Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Александр Юрьевич Лоскутов. Новые подходы к старым проблемам
от 05.05.13
  
Доклады


В стране перевернутой луны

Александр Юрьевич Лоскутов
Александр Юрьевич Лоскутов - 5.5.1959 - 5.11.2011
Публикации
14 Гамильтоновы системы 116
15 Нелинейный резонанс 133
16 Элементы теории Колмогорова-Арнольда-Мозера (теории КАМ). Диффузия Арнольда 146
17 Природа хаоса 152
18 Основные свойства хаотических систем: эргодичность, перемешивание, расцепление корреляций 166
19 Бильярды. Газ Лоренца 177
20 Диссипативные динамические системы 208
21 Критерии динамического хаоса 234
22 Размерность странных аттракторов 258
23 Фракталы 268
24 Отображения и некоторые их свойства 280
25 Хаос в одномерных отображениях 290
26 Универсальность Фейгенбаума 297
27 Отображения комплексной плоскости Красота фракталов 308
28 Бифуркации в динамических системах 329
29 Типичные сценарии перехода к хаосу 346
30 Подавление хаоса и управление динамическими системами 366
31 Пространственно-временной хаос 383
32 Динамика систем сцепленных отображений 393
33 Временные ряды: анализ и прогноз 428
А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. 272с.
А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. Основы теории сложных систем. РХД, 2007. 612c.

http://chaos.phys.msu.ru/loskutov/loskutov.htm Selected publications
http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=20295
Сердечная мышца (как и любая другая мышечная ткань) относится к так называемым возбудимым системам. Распространение волн в таких системах осуществляется посредством источника энергии, распределенного в ней. При подаче импульса в такую систему от места его приложения начинает распространяться возмущение - волна возбуждения: поступивший импульс не затухая последовательно передается от элемента к элементу. Обычно после возбуждения каждый элемент не способен сразу же возбудиться вновь. Как правило, существует определенное время релаксации, называемое периодом рефрактерности, во время которого элемент как бы восстанавливается. Это приводит, с одной стороны, к упорядоченному пространственному распространению волны возбуждения, а с другой стороны, при частой подаче импульсов (или при большом периоде рефрактерности) часть из них окажется блокированной. При описании ряда возбудимых сред часто прибегают к аппроксимации исходной системы совокупностью отдельных возбудимых элементов, локально взаимодействующих друг с другом. Каждый такой элемент способен находиться в одном из трех состояний - покоя, возбуждения и рефрактерности. Из состояния покоя элемент может перейти в возбужденное состояние, в котором будет находиться определенное время. Затем он переходит в состояние рефрактерности и только потом вновь в состояние покоя. Таким образом, переход в возбужденное состояние оказывается возможным лишь из состояния покоя. Хотя такая модель является определенным приближением, она очень хорошо воспроизводит основные явления в возбудимых средах, в том числе и в тканях сердца.
Предположим, что имеется однородная возбудимая среда, в которой все элементы обладают идентичными свойствами. Тогда частота возбуждения всех таких элементов будет одинаковой. Если некоторую область такой среды начать периодически возмущать, то в этой области возникнет источник концентрически расходящихся волн возбуждения. Такой источник называют ведущим центром или пейсмекером. Если в возбудимой среде есть два или несколько пейсмекеров, то пейсмекер меньшей частоты генерации с течением времени подавляется пейсмекером большей частоты. Иными словами, имеет место конкуренция между пейсмекерами. В идеальном случае через определенное время во всей среде останется только один пейсмекер. Кроме пейсмекеров, в возбудимых средах возможно появление иных источников возбуждения - спиральных волн, которые представляют собой вращающиеся спирали. Все спиральные волны имеют одинаковую частоту. Поэтому они всегда сосуществуют между собой, но гасят ведущий центр, являющийся более медленным автоволновым источником. Кроме того, спиральные волны представляют собой главный тип элементарных самоподдерживающихся структур в однородных возбудимых средах. Появление нескольких источников возбуждения в сердечной мышце в настоящее время связывается с опасными нарушениями нормальной работы сердца - аритмией. При большом числе аномальных источников наступает фибрилляция. Допустим, что в некоторой среде имеются только основной и дополнительные ведущие центры. Тогда даже такая простая ситуация в зависимости от частоты поступления импульсов и времени рефрактерности может привести к очень сложному поведению среды. В частности, может наблюдаться квазипериодическая и хаотическая динамика. Таким образом, возникновение только одного паразитного пейсмекера для возбудимой системы способно привести ее к спонтанному