Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Тур Буй Колмогоров
от 24.04.07
  
Мысли


а бiятi тем мещем молнiiм а та iздхне


В конце 30-х годов внимание А.Н. Колмогорова все более и более стала привлекать механика турбулентности, т.е. закономерности тех часто встречающихся на практике течений жидкости и газа, которые сопровождаются беспорядочными пульсациями скорости, давления и других гидродинамических величин. Корректное математическое описание таких течений неизбежно должно быть статистическим и опираться на общее понятие случайной функции, как это было разъяснено еще в 1939г. в первой заметке М.Д. Миллионщикова - первого представителя колмогоровской школы в теории турбулентности. Строгий статистический подход систематически использовался и самим А.Н. Колмогоровым; именно в работах А.Н. Колмогорова и его учеников теория турбулентности приобрела четкое математическое оформление в виде прикладной главы теории меры в функциональных пространствах. Однако основные работы Андрея Николаевича по механике турбулентности, появившиеся в 1941г., имели совсем не формально-математический, а отчетливо физический характер. В основе этих работ лежало глубокое проникновение в самую суть процессов, характерное для той крайне сложной нелинейной физической системы с очень большим числом степеней свободы, какой является развитое турбулентное течение; именно глубокая физическая интуиция помогла А.Н. Колмогорову выявить в этих процессах наличие очень тонкого локального самоподобия (понятие, позже сыгравшее большую роль во многих разделах теоретической физики) и вывести отсюда фундаментальные количественные соотношения, имеющие характер новых законов природы. Среди таких законов - знаменитый колмогоровский закон двух третей, обладающий, как это и свойственно фундаментальным законам природы, количественной простотой: во всяком развитом турбулентном течении средний квадрат разности скоростей в двух точках, находящихся на (не слишком малом и не слишком большом) расстоянии r, пропорционален r^2/3.
Ко времени появления первых работ А.Н. Колмогорова экспериментальные данные, позволяющие проверить предсказанные им количественные законы, отсутствовали; позже, однако, эти законы многократно сопоставлялись с данными измерений как в природных средах (атмосфера, океан), так и на разнообразных лабораторных установках и всегда оказывались выполняющимися с высокой степенью точности. (А.Н. Колмогоров делал и качественные предсказания; так, он предсказал подтвержденную экспериментом слоистую структуру океана: эффект, известный под названием блины). В 1961-1962гг. А.Н. Колмогоров еще раз возвратился к результатам своих старых исследований по механике турбулентности и показал, что, отказавшись от одного принимавшегося им ранее предположения, кажущегося вполне естественным, можно получить небольшие уточнения открытых им раньше законов, весьма трудно обнаруживаемые на опыте из-за своей малости, но тем не менее в самое последнее время также надежно подтвержденные рядом экспериментов.
Возвращение к прежней тематике характерно для творчества А.Н. Колмогорова в целом: он может лишь открывать для себя новые и новые области, но не может покидать их окончательно. Эта черта особенно заметна в послевоенный период, когда Андрей Николаевич снова возвращается и к турбулентности, и к функциям действительного переменного (в связи с 13-й проблемой Гильберта), и к логическим основам математики (в применении к геометрии, теории вероятностей. теории информации). При том что Андрей Николаевич занимается необычайно широким спектром тем (здесь и классическая механика, и эргодическая теория, и теория функций, и теория информации, и теория алгоритмов), этот спектр непрерывен, его темы, на первый взгляд отдаленные, оказываются связанными между собой совершенно неожиданными, найденными А.Н. Колмогоровым связями. Число работ по каждой теме обычно невелико, но все они фундаментальны - и не только по силе результата, но и по влиянию на все дальнейшее развитие соответствующей области науки.  
Н.Н. Боголюбов, Б.В. Гнеденко, С.Л. Соболев - А.Н. Колмогоров. К 80-летию со дня рождения. А.Н. Колмогоров. Избранные труды. 3 том. Теория информации и теория алгоритмов. Москва., Наука, 1987
http://books4study.in.ua/document3515.html 3.82Мб
***
И.Г. Журбенко А.Н. Колмогоров обладал просто фантастическим даром интуиции и научного предвидения. Знаменитый закон двух третей о распределении энергии в спектре турбулентности был получен им из простых соображений размерности
***
В.И. Арнольд Мне всегда хотелось понять, как Андрей Николаевич переходил от одной темы к другой: занятия разными предметами прихотливо сменялись у него непредсказуемым, по-видимому, образом. Например, работы по малым знаменателям в классической механике никак не были подготовлены ничем предыдущим и появились в 1953-1954гг. совершенно неожиданно. Так же неожиданно появились в 1935г. и топологические работы Андрея Николаевича.
