3, около 7 лет). Наконец, на уровне систем организмов давно известны колебания численности популяций (волны жизни). Наиболее часто встречающиеся значения периодов этих колебаний - около 3-5 и около 10 лет.
При исследовании циркадных ритмов установлено, что они синхронизуются суточными изменениями факторов внешней среды, прежде всего режимом освещенности. Под синхронизацией в данном случае подразумевают такое изменение периода ритма (обычно небольшое), что он делается в точности равным периоду изменений фактора внешней среды. Такого типа явления, называемые захватыванием частоты, давно известны для механических и электрических систем при воздействии на них внешним периодическим сигналом.
Можно предположить, что общие закономерности, найденные при изучении захватывания частоты на электрических и механических системах, приложимы и к биологическим автоколебательным системам. Из таких закономерностей уместно отметить следующие (Н.И. Блехман, 1981г.): 1) при заданной амплитуде внешнего сигнала (вынуждающей силы) захват частот автоколебательной системы возможен в некоторой относительно узкой полосе частот (полоса синхронизации); захватывание возможно также на частотах, в целое число раз больших (или меньших) частоты внешнего сигналя; 2) синхронизация возможна при чрезвычайно малой амплитуде вынуждающей силы, если величина расстройки (т.е. разность частот автоколебаний и внешнего возмущающего сигнала) достаточно мала; 3) близ полосы синхронизации возможно появление биений - возникновение так называемых почти периодических колебаний.
Вынуждающей силой для биологических автоколебательных систем могут быть любые периодически меняющиеся факторы внешней среды.
К числу важных факторов внешней среды, выполняющих роль синхронизаторов (временных ключей, датчиков времени), несомненно, должны быть отнесены периодические и циклические изменения уровня ЭМП. На это уже давно, на самом первом этапе обсуждения проблемы биологических часов, указывал американский биолог Ф. Браун. Эксперименты Р. Вевера, о которых мы рассказывали при рассмотрении эффектов электромагнитного экранирования, являются прямым подтверждением синхронизирующей роли ЭМП. Но поскольку амплитуда датчиков времени биоритмов может быть очень малой, известное значение могут иметь (в диапазоне макроритмов) и погодно-климэтические изменения (осадки, средние температуры определенных месяцев и т.д). Важно только, чтобы эти изменения (в данном географическом регионе) содержали периодический компонент
Если синхронизация биоритмов параметрами внешней среды и в самом деле широко распространенное явление, должно наблюдаться совпадение периодов биологических ритмов с периодами изменений факторов внешней среды - с.56-57
Итак, организмы и их сообщества являются автоколебательными системами. Одно из свойств таких систем - подстраиваться к частоте внешнего периодического сигнала. Если различие частот автоколебательной системы и внешнего сигнала мало, то такая подстройка (затягивание частоты, синхронизация) обязательно произойдет, даже если этот внешний синхронизующий сигнал имеет ничтожно малую амплитуду
Б.М. Владимирский, Л.Д. Кисловский. Солнечная активность и биосфера - Космонавтика, астрономия, 1982(4), Из-во Знание, Djv - 2.5Мб
http://publ.lib.ru/ARCHIVES/N/''Novoe_v_jizni,_nauke,_tehnike''/_''NJNT._Kosmonavtika,_astronomiya''_.html
http://kirsoft.com.ru/mir/KSNews_142.htm
...на основании всей совокупности как ранее известных документов, так и документов, найденных И.И. Вишневским в 1929г., и, наконец, новых документов, найденных работниками Горьковского областного архива в 1947-1948гг., на основании их изучения и сопоставления необходимо придти к выводу, что величайший русский математик Николай Иванович Лобачевский родился в Нижнем Новгороде 20 ноября 1792г. (по старому стилю) -   
А.А. Андронов. Где и когда родился Н.И. Лобачевский (Записка о месте и дате рождения Н.И. Лобачевского). Историко-математические исследования, 1956, вып. IX, с.9-48
А.А. Андронов. Где и когда родился Н.И. Лобачевский. Газета Горьковская коммуна, 1948(109), с.2.
А.А. Андронов, из письма И.А. Андроникову от 18.05.1948

http://do.gendocs.ru/download/docs-316787/316787.doc
Е.С. Бойко. Александр Александрович Андронов. М.: Наука, 1991, 254с.
Личность в науке. А.А. Андронов. Документы жизни. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2001, 287с.

