Самоорганизация и неравновесные
процессы в физике, химии и биологии
 Мысли | Доклады | Самоорганизация 
  на первую страницу НОВОСТИ | ССЫЛКИ   

Проективное мышление. Три шага четверукого Вишну
от 18.11.17
  
Самоорганизация


18 ноября 2017, 11 часов 42 минуты (UT) - Новолуние


Скуфья
МатерСваСлва поящеть ны спiва те вытежнестве на врзi
i тому вiерiхомь
яко слво iе о Птыцiе Вышнiе о Сварзе по ростiе летяшете од Оны
 
РигВеда I, 154. К Вишну

1 Я хочу сейчас провозгласить героические деяния Вишну
Который измерил земные пространства,
Который укрепил верхнее общее жилище,
Трижды шагнув, (он,) далеко идущий.

2 Вот прославляется Вишну за героическую силу,
Страшный, как зверь, бродящий (неизвестно) где, живущий в горах,
В трех широких шагах которого
Обитают все существа.

3 Пусть к Вишну идет (этот) гимн-молитва,
К поселившемуся в горах, далеко шагающему быку,
Который это обширное, протянувшееся общее жилище
Измерил один тремя шагами (основная космогоническая функция Вишну).

4 (Он тот,) три следа которого, полные меда,
Неиссякающие, опьяняются по своему обычаю,
Кто триедино землю и небо
Один поддерживал - все существа...

5 Я хотел бы достигнуть этого милого убежища его,
Где опьяняются мужи, преданные богам:
В самом деле, ведь там родство широко шагающего.
В высшем следе Вишну - источник меда.

6 Мы хотим отправиться в эти ваши обители,
Где (находятся) многорогие неутомимые коровы (по Саяне, это лучи; по Гельдеру - звезды).
Ведь именно оттуда мощно сверкает вниз
Высший след далеко идущего быка.
 
Три шага четверукого Вишну:
3. Основным инвариантом метрической геометрии является отношение (расстояние) двух точек прямой (AB)
2. Основным инвариантом аффинной геометрии является простое отношение трех точек на прямой (ABC) = (AC)/(BC)
1. Основным инвариантом проективной геометрии является сложное отношение четырех точек на прямой (ABCD) = (ABC)/(ABD)=(AC/BC)/(AD/BD)
Metrical geometry is thus a part of descriptive geometry and descriptive geometry is all geometry - Метрическая геометрия есть таким образом часть дескриптивной (проективной), а дескриптивная (проективная) геометрия - вся геометрия. - Артур Кэли

Проективное мышление. Геометрия Лобачевского в проективной форме
Впуклые щеки,
Выпуклые дырки,
Пьем коктейль по-русски,
Прямо из бутылки

Модель Клейна, или модель Кэли-Клейна, модель диска Клейна, модель Бельтрами-Клейна, проективная модель - первая модель геометрии Лобачевского; с её помощью удалось доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии. Через точку Р проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямую» а.
Плоскость Лобачевского представлена в этой модели внутренностью некоторого круга («абсолюта», в психологии - «идеала»). Точки абсолюта, называемые также «идеальными точками», плоскости Лобачевского уже не принадлежат. Прямая плоскости Лобачевского - это хорда абсолюта, соединяющая две идеальные точки.
Движениями геометрии Лобачевского в модели Клейна объявляются проективные преобразования плоскости, переводящие внутренность абсолюта в себя. Конгруэнтными считаются фигуры внутри абсолюта, переводимые друг в друга такими движениями. Если точки А и В лежат на хорде PQ так, что порядок их следования на прямой PABQ, тогда расстояние l(A,B) в плоскости Лобачевского определяется логарифмически как
l(A,B) = - с/2 ln (PQAB) = с/2 ln (PQВA)
где (PQAB) обозначает двойное (сложное) отношение четырех точек, с - радиус кривизны плоскости Лобачевского.
Любой факт евклидовой геометрии, описанный на таком языке, представляет некоторый факт геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение неевклидовой геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии на плоскости, относящееся к фигурам внутри круга, пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку С, не лежащую на данной хорде PQ , проходит сколько угодно не пересекающих её хорд.