поведению. Много более опасное нарушение сердечного ритма - фибрилляция - обусловлено появлением множества небольших волн в сердечной ткани. Этот процесс может развиваться вследствие нескольких причин. Одна из них заключается в появлении периодической стимуляции участков миокарда. В этом случае фибрилляции возникают после прекращения стимуляции в среде с переменным рефрактерным периодом. Если же по тем или иным причинам в сердце поступил импульс в критической фазе (во время рефрактерного периода желудочков), то он сгенерирует волну, пересекающую зону рефрактерности. Тогда концы волны возбуждения могут закручиваться, давая начало спиральным волнам, вращающимся в противоположных направлениях. Современные методы выведения сердца из состояния фибрилляции являются очень жесткими. Развитие нелинейной динамики и синергетики позволило понять, что такое силовое воздействие вовсе необязательно. Часто вполне достаточно слабых электрических воздействий непосредственно на сердечную мышцу. Именно, если в среде имеются спиральные волны с противоположными направлениями вращения, то, подбирая фазу и частоту внешнего воздействия, можно добиться движения центров двух волн навстречу друг другу и их аннигиляции. Теперь слово за тщательными экспериментальными исследованиями
А.Ю. Лоскутов. Синергетика и нелинейная динамика: Новые подходы к старым проблемам
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_328.htm
Аннотация: Рассматривается модель возбудимой среды, описывающая развитие фибрилляции (то есть пространственно-временного хаоса) в сердечной ткани посредством рождения множества сосуществующих спиральных волн. Показано, что достаточно слабое внешнее точечное воздействие на такую среду приводит к подавлению всех спиральных волн и, таким образом, стабилизации динамики системы. После выхода на регулярный режим в среде остается только внешний источник. Найдены частоты и амплитуды, на которых реализуется такая стабилизация. Рассмотрен случай воздействия нескольких точечных источников. Анализ проводится на основе метода Брея - идентификации количества спиральных волн...
Необходимо отметить, что амплитуды, которые мы использовали в модели, в пересчете на вольты оказываются примерно в 1000 раз меньше, чем те импульсы, которые применяются в имплантируемых дефибрилляторах. Это может оказаться очень важным
в приложениях, так как от имплантируемого дефибриллятора пациенты испытывают большой болевой шок и, как следствие, состояние стресса в ожидании повторных импульсов. Кроме того, такой импульс приводит к разрушению сердечных клеток...
А.Ю. Лоскутов, С.А. Высоцкий. Новый подход к проблеме дефибрилляции: подавление спирально-волновой активности сердечной ткани. - Письма в ЖЭТФ, 2006, том 84, выпуск 9, с.616-620
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=jetpl&paperid=1184&option_lang=rus
Впервые в мировой практике систематически изложены новые технологии исследования вариабельности сердечного ритма, основанные на современных представлениях математической теории хаоса
А.В. Ардашев, А.Ю. Лоскутов. Практические аспекты современных методов анализа вариабельности сердечного ритма. М.: ИД МЕДПРАКТИКА-М, 2011, 128с.
http://ardashev-arrhythmia.ru/publications/books/prakticheskie-aspekty-sovremennyh-metodov-analiza-variabelnosti-serdechnogo-ritma/
Развитие теории динамических систем внесло много нового в понимание происхождения хаотичности. В частности, было обнаружено, что хаос встречается в подавляющем большинстве нелинейных систем. Поэтому в ряде случаев его развитие может быть нежелательным.
В связи с этим в последнее время интенсивно разрабатывается новое направление в теории детерминированного хаоса, связанное с возможностью подавления хаотического поведения. Если достаточно слабо (аддитивно или мультипликативно) возмущать хаотическую систему (иными словами, производить обмен энергией между системой и окружающей средой), то хаос может выродиться в регулярное движение. Развитие этого направления привело к появлению новых замечательных приложений и позволило рассмотреть многие проблемы нелинейной динамики под новым углом зрения.
Так, подход к решению одной из старых проблем - описание явления самоорганизации, т.е. образования и развития сложных упорядоченных структур, - в рамках теории детерминированного хаоса получил новое развитие.
Большинство распределенных сред можно аппроксимировать совокупностью дискретных элементов, локально взаимодействующих друг с другом. Через каждый из таких элементов может проходить поток энергии, поступающий от внешнего источника. По-видимому, даже когда отдельные элементы системы обладают сложной структурой, вся их внутренняя сложность не проявляется во взаимодействиях между ними и, с точки зрения макросистемы, они функционируют как достаточно простые объекты с малым числом эффективных степеней свободы.