Для себя я построил некоторую теорию происхождения работ об инвариантных торах: она начиналась с занятий Андрея Николаевича турбулентностью.
В известной статье Ландау 43-го года возникновение турбулентности объяснялось именно при помощи инвариантных торов - аттракторов в фазовом пространстве уравнения Навье-Стокса. Ламинарному течению, наблюдающемуся при малом числе Рейнольдса, соответствует устойчивое положение равновесия (точечный аттрактор). Сценарий Ландау перехода к турбулентности - это последовательность бифуркаций при увеличении числа Рейнольдса. Сначала возникает предельный цикл, затем аттрактор становится двумерным тором, при дальнейшем росте числа Рейнольдса размерность инвариантного тора растет. Может оказаться, замечал Андрей Николаевич при обсуждении сценария Ландау, что уже при конечном числе Рейнольдса произойдет переход к бесконечномерному тору и даже к сплошному спектру. С другой стороны, даже если размерность инвариантного тора остается конечной при фиксированном числе Рейнольдса, спектр условно-периодического движения на достаточно многомерном торе содержит столь много частот, что он практически неотличим от сплошного. Вопрос о том, какой из этих двух случаев имеет место на самом деле, ставился Андреем Николаевичем не раз.
В конце пятидесятых годов на доске объявлений механико-математического факультета МГУ была вывешена им программа семинара по теории динамических систем и гидродинамике (программа включала среди прочего проблему доказательства практической невозможности долгосрочного динамического прогноза погоды вследствие сильной ее зависимости от высоких гармоник начальных условий). Над торами Ландау Андрей Николаевич несколько посмеивался: Видимо, другие динамические системы не были ему (Ландау) известны.
***
В.М. Золотарёв В своих работах Колмогоров продемонстрировал выдающиеся достижения в ряде разделов математики и ее приложений. Достаточно вспомнить открытый им закон двух третей в теории турбулентности. Это обстоятельство уже в молодости производило на меня большое впечатление. Ответ на вопрос, как ему это удалось, А.Н. сообщил мне сам в одной из бесед в Комаровке: Володя, - сказал он, - если Вы чувствуете, что у Вас много сил, творческой энергии, возьмите за правило раз в 5-10 лет радикально менять направление Ваших интересов, а встретившись с какой-либо трудной, но интересной и перспективной задачей, отбросьте все остальное и думайте только о ней неустанно, непрерывно, день, два, неделю, две, три, месяц. Пройдет какое-то время, и Вы увидите нужный Вам путь решения Вашей проблемы.
Колмогоров в воспоминаниях учеников
http://www.kolmogorov.com/Kolmogorov_v_vospominaniyah_uchenikov_2006.pdf
закон двух третей Колмогорова, предполагает наличие процесса каскадного дробления вихрей при устойчивом спектре распределения размеров неоднородностей
***
Случайные поля в океане имеют сложную структуру, характеризующуюся наличием самых разных пространственных масштабов. Поэтому знание лишь структуры турбулентных процессов в пространственной области вообще недостаточно. Необходимо также знать распределение интенсивности процесса между составляющими различных пространственных масштабов. Для этой цели служит спектральное разложение случайного процесса при помощи преобразований Фурье, связывающих статистические корреляционные моменты с функцией спектральной плотности процесса по волновым векторам. Другой важной статистической характеристикой турбулентных процессов в океане является структурная функция. Она была впервые введена А.Н. Колмогоровым для описания случайных процессов со стационарным приращением как средний квадрат разности мгновенных значений различных характеристик. При этом для случайного векторного поля скорости эти функции образуют пространственный структурный тензор, а для скалярных полей они имеют смысл пространственных структурных функций. В отличие от пространственных корреляционных моментов, характеризующих внутреннюю связь между возмущениями всех пространственных масштабов, структурные функции определяют среднее значение возмущений определенного масштаба, который по порядку величины не превосходит расстояние между двумя точками рассматриваемых полей.
Изучение указанных основных статистических характеристик турбулентности существенно упрощается, если рассматривать однородные изотропные случайные поля. Такие поля характеризуются тем, что все средние значения полей равны нулю, а все статистические характеристики инвариантны (неизменны) по отношению к любым параллельным переносам, вращениям и зеркальным отражениям координатных осей. В связи с этим статистические характеристики скалярных полей будут зависеть либо только от расстояния между двумя выбранными точками, либо от длины волнового вектора. Статистические характеристики векторных полей преобразуются таким образом, что недиагональные компоненты тензоров обращаются в нуль, и диагональные компоненты выражаются через две скалярные величины. Совершенно аналогичные упрощения претерпевают также пространственный структурный тензор и спектральный тензор энергии турбулентности. В естественных условиях океана предположение об изотропности случайных полей оправдывается не полностью, поскольку турбулентные движения находятся под воздействием внешних, существенно анизотропных условий. Кроме того, стабилизирующий эффект плотностной стратификации в турбулентном процессе выделяет вертикальное направление. Поэтому крупномасштабные турбулентные вихри с характерным масштабом, равным размерам самого турбулентного потока L, существенно анизотропны.