...Так можно построить геометрию Лобачевского, если в качестве «абсолюта»выбрать невырожденную кривую второго порядка (или так называемую «овальную» кривую второго порядка).
Пусть на проективной плоскости задана овальная кривая второго порядка к(u), которую и будем считать абсолютом плоскости.
Эта кривая разделяет проективную плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Точки внутренней области будем называть «собственными» или «действительными» точками. Точки самой овальной кривой, служащей абсолютом плоскости, назовем «несобственными» или «бесконечно удаленными». Наконец, точки внешней области будем называть «идеальными». «Собственные» точки и являются точками неевклидовой геометрии.
В качестве «прямых» нашей неевклидовой геометрии будут служить хорды овальной кривой (лежащие в ее внутренней области).
Так как концы этих хорд являются несобственными точками, то «прямые» неевклидовой геометрии являются открытыми отрезками. В указанной системе (собственных) точек и прямых могут быть сохранены те же отношения принадлежности, порядка и непрерывности, которые имеют место как в геометрии Евклида,
так и в геометрии Лобачевского.
Так, например, придавая понятию «принадлежность» обычный смысл, будем иметь: «две различные точки А и В определяют единственную принадлежащую им прямую (АВ)».
«Существуют три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой», и т.д.
Далее, можно установить обычные как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского отношения порядка. Точка на прямой разбивает последнюю на две части. Две точки А, В прямой устанавливают порядок точек на прямой и определяют отрезок АВ. Прямая делит неевклидову плоскость (под которой мы разумеем внутреннюю область овальной кривой к(u) на две части. Задание точки С, не лежащей на этой прямой, определяет соответствующую ей часть плоскости.
Сохраняется в рассматриваемом геометрии и свойство непрерывности точек на прямой, непрерывности всей неевклидовой плоскости.

Однако с точки зрения аксиомы о параллельных мы обнаружим, что в построенной геометрической системе имеет место аксиома Лобачевского, если будем называть «параллельными» две прямые, пересекающиеся в несобственной или бесконечно удаленной точке. В самом деле, пусть имеем прямую A(u)B(u) и не лежащую на ней точку С (черт. 292). В таком случае через точку С можно провести две прямые, параллельные прямой A(u)B(u), а именно прямые СА(u) и СВ(u). Эти две прямые разбивают пучок прямых с центром С на две части: 1) прямые, пересекающие прямую А(u)B(u), как например прямая СМ, и 2) прямые, не пересекающие прямой A(u)B(u), к числу которых принадлежит, например, прямая CN(u).
Таким образом, в рассматриваемой геометрической системе имеет место аксиома о параллельных Лобачевского.
… Отметим только, что осуществление геометрии Лобачевского в проективной форме является безупречным доказательством ее непротиворечивости. К этому надо добавить, что и третья геометрическая система, известная под названием геометрии Римана, может быть построена в проективной форме, если в качестве абсолюта плоскости будет принята мнимая кривая второго порядка.
Благодаря этому стало возможным сравнительное изучение трех геометрических систем (Евклида, Лобачевского и Римана) в проективной форме. Большое принципиальное значение такого исследования является очевидным.
Н.Ф. Четверухин. Проективная геометрия. Курс для педагогических институтов. М. Учпедгиз, 1953; М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1961
https://vk.com/doc399489626_451518476
http://www.twirpx.com/file/70636/
Настоящее изложение относится к так называемой неевклидовой геометрии Гаусса, Лобачевского, Больяи; оно затрагивает также родственные исследования об основах наших геометрических представлений, предпринятые Риманом и Гельмгольцем.
Цель его заключается не столько в исследовании философских построений, приведших к этим теориям, сколько главным образом в том, чтобы дать новое наглядное изложение математических результатов работ, относящихся к теории параллельных, и сделать их доступными ясному пониманию.
Путь к этому ведет через проективную геометрию. Действительно, можно вслед за Кэли построить в пространстве проективное мероопределение, использующее произвольную поверхность второго порядка в качестве так называемой фундаментальной поверхности. Это мероопределение в зависимости от вида соответствующей поверхности второго порядка дает картину различных теорий о параллельных, выдвинутых в вышеназванных работах. Оно не только является их изображением, но, как будет показано, вскрывает их внутреннюю сущность...
Феликс Клейн. О так называемой неевклидовой геометрии. 1871
https://vk.com/doc399489626_454288716

Проективное мышление. Куда же спряталась самая свободная геометрия?