В сентябре 1952г. А.А. Андронов объявил о начале работы семинара на радиофаке университета. Я должна была делать на нем первый доклад по своей работе о траекториях системы трех дифференциальных уравнений в бесконечности. Это был последний семинар Александра Александровича, и впечатление от него было настолько сильным, что я не забуду этого никогда. Народу собралось столько, что большая лекционная аудитория была полна. Царила атмосфера приподнятости, праздничного оживления, ожидания встречи с Андроновым, с большой настоящей наукой. Александр Александрович был доволен, что так много пришло студентов, улыбался, был в хорошем настроении и казался вполне здоровым. В своем вступительном слове к семинару он
объяснял, почему переход от плоскости к пространству в качественной теории дифференциальных уравнений является принципиальным и вызывает определенные трудности; приводил слова французского математика Бореля о том, что в небесной механике, как в счете дикарей: много равняется трем. Мне кажется, что я даже не боялась докладывать при столь большом стечении людей - такое было чувство надежности и защищенности от присутствия Александра Александровича. В перерыве кто-то подошел к нему и сказал, что как хорошо - много пришло народу, на что Александр Александрович ответил: Цыплят по
осени считают, хорошо, если к весне останется человек пять-семь. На следующем семинаре, на котором я заканчивала свой доклад, Александра Александровича уже не было, он был в больнице и 31 октября 1952 года его не стало. - Из воспоминаний Р.М. Минц
http://www.rf.unn.ru/rus/mus/andronov/index.html
В 1937г. появилась работа А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина, в которой было приведено определение грубой системы [1] (в настоящее время употребляется также термин - структурно устойчивая система). Позднее для систем на плоскости и сфере задача описания всех грубых систем решена усилиями нижегородской школы [1]-[3]. Результаты этих исследований изложены в книгах [4], [5]. Критерий грубости достаточно прост: система грубая, если все состояния равновесия и циклы гиперболичны и нет сепаратрис, идущих из седла в седло. Аналогичные результаты для замкнутых поверхностей получены Пейксото [6]. На поверхности рода 1 и выше к вышеприведенным условиям нужно добавить еще отсутствие незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий.
Грубые двумерные системы образуют открытое всюду плотное множество в пространстве динамичеких систем.
При исследовании двумерных динамических систем появилась необходимость изучения глобальной бифуркации, связанной с сепаратрисой, идущей из седла в седло. В частном случае сепаратриса может образовывать гомоклиническую петлю, т.е. идти из седла в то же самое седло.
Бифуркацию гомоклинической петли сепаратрисы детально изучала Е.А. Леонтович [7], которая рассмотрела также всевозможные вырожденные случаи. В невырожденном случае из петли сепаратисы рождается предельный цикл, который может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от соотношений между собственными числами уравнения в неподвижной точке.
Естественно возникает задача описания аналогичных бифуркаций в многомерном пространстве. В трехмерном случае бифуркация петли сепаратрисы изучалась Л.П. Шильниковым в шестидесятых годах ([8]-[11]).
В трехмерном пространстве в невырожденном случае неподвижная точка может быть седлом, у которого имеется три вещественных значения, из которых одно положительное и два отрицательных, или седло-фокусом, у которого одно вещественное положительное собственное значение и пара комплексно-сопряженных с отрицательными вещественными
частями (заметим, что возможны и другие случаи).
Как показал Л.П. Шильников [8], в случае простой петли сепаратрисы седла с одним положительным и двумя отрицательными собственными значениями в невырожденном случае принципиального отличия от двумерного случая нет. При бифуркации рождается единственный предельный цикл, который может быть устойчивым или седловым в зависимости от соотношений собственных чисел в неподвижной точке.
Принципиально новое явление имеет место при бифуркации петли сепаратрисы седло-фокуса. Как оказалось [9], [11], в этом случае при некоторых соотношениях на собственные числа в неподвижной точке появляется сложное инвариантное множество, содержащее бесконечное количество гиперболических циклов в ограниченной области. Позже это явление названо - спиральный хаос.
[1] Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Докл. АН СССР, 1937, т. 14, вып. 5, с.247-250
[2] Леонтович Е.А., Майер А.Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории // Докл. АН СССР, 1937, т. 14, вып. 5, с.251-257
[3] Леонтович Е.А., Майер А.Г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории // Докл. АН СССР, 1955, т. 103, вып. 4, с.557-560
[4] Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.Е., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 568с.
[5] Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.Е., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1966. 488с.
[6] Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology, 1962, vol. 1, pp. 101-120; Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds: A futher remark // Topology, 1963, vol. 2, pp. 179-180
[7] Леонтович Е.А. О рождении предельного цикла из петли сепаратрисы // Докл. АН СССР, 1951, т.78, вып. 4, с.444-448
[8] Шильников Л.П. О некоторых случаях рождения периодических движенийиз особых траекторий// Матем. сб., 1963, т.61, n4, с.433-466
[9] Шильников Л.П. Случай существования бесконечного множества периодических движений // Докл. АН СССР, 1965, т.6, с.163-166
[10] Шильников Л.П. О рождении периодического движения из траектории, двоякоасимптотическойк состоянию равновесия типа седло // Матем. сб., 1968, т.77, n3, с. 461-472
[11] Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем. сб., 1970, т.81, n1, с.92-113
***

Сосуды и спиральные символы в славянских культурах. Верху - лужицкая культура, фатьяновская культура. Внизу - тшинецкая, трипольская культура. Скульптурное изображение - девочка с поселения Сунгирь, использующая заколку, аналогичную лужицкой и тшинецкой культурам

  


СТАТИСТИКА