Используя обобщение теории сетей функционально взаимодействующих автоматов, в данной работе проводится параллель между явлением самоорганизации и подавлением хаоса. Показано, что только определенное сцепление первоначально хаотических автоматов может привести к появлению сложного каскада с необходимыми динамическими свойствами. Основным критерием такого образования является предписанная регулярная динамика образованного каскада взаимодействующих автоматов.
А.Ю. Лоскутов, К.А. Васильев. К проблеме самоорганизации: модель формирования сложных функциональных систем. Матем. моделирование, 2004, том 16, номер 12, с.109-122  
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mm&paperid=216&option_lang=rus
Статья представляет собой методическое руководство для тех, кто интересуется хаотической динамикой. Изложены начала теории детерминированного хаоса, возникающего в системах классической механики. Представлены базовые результаты, полученные в этой области: элементы теории нелинейного резонанса и теории Колмогорова-Арнольда-Мозера, теорема Пуанкаре-Биркгофа о неподвижной точке, метод Мельникова. Особое внимание уделено анализу явлений, лежащих в основе самоподобия и природы хаоса: расщеплению cenapaтpuc, гомо- и гетероклиническим сплетениям. Описаны важные свойства, присущие хаотическим системам: непредсказуемость, необратимость, расцепление временных корреляций. Рассмотрены популярные в последнее время модели классической статистической механики с хаотическими свойствами - бильярды с осциллирующими границами. Показано, что когда бильярд обладает свойством развитого хаоса, следствием возмущения его границ является ускорение Ферми. Однако для бильярдных систем, близких к интегрируемым, возмущения границ приводят ансамбль частиц к новому явлению - разделению их по скоростям. Если начальная скорость частиц превышает некоторую критическую величину, характерную для данной геометрии бильярда, то частицы ускоряются, в противном случае происходит их замедление.
А.Ю. Лоскутов. Динамический хаос. Системы классической механики. Успехи Физических Наук. 2007. Том 177 с.989-1015
http://ufn.ru/ru/articles/2007/9/d/
Обзор знакомит читателей с большинством понятий, используемых при исследовании хаотических явлений, возникающих в нелинейных системах. Его главная цель - дать современное представление о результатах, полученных в теории хаотических динамических систем, и описать оригинальные идеи, лежащие в основе подхода к изучению детерминированного хаоса. Изложение опирается на неформальный анализ: абстрактные математические понятия сопровождаются наглядными построениями и физическими примерами. Рассматриваются гиперболическая динамика, гомоклинические траектории, гомоклинические касания и дикие гиперболические множества, а также различные типы аттракторов, возникающих в динамических системах. Изложены важные аспекты эргодической теории и описаны основные статистические свойства хаотических динамических систем. Объясняется принципиальное отличие стохастической динамики от детерминированного хаоса. Последняя часть обзора посвящена исследованию возможности изучения сложных систем посредством анализа регистрируемых сигналов, т.е. порождаемых системами временных рядов
А.Ю. Лоскутов. Очарование хаоса. Успехи Физических Наук, 2010 Том 180. n12. с.1305-1329
http://ufn.ru/ru/articles/2010/12/d/
Самоорганизация и хаотизация Первоначально понимание сложных систем (например таких, как биологические) было связано с представлением о том, что их невозможно описать при помощи математических моделей. Более того, долгое время жизнь рассматривалась как антипод неорганической природы. Сегодня, однако, происходит все более активное проникновение физических методов и подходов в биологию. Оказывается также, что основные формы кооперативного поведения, свойственные живым организмам, имеют свои аналоги среди неорганических систем. Любой живой организм представляет собой иерархию достаточно автономных подсистем, в которой исходящие от верхнего уровня сигналы управления не имеют характера жестких команд, подчиняющих себе активность всех индивидуальных элементов более низких уровней. Вместо этого от высших уровней иерархии поступают сигналы, которые предопределяют переходы подсистем из одного режима функционирования к другому. Иерархическое устройство сложных живых систем, которые представляют собой ансамбль связанных подсистем более простого строения, позволяет избежать неустойчивостей и нежелательной динамики, которые неизбежно возникают в сложных системах с жестким централизованным управлением.