РигВеда I,152. К Митре-Варуне
Тема - Митра и Варуна. Размер - триштубх. Этот гимн выделяется глубиной мысли и совершенством художественной формы. Митра и Варуна прославляются как Адитьи, управляющие вселенским законом (rtа-), который противопоставляется беззаконию, хаосу (аnrta-) (стих 1).
Проявления вселенского закона представлены в виде загадок, истолкование которых может быть неоднозначным (стихи 2-6). Параллельно развивается тема сакральной речи - способа постижения вселенского закона, и подчеркивается, что ею владеют только посвященные. Гимн заканчивается молитвой с просьбой о ниспослании благ (стих 7).
1а-b...одежды из жира (vаstrаni pivasа). - Подразумевается дождь. Символическая интерпретация этой темы вновь возникает в конце гимна (7d). В строке b образ дождя приобретает новое развитие: мысли - непрерывные потоки.
lb...мысли - mаntavah
2а...из них...- т.е. богов.
2b...высказывание - mantrа
2с Грозный четырехгранник побивает трехгранник (?) - trirасrim hanti cаturaсrir ugro - (например, в проективной геометрии численный инвариант определяют четыре точки, а не три, как в аффинной, и не две, как в метрической геометрии)
Кстати на древне-ведийском:
Ади - Один; Пурва - Первый
Два, дви, двая - Два; две - двое
Эторон - Второй
Двандва - Двойственный
Три - Три; Трая - Трое
Трита - Третий; Трика - Тройка;
Трис - Трижды; Траяс - Трое
Чатур, чатвар - Четыре, четверо
Чатуртха - Четвертый
Дашан - Десять; Дашатара - Десятеро
Шат, шата - Сто, сотый
Шатакрату - Стократный - свойство Индры)

1 Вы оба одеваетесь в одежды из жира.
Ваши непрерывные мысли - непрерывные потоки.
Вы подавили все беззакония.
О Митра-Варуна, вы следуете закону.

2 Не каждый из них поймет это.
Истинно произнесенное поэтами потрясающее высказывание:
Грозный четырехгранник побивает трехгранник.
Первыми состарились хулители богов
...
7 Я хотел бы, о Митра-Варуна, с помощью поклонения (и вашего) содействия
Повергнуть вас, о двоица богов, к наслаждению (моими) жертвенными возлияниями.
Наше священное слово да одержит верх в состязаниях!
Нам (пусть будет) небесный дождь, ведущий к успеху!
 