Однако если в потоке выделить вихри малых размеров мелкомасштабные, находящиеся вдали от границ, то ориентирующее влияние на них среднего движения, а также внешних и граничных условий будет сказываться мало, а структура случайных полей, образованных этими вихрями, оказывается локально-изотропной. Как показали А.Н. Колмогоров и А.М. Обухов, статистический режим локально-изотропной турбулентности обладает рядом замечательных свойств. Во-первых, турбулентность в этой области является однородной и изотропной. Как было уже показано, это означает, что все статистические характеристики (скалярные и тензорные) зависят только от расстояния r между выбранными точками в турбулентном потоке. Во-вторых, энергетический режим локально-изотропной турбулентности стационарен. Приход энергии в эту область осуществляется путем каскадной трансформации кинетической энергии от энергонесущих крупномасштабных вихрей, не принадлежащих этой области. Количественно она характеризуется скоростью притока на единицу массы и обозначается е. Перенос энергии в локально-изотропной области происходит путем нелинейных взаимодействий от крупных вихрей к вихрям все более мелким. Расход кинетической энергии осуществляется диссипацией под действием вязкости во внутреннюю энергию в вихрях самых мелких, начиная с масштаба. При этом диссипация энергии в точности равна притоку энергии е к области локально-изотропной турбулентности. Совокупность турбулентных вихрей, размеры которых заключены между масштабами, образует инерционный интервал локально-изотропной турбулентности; вихри размерами меньше образуют ее вязкий интервал. Вихри характеризуют соответственно внешний и внутренний масштабы турбулентности.
Для статистического режима вихрей, составляющих локально-изотропную область турбулентного потока, А.Н. Колмогоров сформулировал две фундаментальные гипотезы. Первая гипотеза подобия Колмогорова: В случае турбулентности с достаточно большим числом Рейнольдса многомерные распределения вероятностей для относительных скоростей в пространственной области, в которой турбулентность локально-изотропна, однозначно определяются значениями двух параметров - скоростью диссипации е и молекулярной вязкостью.
Вторая гипотеза подобия Колмогорова: В случае турбулентности с достаточно большим многомерные распределения вероятностей для относительных скоростей, относящихся к достаточно малым пространственным масштабам, однозначно определяются значением е и не зависят от ху. Это означает, что статистический режим турбулентности является универсальным, так как не зависит от конкретного вида среднего движения, а определяется внутренними закономерностями передачи энергии. С помощью гипотез подобия Колмогорова определяются масштабы и устанавливаются важные закономерности для статистических характеристик турбулентности в инерционном интервале масштабов.
Из простых соображений размерностей масштаб наибольших вихрей в вязком интервале имеет порядок от нескольких миллиметров до одного сантиметра. Масштаб, определяющий размеры наибольших изотропных вихрей, существенно зависит от интенсивности энергоснабжения вод, увеличиваясь при возрастании е, а также от стратификации вод, уменьшаясь при возрастании e. Между структурной функцией поля скорости в инерционном интервале масштабов, потоком энергии е и расстоянием r между двумя точками имеется связь. Обычно выделяют продольную и поперечную структурные функции, характеризующие случайное однородное изотропное поле.
Универсальные положительные постоянные, определенные по данным наблюдений. В любом турбулентном потоке с большим Re структурная функция увеличивается с расстоянием по закону двух третей. Аналогичным образом устанавливается зависимость спектральной функции F(k) в инерционном интервале волновых чисел от параметра е и волнового числа. Спектральная плотность энергии турбулентности уменьшается с ростом волнового числа по закону пяти третей. Этот закон получил название закона Колмогорова - Обухова и является спектральным выражением закона двух третей.