Наиболее очевидная особенность биологических систем заключается в том, что они способны к самоорганизации, т.е. спонтанному образованию и развитию сложных упорядоченных структур. Это не противоречит законам термодинамики, поскольку все живые биологические системы не являются замкнутыми и обмениваются энергией с окружающей средой. Энтропия, служащая мерой беспорядка, может уменьшаться в открытых системах с течением времени. Необходимая предпосылка эффектов самоорганизации заключается, кроме того, в наличии потока энергии, поступающего в систему от внешнего источника и диссипируемого ею. Именно благодаря этому потоку система становится активной, т.е. приобретает способность к автономному образованию структур. Очевидно, что эффекты самоорганизации не могут быть исключительным свойством биологических объектов, и должны наблюдаться в той или иной форме также в системах неорганического происхождения.
Большой интерес представляют распределенные среды, которые построены из дискретных элементов, локально взаимодействующих друг с другом и, таким образом, являющихся приближением естественных пространственно протяженных систем. Хотя разнообразие таких сред чрезвычайно велико, число математических моделей, которые используются для описания процессов образования и развития структур в таких системах, не столь значительно. По-видимому, даже когда отдельные элементы системы (например, живые клетки) обладают сложной внутренней структурой, вся их сложность не проявляется во взаимодействиях между ними, и с точки зрения макросистемы они функционируют как достаточно простые объекты с малым числом эффективных степеней свободы. В противном случае никаких упорядоченных структур в системе обычно не возникает.
Самоорганизация тесно связана с зарождением турбулентности. При макроскопическом течении жидкости к каждому ее малому элементу поступает энергия от крупномасштабных мод, которая превращается затем в теплоту за счет действия вязких сил. Чем выше средняя скорость течения жидкости, тем интенсивнее поток энергии, проходящей через каждый ее элемент. Как известно, при больших средних скоростях течения оно, как правило, является турбулентным, т.е. характеризуется хаотическими пульсациями поля скоростей, давления, температуры, плотности и т.п. Переход к турбулентности от ламинарного течения может
осуществляться постепенно, не скачком. В этом случае возникновению турбулентности предшествует особая стадия,
характеризующаяся появлением все более сложного течения
А.Ю. Лоскутов. Очарование хаоса. - Устойчивое развитие. Наука и Практика. n2/03. с.13-21
http://www.e-reading-lib.org/bookreader.php/139193/Ocharovanie_haosa.pdf
А.Ю. Лоскутов. Нелинейная динамика, теория динамического хаоса и синергетика. Компьютерра. 1998(47)
http://www.cplire.ru/koi/InformChaosLab/chaoscomputerra/Loskutov.html
А.Ю. Лоскутов. Анализ временных рядов. Курс лекций. Физфак МГУ. 113с.
http://chaos.phys.msu.ru/loskutov/loskutov.htm

Двумуравное древо Лобачевского
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_301.htm
Показано, что хаотическая динамика систем, обладающих аттракторами, по своим свойствам близкими к гиперболическому типу, может быть стабилизирована посредством периодических параметрических возмущений.
***
1. Введение Свойство гиперболичности, которое в той или иной степени присуще всем хаотическим системам, состоит в том, что касательное пространство таких систем складывается из трех подпространств: устойчивого Е(s), неустойчивого Е(u) и нейтрального Е(0). Близкие траектории, соответствующие Е(s), экспоненциально сходятся друг к другу при t -> бесконечности, а cоответствующие Е(u) при t -> к минус бесконечности.
В подпространстве Е(0) векторы сжимаются или растягиваются медленнее, чем с экспоненциальной скоростью. Когда вдоль траектории степень сжатия и растяжения в подпространствах Е(u) и Е(s) меняется от точки к точке, системы называются неравномерно гиперболическими. Динамические системы с равномерной гиперболичностью всех траекторий называются системами Аносова.
Если рассматриваемая система диссипативна, т.е. имеет место сжатие фазового объема, то хаос обеспечивается наличием в фазовом пространстве хаотического аттрактора. Если это гиперболический аттрактор, то каждая траектория, принадлежащая такому аттрактору, будет обладать свойством гиперболичности. Гиперболический аттрактор структурно устойчив и имеет SRB-меру (т.е. меру Синая Рюэля Боуэна), а соответствующие динамические системы являются K-системами, для которых выполняются условия центральной предельной теоремы [1]. Это очень сильные статистические свойства.
Поэтому системы с гиперболическими аттракторами можно рассматривать как случайные.