РигВеда. Мандалы I-X. перевод Т.Я. Елизаренковой
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_863.htm
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_622.htm
Предисловие к шестому изданию
Предлагаемый курс проективной геометрии представляет собой переработку книги «Высшая геометрия» того же автора, выполненную в соответствии с действующей программой этого курса для педагогических институтов.
Изложение курса начинается главой об аффинной геометрии, которую следует рассматривать как вводную, позволяющую наиболее простым образом (при помощи параллельного проектирования) познакомить читателей с некоторыми видами геометрических преобразований и их инвариантами.
Последующие главы курса посвящены развитию основных понятий и систематическому изложению содержания проективной геометрии. Изучение проективной геометрии начинается с операции центрального проектирования и «проективных» свойств фигур, т.е. таких их свойств, которые сохраняются при всяком центральном проектировании.
При этом оказывается необходимым произвести некоторую реконструкцию евклидова пространства путем дополнения его новыми, «несобственными» элементами. Такое геометрическое пространство принадлежит к числу так называемых «проективных» пространств и обладает всеми свойствами, необходимыми для обоснования и развития проективной геометрии.
Предлагаемая концепция изложения курса проективной геометрии обладает, как нам представляется, некоторыми педагогическими преимуществами и позволяет тесно увязать новые понятия и теоремы проективной геометрии с материалом элементарной геометрии, что имеет большое значение для будущих преподавателей математики.
В отношении композиции и расположения материала автор придерживался той точки зрения, что педагогически целесообразно первую часть книги посвятить преимущественно изложению фактического материала, нового для студентов (аффинная геометрия, проективная геометрия), отнеся вопросы критико-методологического характера в их связи с преподаванием элементарной геометрии главным образом ко второй части книги (в частности, к главе VI, трактующей о сравнительном изучении проективной, аффинной и метрической геометрий. Целесообразность такого построения курса вытекает, с одной стороны, из необходимости для читателей обладать фактическими знаниями, чтобы перейти ко второй группе вопросов, а с другой - из естественного стремления студентов ознакомиться в первую очередь с новыми и увлекательными идеями проективной геометрии. Опыт показывает, что вкус и желание обсуждать с этих новых позиций знакомый им еще из средней школы материал элементарной геометрии и интерес к вопросам преподавания этой дисциплины приходят несколько позднее.
Отметим следующие моменты в развитии курса.
а) В обыкновенном евклидовом пространстве с помощью средств элементарной геометрии излагаются основные понятия аффинной геометрии. Строится учение об аффинных преобразованиях и их инвариантах в синтетическом и аналитическом изложении (глава I).
б) Для изложения основных понятий и фактов проективной геометрии является необходимость в конструировании проективного пространства. Это достигается путем присоединения несобственных элементов к евклидову пространству. Получается новая геометрическая модель пространства, пригодная для изучения проективных свойств фигур (глава II).
в) Такое построение проективного пространства определяет целесообразный метод изложения. Возможно использовать при развитии важнейших идей проективной геометрии уже имеющиеся понятия элементарной геометрии, в том числе и метрические. В частности, проективное соответствие определяется при помощи сложного отношения (Штейнер), хотя подход к этому понятию осуществляется через рассмотрение цепи перспектив (Понселе) (глава III).
г) Принимая евклидово пространство за исходный пункт для построения проективного пространства, можем отказаться от аксиоматического принципа в этом построении.
Однако в соответствующем разделе книги рассмотрены аксиомы принадлежности, порядка и непрерывности, могущие служить для независимого построения проективного пространства. Это рассмотрение позволяет также оттенить ту симметричность, которую приобрели основные предложения (аксиомы) от присоединения несобственных элементов, что имеет важное значение для обоснования принципа двойственности. «Проверка» выполнимости проективных аксиом в построенном пространстве полезна также для изучающего предмет с точки зрения лучшего «освоения» несобственных элементов, которые в дальнейшем изложении проективной геометрии ничем не отличаются от собственных элементов пространства (глава II).
д) На основе указанных соображений развивается проективная геометрия на плоскости (учение о проективных соответствиях форм первой ступени, проективная теория кривых второго порядка) (главы III, IV).
е) Для изучения проективных соответствий форм второй ступени в общем виде было использовано определение проективного соответствия через гармонизм (Штаудт). Эквивалентность такого определения с определением Штейнера показана в § 47. Следует, однако, отметить, что при этом задача чисто геометрического (без применения метрических понятий) обоснования проективной геометрия не ставилась, хотя о ней и было упомянуто в § 47.
Таким образом, ранее принятый метод изложения был сохранен.
ж) В главе V заканчивается изложение фактического материала. Следующая глава (VI) ставит своей целью систематизировать полученные сведения, дать сравнительную характеристику каждой из трех геометрий (проективной, аффинной и метрической). Это достигается с помощью построения всех трех геометрий в общей проективной форме. Более детально рассматривается с этой проективной точки зрения построение аффинной и метрической геометрий, так как освещение различных вопросов элементарной метрической геометрии имеет прямое отношение к будущей работе студентов в школе в качестве преподавателей математики.
Методологически это проводится следующим образом. Сперва исследуются уже знакомые читателю основные понятия аффинной и метрической геометрий с проективной точки зрения. В результате достигается истолкование этих понятий как проективных, если принять во внимание их отношение к абсолюту плоскости, (несобственная прямая и ее абсолютная инволюция, соответствующая парам ортогональных направлений). В таком именно плане изучаются понятия параллельности и перпендикулярности прямых, простое отношение трех точек прямой, конгруентность, гомотетия и подобие геометрических фигур, геометрические построения и другие вопросы элементарной геометрии.
На основании проведенного истолкования этих понятий метрической геометрии с проективной точки зрения становится возможным построение аффинной и метрической геометрий на проективной плоскости путем фиксации произвольной прямой в качестве «несобственной» прямой и произвольной эллиптической инволюции на ней в качестве «абсолютной» инволюции.
Такое построение имеет большое принципиальное значение, так как оно уже совершенно не связано с особенностями проективной плоскости, имеющейся в нашем распоряжении (евклидова плоскость, дополненная несобственной прямой). Благодаря этому все выводы, вытекающие из такого построения аффинной и метрической геометрий в проективной форме, становятся особенно убедительными. Вскрывается самая сущность аффинных и метрических свойств фигур.
з) Каждая из построенных геометрий определяется своей группой (Клейн). Получается следующая групповая классификация проективных преобразований:
{К} <- {А} <- {М} <- {W}
K - Проективная Группа.
А - Аффинная Группа.
М - Метрическая Группа.
W - Группа движений
и) В конце главы VI дается краткий очерк аналогичного исследования и построения проективной, аффинной и метрической геометрий в пространстве (глава VI, § 77).
к) Наконец, в отдельном параграфе этой главы показана возможность построения геометрии Лобачевского в проективной форме, если в качестве абсолюта плоскости задана овальная кривая второго порядка (§ 78).
л) Главы I-VI составляют основную часть книги, охватывающую программу курса проективной геометрии в педагогических институтах. Изложение проводится преимущественно синтетическим методом, но при изучении общих вопросов (аффинные преобразования, проективные преобразования и т.д.) параллельно дается аналитическое изложение. В частности, читатель знакомится с расширением понятия координат (аффинные, проективные, однородные координаты).
м) Книга заканчивается историческим очерком (§ 79-82).
Следует заметить, что материал, изложенный в книге, в ряде случаев выходит за рамки официальной программы курса. Поэтому при пользовании книгой как учебником, в зависимости от подготовленности аудитории и времени, отведенного на занятия, могут быть сделаны некоторые сокращения.
Так, в главе I могут быть опущены параграфы об аффинном преобразовании пространства в себя.
В главе V можно исключить параграфы, посвященные исследованию общего уравнения второй степени и проективному образованию поверхностей второго порядка.
В главе VI может быть опущен параграф о построении проективной, аффинной и метрической геометрий в пространстве,
а также параграф о геометрии Лобачевского в проективной форме.
При подготовке книги к переизданию материал ее был обсужден на кафедрах геометрии Московского государственного педагогического института имени Ленина и Московского областного педагогического института.
Автор выражает благодарность всем лицам, сделавшим замечания и указания о желательных изменениях и исправлениях в книге. В частности, автор приносит свою искреннюю благодарность заведующему кафедрой геометрии Московского государственного педагогического института имени Ленина профессору Д.И. Перепелкину, которому он обязан рядом весьма ценных замечаний и советов относительно содержания книги.
Н. Четверухин. Москва, 15 сентября 1952г.
Н.Ф. Четверухин. Проективная геометрия. Курс для педагогических институтов. М. Учпедгиз, 1953; М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1961
https://vk.com/doc399489626_451518476
http://www.twirpx.com/file/70636/