Как показано Р.В. Озмидовым, закон пяти третей выполняется в океане для локальных участков масштабов, лежащих между основными зонами энергоснабжения. Первый участок охватывает вихри размером от 50 до 500 км, второй - вихри размером от 5 км до 100 м, наконец, третий - вихри размером от 5 см до 5 м. Так как поток энергии в этих интервалах масштабов различен из-за добавки энергии в энергоснабжающих зонах спектра, а сама энергия имеет тенденцию передаваться путем нелинейного взаимодействия от крупных турбулентных вихрей к мелким, то величина в различна в рассматриваемых участках. Ее значение возрастает при переходе от одного участка выполнимости закона пяти третей к соседнему, лежащему в зоне меньших масштабов. Поскольку турбулентные вихри, образующие инерционный интервал масштабов, обусловливают турбулентный перенос любой пассивной субстанции, то аналогичным образом при помощи метода подобия установлен универсальный закон для коэффициента турбулентной диффузии. Коэффициент турбулентности увеличивается с ростом размеров вихрей по закону четырех третей. Этот закон впервые был эмпирически получен Ричардсоном и носит его имя. Он достаточно хорошо выполняется в океане. Для пульсационного поля температуры, тесно связанного с локально-изотропным полем скорости, также выделяются два интервала пространственных масштабов: инерционно-конвективный и вязко-конвективный
***
Представление о турбулентности, как о поле случайных значений скорости, образованном хаотическим взаимодействием вихрей разных размеров, оказалось недостаточным для дальнейшего развития теории турбулентности. Необходимы были новые критерии, позволяющие дать более подробную численную оценку процессу турбулентности. В этом отношении значительным шагом вперед стала теория локально­изотропной турбулентности, предложенная академиком А.Н. Колмогоровым (1941) и развитая А.М. Обуховым (1941) на основании энергетических соображений. Эта теория оказала решающее влияние на развитие теории турбулентности в целом.
Физическая основа этой теории заключается в том, что рассматривается иерархия турбулентных вихрей: имеются вихри не вообще, а вихри различных линейных масштабов. При этом необходима расстановка вихрей по их масштабам для выяснения степени вклада каждого из них в энергию турбулентности. Такая расстановка вихрей по своеобразной иерархической лестнице выглядит следующим образом: при очень больших числах Рейнольдса на осредненный поток накладываются пульсации первого порядка, проявляющиеся в беспорядочном перемещении относительно друг друга отдельных объемов жидкости с диаметром порядка 1 — І ; (где І прандтлевский путь перемешивания); порядок скоростей этих относительных перемещений  V1. Пульсации первого порядка оказываются при очень большом Re в свою очередь неустойчивыми, и на них накладываются пульсации второго порядка с путем перемешивания 2 І1 и относительными скоростями V2 V1. Такой процесс последовательного измельчения турбулентных пульсаций происходит до тех пор, пока для пульсаций какого-либо достаточно большого порядка n число Рейнольдса не окажется достаточно малым, чтобы влияние вязкости на пульсации n-порядка было уже ощутимо и предупреждало образование накладывающихся на них пульсаций (n+1)-го порядка.
Таким образом с энергетической точки зрения процесс турбулентного перемешивания состоит из передачи энергии по каскаду турбулентных вихрей: осредненное течение заимствует энергию из атмосферных движений и передает ее энергии турбулентности; энергия больших вихрей передается энергии меньших вихрей; мельчайшие вихри благодаря вязкости диссипируют энергию в теплоту. Развивая теорию локально-изотропной турбулентности, А.Н. Колмогоров (1941) сформулировал фундаментальные гипотезы подобия.
Первая гипотеза подобия Колмогорова. Статистические характеристики турбулентности при больших числах Рейнольдса в области малых масштабов зависят только от средней скорости диссипации энергии в единице массы жидкости е и кинематической вязкости V.
Вторая гипотеза подобия Колмогорова. Статистические характеристики турбулентности при больших числах Рейнольдса в области средних масштабов зависят только от средней скорости диссипации энергии в единице массы жидкости е и не зависят от вязкости V.
Гипотезы подобия Колмогорова разбивают спектр масштабов возмущений (или длин волн X) в локально-изотропной турбулентности на две области: область средних масштабов, или инерционный интервал, в котором характеристики потока определяются потоком энергии по иерархии вихрей, и область малых масштабов, или вязкий интервал, в котором происходит диссипация энергии движения в тепловую энергию.
Поскольку единственными параметрами, определяющими характер локально­изотропной турбулентности, являются е и V, то можно определить такие важные характеристики турбулентности, как границу между инерционным и вязким интервалами, коэффициент перемешивания, плотность энергии
http://aquascope.ru/turbulentnost-peremeshivaniya-v-okeane/5/
***
А.Н. Колмогоров. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности. ДАН СССР, т.32, 1941
Публикации А. Н. Колмогорова

http://www.kolmogorov.info/show.html?id=138
I том: Математика и механика, отв.ред. С.М. Никольский; сост. В.М. Тихомиров, М., Наука, 1985; 469с.
II том: Теория вероятностей и математическая статистика. отв.ред. Ю.В. Прохоров, сост.А.Н. Ширяев, М., Наука 1986; 534с.
http://www.twirpx.com/file/56788/ 13.8Мб
III том: Теория информации и теория алгоритмов. отв.ред. Ю.В. Прохоров, сост. А.Н. Ширяев, М., Наука, 1987; 303с.
Андрей Николаевич Колмогоров. Четвёртое послание
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_568.htm

  


СТАТИСТИКА