Странные (хаотические) аттракторы, которые наблюдаются в моделях реальных физических систем, обладают некоторой степенью гиперболичности. Однако эта гиперболичность имеет иную форму, нежели равномерная гиперболичность. Такие аттракторы действительно являются сложно устроенными множествами, но принадлежат к квазистохастическому типу (т.е. являются квазиаттракторами) [2].
Гиперболические множества были построены достаточно давно [3] и долгое время считалось,что системы с такой структурой фазового пространства являются абстрактными математическими конструкциями. Однако недавно были предложены физические модели, имеющие в фазовом пространстве притягивающие множества, обладающие свойствами гиперболичности [4]. Более того, такие множества можно исследовать экспериментально [5] .
Как известно, последние 20 лет в теории сложных и хаотических систем одним из наиболее востребованных направлений является решение задачи управления хаотической динамикой и подавления хаоса при помощи внешних воздействий [6-8]. Исследования последних лет показали, что данная задача может быть решена для определенного класса динамических систем (см.[8] и приводимые там ссылки), однако важный вопрос о системах с гиперболическими аттракторами остается открытым. Это связано с тем, что такие аттракторы грубые и их структура не может качественно меняться при слабых внешних воздействиях.
В данной работе изучается возможность стабилизации хаотических колебаний в динамических системах с аттракторами, близкими по своим свойствам к аттракторам гиперболического типа...
Подавление хаоса
3. Внешние возмущения и подавление хаоса
...Как показывает численное моделирование, при определенных значениях параметров возмущения, хаотическое поведение системы вырождается в регулярное: вместо характерной хаотической траектории (рис.4а) в фазовом пространстве наблюдается устойчивый предельный цикл (рис.4с). Этот вывод подтверждает расчет спектральной плотности (рис.4b,d), отображения Пуанкаре и показателей Ляпунова...
4. Заключительные замечания Гиперболические аттракторы это структурно устойчивые (грубые) полмножества. Малые возмущения систем с такими аттракторами не могут качественно изменить как сам гиперболический аттрактор, так и динамику систем. Более того, рассмотренный в п.1 аттрактор типа Смейла-Вильямса в отображении Пуанкаре соответствует растягивающему одномерному отображению [4,15]. Известно, что посредством слабых периодических параметрических возмущений в таких отображениях невозможно подавить хаос.
Однако, как показано в данной работе, в некоторых случаях параметрические возмущения могут приводить к качественному изменению в динамике систем и вырождению гиперболических аттракторов в устойчивые неподвижные точки или предельные циклы. Данный результат можно интерпретировать так: вносимые возмущения не являются малыми для данного типа аттрактора или аттрактор в выбранной области не принадлежит к строго гиперболическому типу.
Полученные результаты позволяют утверждать,что системы не только с хаотическими (в широком смысле, см. введение) аттракторами, но также и с гиперболическими притягивающими подмножествами могут быть выведены на регулярный режим эволюции при помощи внешних параметрических возмущений.
***
1. Я.Г. Синай, Успехи матем. наук 46, 147 (1991)
2. А.Ю. Лоскутов, Успехи физ. наук 180, 1305 (2010)
3. С.Смейл, Успехи матем. наук 25, 113 (1970)
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=5295&option_lang=rus
4. С.П. Кузнецов, Успехи физ. наук 181, 121 (2011)
5. С.П. Кузнецов, Е.И. Селезнев, ЖЭТФ 129, 400 (2006)
6. S. Boccaletti, С. Grebogi, Y.С. Lai, and H. Mancini,Phvs. Rep. 329, 103 (2000)
7. R. Chacaon, Phys. Rev. Lett. 86, 1737 (2001)
8. А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. Основы теории сложных систем. РХД, 2007...
А.Ю. Лоскутов, А.В. Попкова. Стабилизация хаотических колебаний в системах с аттрактором гиперболического типа. Письма в ЖЭТФ, 2011, том 94, выпуск 1, с.86-91, Поступила в редакцию: 12.04.2011; Исправленный вариант: 14.05.2011
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=jetpl&paperid=1956&option_lang=rus
С.П. Кузнецов. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: от математики к физике. УФН 181 с.121-149, 2011
http://ufn.ru/ru/articles/2011/2/a/
С.П. Кузнецов. Динамический хаос и гиперболические аттракторы: от математики к физике. ИКИ 2013 488с.
http://shop.rcd.ru/details/1486
А.Ю. Лоскутов. Нелинейная динамика, теория динамического хаоса и синергетика (перспективы и приложения)

  


СТАТИСТИКА