Проективное мышление. Солнце - глаз Митры и Варуны
Мы вступили на путь,
Ведущий к счастью, лишенный угроз,
На котором избегают всякой
Враждебности, находят добро

Н.Г. Хлудов. Перевал Саймалы-Таш, на котором найдены камни с надписями. Протоколы туркестанского кружка любителей археологии - ПТКЛА. Год 7. 1902, с.40-43
В 1902 году офицер Генерального штаба русской армии Н.Г. Хлудов во время военно-топографической съемки на Тянь-Шане (связанной со строительством почтовой дороги Нарын - Андижан) обратил внимание на любопытные камни с изображением загадочных надписей, фигур диких животных и людей. Рабочие-кыргызы, работавшими вместе с ним на строительстве этой почтовой дороги, рассказали ему об урочище Саймалы-Таш, находящемся за перевалом Кок-Арт в Ферганской долине, где имеются многочисленные камни с изображениями людей и животных. Местные жители называли камни - Саймалы-Таш, т.е. узорчатыми. Н.Г. Хлудова это очень заинтересовало. В один из выходных дней он нанял местного проводника с двумя лошадьми и попытался проехать в Саймалы-Таш, чтобы убедиться в достоверности рассказов собственными глазами. Дорога на узорчатый камень оказалась хлопотной и трудной. Преодолев трудные участки крутого ущелья, Н. Хлудов все-таки побывал на Саймалы-Таше, обследовав лишь небольшую его часть. Однако, ему не удалось добраться до самой сердцевины памятника. Для этого у него не было ни времени, ни средств, ни специального экспедиционного снаряжения., о чем он очень сожалел. Чуть позже он отправил письмо в г. Ташкент по адресу Туркестанского кружка любителей археологии, в котором писал: Здесь, в районе перевала Кок-Арт, влево от протока, ведущего на перевал, начинают попадаться камни с надписями...Этих камней с рисунками и надписями должно быть очень много. Мне пришлось насчитать их до пятидесяти штук, но кыргызы говорили, что по другую сторону перевала их еще больше, точно с такими же изображениями животных. Здесь мне пришлось наблюдать, кроме отдельных рисунков на камнях, целые картины из жизни какого-то охотничьего народа...Все изображения выбиты на камнях довольно глубокой бороздкою от 1-3 см. ширины. По-видимому, кремневым инструментом -.

РигВеда VII, 61. К Митре-Варуне
Размер - триштубх

1 Ваш глаз - двоих богов - о Варуна, (о Митра), -
Прекрасный на вид Сурья восходит, протягивая (лучи).
Кто озирает все существа,
Тот понял также намерение людей.

2 Этот преданный закону вдохновенный (поэт), о Митра-Варуна,
Исполняет для вас молитвы (так, что) далеко слышно,
Чтобы словно (своей) силой духа вы наполнили (его) осени -
(Тот,) чьи священные слова вы поддерживаете, о прекрасные силой духа.

3 Вы вы(деляетесь), о Митра-Варуна, над широким (пространством) над землей,
Над огромным высоким небом, о прекрасно дарящие.
Вы держите соглядатаев среди растений, среди поселений,
(Их,) следующих особо, (вы,) охраняющие, не моргая.

4 Я хочу провозгласить установление Митры (и) Варуны:
(Их) пыл раздвинул (своей) мощью две половины вселенной.
Пусть пройдут месяцы тех, кто не приносит жертв, без сыновей!
Пусть усилит (свое) окружение (тот,) чья мысль о жертвах!

5 О два быка безошибочных, все эти ваши
Злые силы, в которых не видно ни (излишней) яркости, ни чуда,
Следуют за беззакониями людей.
Тайны не остались для вас непонятными.

6 Я хочу возвеличить вашу жертву поклонениями.
Я настойчиво зову вас, о Митра-Варуна.
Я пред(лагаю) новые молитвы для исполнения вам.
Пусть (вам) доставят радость эти сотворенные (для вас) священные слова!

7 Для вас, о два бога Митра, Варуна,
Совершалась эта служба пурохиты на жертвоприношениях.
Переправьте нас через все трудности!
Защищайте вы нас всегда (своими) милостями!

Перспектива и проективная геометрия
На рисунках 1 и 2 изображено одно и то же геометрическое тело - куб. Однако, нельзя не заметить между этими двумя изображениями существенные различия. В то время, как на первом чертеже параллельные ребра куба изображаются параллельными отрезками, а параллельные грани - равными параллелограммами, на втором чертеже параллельные ребра не изображаются в виде параллельных отрезков, а среди четырехугольников, изображающих грани, вообще не найдется пары равных между собой.
Изображения первого типа учится строить на уроках геометрии и черчения каждый школьник. Изображения второго типа (перспективные) осваивают узкие специалисты - художники и архитекторы. В чем разница? Чтобы ответить на этот вопрос, попытаемся понять, как строится плоское изображение пространственного тела.

Возьмем проволочный каркас куба, поместим его в пучок световых лучей. Тень, которую мы увидим на стене, и будет плоским изображением трехмерного объекта. Легко перевести это наглядное представление на язык геометрии.
Рассмотрим произвольную плоскость а и пучок параллельных прямых. Через любую точку М в пространстве проходит единственная прямая из этого пучка. Точка пересечения М' этой прямой и плоскости а называется проекцией точки М на плоскость а.
Множество проекций всех точек данной фигуры назовем ее изображением на плоскости а. На рисунке 1 изображена параллельная проекция фигуры, состоящей из всех ребер куба.
Чтобы получить перспективное изображение, надо рассмотреть не параллельную, а центральную проекцию. Для этого вместо пучка параллельных прямых возьмем пучок прямых, проходящих через одну точку О, не лежащую в плоскости а. На рисунке 2 куб изображен в центральной проекции.

Сравнивая рисунки 3 и 4, видим насколько построение параллельной проекции проще и удобнее, чем центральной. Если при параллельном проецировании параллелограмм остается параллелограммом, то при центральном проецировании параллелограмм может перейти в произвольный четырехугольник. И это еще не самое неприятное.

Если на рисунке 4 центральная проекция параллелограмма выглядит как «нормальный» четырехугольник, то на рисунке 5 эта проекция состоит из двух бесконечных областей. Проецирование разрезает исходный параллелограмм на две части.
Казалось бы, зачем вообще строить такую кривую и неудобную центральную проекцию, когда можно обойтись гораздо более простой параллельной. Однако, дело в том, что мы видим окружающий нас трехмерный мир как раз в центральной проекции. Вспомните хотя бы железнодорожные рельсы, сходящиеся к горизонту. Рассмотрите любую фотографию высотного здания, сделанную с достаточно близкого расстояния. Контуры ощутимо сжимаются по направлению к вершине. Дальние объекты кажутся нам мелкими, ближние - крупными. Изучение центральной проекции начали художники, поставившие задачу изобразить на плоском холсте трехмерный мир таким, каким мы его видим...

МатерСваСлва поящеть ны спiва те вытежнестве на врзi
i тому вiерiхомь
яко слво iе о Птыцiе Вышнiе
о Сварзе по ростiе летяшете од Оны
Скуфья
РигВеда VI, 51. Ко Всем-Богам

1 Вот выходит этот великий глаз Митры,
Приятный (глаз) Варуны, не допускающий обмана.
Чистый, прекрасный лик закона
Ярко засверкал на небе, словно золотое украшение на восходе (солнца).

2 Кто знает у них три жертвенных раздачи,
(Знает) рождение богов, (видит) далеко и близко, (Солнце) вдохновенное,
Глядя на прямое и кривое у смертных,
Это Солнце замечает действия чужого.

3 Вот славлю я для вас хранителей великого закона:
Адити, Митру, Варуну, прекраснорожденных,
Арьямана, Бхагу, не обманывающих надежд.
Я приглашаю (их), связанных (друг с другом), очищающих.

4 Заботящихся о чужом благих повелителей, не допускающих обмана,
Великих царей, дарителей хорошего жилья,
Юных добрых властителей, мужей, живущих на небе,
Адитьев я молю (и) Адити, полный почтения.

5 О Небо-отец, о Земля-мать, безобманная,
О Агни-брат, о Васу, - смилуйтесь над нами!
О все Адитьи, о Адити, единодушная (с богами),
Нам даруйте прочную защиту!

6 Не отдайте нас во власть ни волку, ни волчице,
Ни кому-нибудь злоумышляющему, о достойные жертвы!
Ведь вы колесничие наших тел,
Вы (всегда) были (колесничими) искусного слова.

7 Да не расплатимся мы за грех, содеянный против вас другими,
Да не совершим мы того, о Васу, что вы наказуете!
Ведь вы господствуете надо всем, о Все-Боги!
Пусть обманщик сам себя повредит!

8 Поклонение - это грозно. Поклонения я хочу дооиться.
Поклонение несет землю и небо.
Поклонение - для богов. Поклонение правит ими.
Даже содеянный грех я хочу замолить поклонением.

9 Вас, колесничих закона с чистой силой действия,
Пребывающих в доме закона, не допускающих обмана,
Этих мужей, далеко глядящих, поклонениями
Я всех вас могучих склоняю, о достойные жертв.

10 Ведь они с наилучшим блеском, они же нас
Ведут через все трудности,
Обладатели прекрасной власти Варуна, Митра, Агни,
Чьи мысли - закон, кто поистине цари (священной) речи.

11 Пусть увеличат они наше место поселения: Индра, Земля,
Пушан, Бхага, Адити, пять народов!
Пусть будут они нам хорошими защитниками, хорошими помощниками,
Хорошими вождями, хорошими спасителями, хорошими охранителями!

12 Вот хотел бы я попасть в небесное поселение, о боги!
Хотар из рода Бхарадваджей идет за вашей милостью.
Сидящими (рядом с ним) жертвенными дарами жертвователь,
Стремящийся к богатству, почтил род богов.

13 (Прогони) прочь того лживого обманщика,
Вора, о Агни, с дурными замыслами!
Создай, о добрый господин, хороший путь как можно дальше от него!

14 Ведь наши давильные камни, о Сома,
Настроились на дружбу.
Убей атрина, пани - ведь он волк!

15 Ведь вы, (о боги) с прекрасными дарами,
С Индрой во главе обращены к небу.
Создайте нам хороший путь в странствии. (Будьте) хранителями (по пути) домой!

16 Мы вступили на путь,
Ведущий к счастью, лишенный угроз,
На котором избегают всякой
Враждебности, находят добро
Элементы проективной геометрии
https://vk.com/doc399489626_453606786
Эрвин Шредингер. Что такое жизнь? Физический аспект живой клетки
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_367.htm
https://vk.com/doc399489626_453856598  
Воображаемая геометрия
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_798.htm
Проективное мышление
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_802.htm
Продолжение
http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_809.htm

  


СТАТИСТИКА